2024-2025学年山东省济南市高二下册3月月考数学阶段测试试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省济南市高二下册3月月考数学阶段测试试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若曲线在点（1，2）处的切线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A. －4B. －3C. 4D. 3
【正确答案】B
【分析】利用切线的斜率列方程，化简求得的值.
【详解】，
所以.
故选：B
2. 的二项式展开式中的系数为（ ）
A. 560B. 35C. -35D. -560
【正确答案】D
【分析】中利用二项式定理可求得的系数，从而求解.
【详解】由题意知的展开式为，
令，得，所以的系数为，故D项正确.
故选：D.
3. 设函数的导数为，且，则( )
A. 1B. 0C. 2D. 3
【正确答案】B
详解】∵
∴
∴，即
∴
故选B.
4. 将4名医生，3名护士分配到3个社区对居民进行健康体检，要求每个社区至少有1名医生和1名护士，则不同的分配方法共有（ ）
A. 64种B. 108种C. 128种D. 216种
【正确答案】D
【分析】先将医生分为3组，每组至少1人，然后再将医生和护士分配到3个社区即可.
【详解】先将4名医生分成3组，每组至少1人，共有种方法，
再将3组医生分到3个社区有种，最后将3名护士分配到3个社区有种，
所以，不同的分配方法共有种.
故选：D
5. 设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.
【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
6. 已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由极小值点定义，导函数与原函数的关系，即可选出答案.
【详解】当时，单调递增，当时，单调递减，
要使是函数的极小值点，则需，，
对于AB选项，不是函数的极值点；
对于C选项，是函数的极小值点，正确；
对于D选项，是函数的极大值点.
故选：C
7. 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解.
【详解】由题意得，
要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，，
当时，，显然不存在满足条件的区间；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得；
当时，的解集为，因为，
所以要使在上存在单调递减区间，则，解得.
综上，的取值范围为.
故选：A.
8. 已知函数，实数，满足，若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【正确答案】B
【分析】利用导数法求出函数的最小值，再利用二次函数的性质求出最大值，结合已知条件及函数的图象即可求解.
【详解】因为，所以，
令，即，解得，
当时，；当时，；
所以在上单调递减；在上单调递增；
当时，取得最小值为，
，对称轴为，开口向下，
由二次函数的性质，
当时，取得最大值为.
令，即，解得或，
作两个函数的图象如图所示
由图可得：的最大值为
故选：B.
二、多选题
9. 以下求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】本题主要运用求导公式：，，但要注意常数的理解及解析式的转化处理．
【详解】，A不正确；
，B正确；
，C正确；
(为常数)，D不正确．
故选：BC．
10. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（ ）
A.
B. 第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C. 记第行的第个数为，则
D. 第20行中第12个数与第13个数之比为
【正确答案】AB
【分析】对于A：利用性质计算即可；对于B：利用的展开式的二项式系数计算；对于C：代入，利用二项式定理计算即可；对于D：利用的展开式的二项式系数计算
【详解】对于A：
，A错误；
对于B：第2023行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，B错误；
对于C：第行的第个数为，
则，C正确；
对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第12个数为，第13个数为，
则，D正确.
故选：AB.
11. 若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】ABC
【分析】求出函数的零点为，根据题中定义额可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
则对任意的恒成立，
所以，函数是上的增函数，且，则.
因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得.
因为，所以0，所以在上有解，
即在上有解.
设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有公共点，
所以，，即实数的取值范围是.
故选：ABC.
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
三、填空题
12. 展开式中，项的系数为______.
【正确答案】
【分析】由二项式定理求解．
【详解】，∵的指数是3，∴得到，
∵的指数是2，得到，∴项的系数为.
故
13. 北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有______种．
【正确答案】504
【分析】分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论，从而可求解.
【详解】由题意分为两种情况：
第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法；
第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法，
故总共有种排法.
故答案为.
14. 已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
【正确答案】
【分析】由正弦型函数可知：两个零点之间必存在极值点，两个极值点之间必存在零点，利用正弦型函数的极值点可得即可求解.
