山东省济南市师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 含解析

这是一份山东省济南市师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题 含解析，共16页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 当是函数的极值点，则的值为， 设，，，则，，大小关系是等内容，欢迎下载使用。
命题：房华 审题：宁卫兵
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求导代入即可得解.
【详解】由题，，故.
故选：A.
2. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.
【详解】切线的斜率为，
由，
故选：C
3. 一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值.
【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：A
4. 已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接由导数的几何意义结合函数图象即可求解.
【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率，
表示曲线在处的切线斜率，
表示，两点连线的斜率，
由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大，
所以，对比选项可知，D正确.
故选：D.
5. 当是函数的极值点，则的值为
A. -2B. 3C. -2或3D. -3或2
【答案】B
【解析】
【分析】由f，解得或-2，再检验是否函数的极值点，可得结论.
【详解】由，
得，
∵x＝1是函数f（x）的极值点，
∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，
当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去；
当3时，时，x＝1或x=9，
满足x＝1为函数f（x）的极值点，
∴．
故选B
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，注意在x=处导数值为0不一定满足x=是极值点，属于易错题．
6. 已知函数在区间单调递增，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意将问题转化为在区间上恒成立，利用分离参数法，结合导数研究最值即可得到答案.
【详解】因为函数在区间单调递增，所以在区间上恒成立，即，
令，，则，所以在上单调递增，则，故，即的最大值为，
故选：B
7. 设，，，则，，大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，根据的单调性可得（3），从而得到，，的大小关系．
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：．
【点睛】本题考查了利用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题．
8. 若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得有两个不等的实数根，从而可得有两个不相等的实数解，利用导数与单调性、极值的关系即可求解.
【详解】因为，是“对偶函数”，
所以函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，
所以，即有两个不相等的实数解，
则有两个不相等的实数解．
令，则，
所以当时，,当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且，．
又，所以，a的取值范围为,
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分.
9. 函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A. 函数在处取得最小值B. 在区间上单调递增
C. 是函数的极小值点D. 在处切线的斜率大于零
【答案】ABD
【解析】
【分析】由导函数的图像知道导函数在对应点或区间的正负，由此知道对应点或区间上原函数的切线斜率或单调性，逐一判断各个选项即可.
【详解】由图可知，
当时，，当时，，∴函数在处取得最小值，A选项正确；
当时，，∴在区间上单调递增，B选项正确；
当时，，当时，，∴在处没有极值，C选项错误；
当时，，∴在处切线的斜率大于零，C选项正确.
故选：ABD.
10 设函数，则（ ）
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数的导数，求出函数的单调区间，再结合极值、对称性逐项判断得解.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，是的极大值点，A正确；
对于B，在上单调递减，，则，B错误；
对于C，当时，，，，C正确；
对于D，令，，函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，
若函数的图象还有一个对称中心，则
，而不为常数，
因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，
则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件将问题转化为，构造函数，化为，求，根据导数判断函数的单调性，结合函数正负情况可得在上恒成立，构造函数，求，根据导数判断函数的单调性求出函数的最值即可解题.
【详解】因为，所以，
所以可化为，
即；令，
则有对于定义域内任意，都有，
所以在上单调递减，所以在上，；
因为，所以，即，
因为，所以，即；
令，，当时，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
可化为，，因为所以；
由，可知当时，，当时，，
根据在上的单调性以及的正负情况，
有：若，则在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，则，
，解得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增减，
所以时，取得最大值，，所以；
因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：隐蔽性指对同构，需要补因式，如：，两边同乘以，化为，即.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率.
【详解】由题设，则，
所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.
故答案为：
13. 若函数，则使得成立的的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数判断出函数的单调性，得出 等价于，求解即可.
【详解】由可得：函数定义域为，.
因为，当且仅当时等号成立,
所以，
则函数为上的增函数.
所以等价于，解得：.
故答案为：.
14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.
【详解】解：当时，，所以，
当时，，函数上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长更快，
从而，
当时，，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，
从而
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，
得或，由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调增区间为，，单调递减区间为.
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间即可.
【小问1详解】
，则，
则切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
【小问2详解】
，
则，
由，可得或；由，可得，
所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．
16. 已知函数在处的切线方程为.
（1）求a的值；
（2）证明：时，.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数在某点处的切线方程与该点处导数的关系来求解的值；
（2）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式.
【小问1详解】
已知函数，对其求导可得.
因为函数在处的切线方程为，将代入可得：.
由于切线方程为，其斜率为，所以，解得.
【小问2详解】
当时，.
要证明时，，即证明，移项可得.
设，，对求导得.
因为的值域是，所以对于，有，即.
这说明在上单调递减.
那么，将代入可得.
所以，即时，.
17. 将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
（2）多大时，盒子的容积最大？并求出最大值.
【答案】（1）
（2）当米时，盒子的容积最大为立方米
【解析】
【分析】（1）求出盒子的高、盒子的底面积，得盒子的容积；
（2）由（1）可得