【详解】由题意可得，当时，，
由函数在内恰有两个极值点，可知，解得.
故
四、解答题
15. 已知函数.
（1）若是极大值点，求在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
【正确答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）根据是的极大值点求出，再利用导数求切线斜率，即可求在处的切线方程；
（2）求出，分三种情况讨论，分别判断导函数的符号，即可求出的单调区间；
【小问1详解】
根据题意，函数，其定义域为R，
令得，
经检验，符合题意，
则在点的切线方程为，即；
【小问2详解】
根据题意，函数，其导数，分3种情况讨论：
①当时，，则在上为增函数；
②当时，若，解可得或，
则的递增区间为和，
递减区间为；
③，当时，若，解可得或，
则的递增区间为和，
递减区间为；
综上可得：当时，在上为增函数；
当时，的递增区间为和，递减区间为；
当时，的递增区间为和，递减区间为；
16. 已知二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11.
（1）求n的值；
（2）求其二项式系数之和与各项系数之和的差；
（3）求上述展开式中所有偶数项的系数和.
【正确答案】（1）
（2）1023 （3）
【分析】（1）利用指定两项的二项式系数建立方程求解参数即可.
（2）利用二项式性质得到二项式系数之和，利用赋值法得到各项系数之和，再作差即可.
（3）利用赋值法再作差求解偶数项的系数和即可.
【小问1详解】
因为二项式展开式中，前二项的二项式系数和是11，
所以，得到，解得.
【小问2详解】
由二项式性质得二项式系数之和，
令，可得各项系数之和为，
所以二项式系数之和与各项系数之和的差为.
【小问3详解】
令，
则
所以
17. （1）一场班级元旦晚会有有2个唱歌节目和；2个相声节目1和2．要求排出一个节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目．一共有多少种可能（结果用数字表示）？并列出所有可能的排列．
（2）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多少不同的种排法？（结果用数字表示）
（3）从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
【正确答案】（1）共4种；答案见解析（2）432；（3）80．
【分析】（1）利用排列的定义即得；
（2）利用捆绑法，插空法即得；
（3）由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得．
【详解】（1）歌唱节目记为，相声节目记为1，2，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：．共4种
（2）甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有（种）．
（3）选2名男教师与2名女教师，共有(种)，选3名男教师与1名女教师，共有(种)，
所以共有60+20=80（种）．
18. 某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足．
（1）写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？
（参考数据：，，，）
【正确答案】（1）
（2）当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元
【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解；
（2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值.
【小问1详解】
设
由，可得，解得，
所以，
依题意得，
．
【小问2详解】
由（1）得，，
则，
令，得，，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，有，
答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元．
19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）.定义：若在区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数.已知，（）.
（1）判断函数在区间上是否为凸函数，说明理由；
（2）已知函数为上的凸函数，求的取值范围，并证明：函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方；
（3）若，求函数（）的最小值.
【正确答案】（1）在区间上为凸函数，理由见解析
（2），证明见解析
（3）.
【分析】（1）求出，判断是否小于恒成立；
（2）求出，根据凸函数的定义转化为恒成立问题，分离参数求解即可；把“函数图象上任意一点的切线总在的图象的上方”转化为，利用导数求解的单调性和最值即可；
（3）令，，根据导数、、的范围确定的单调性及最值，得到，再去绝对值即可.
【小问1详解】
由可得，
∴，∵，∴，
∴在区间上为凸函数.
【小问2详解】
①由，，
得，.
因为函数是上的凸函数，故在上恒成立，
即，在上恒成立，
故，故，所以实数的范围是.
②证明如下：
设切点，则切线方程为，，
令，
，
依题意，只需证明即可；
，，
故函数在上为减函数，又，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，则恒成立，即得证.
【小问3详解】
令，，
则，， 当时，，，
所以在恒成立，
故在上单调递减，所以，
即，所以，
故函数（）的最小值为.
方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的策略：
（1）通常需要构造新的函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）先分离变量，再构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，先考虑用分离常数法，若参数分离不易求解时，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.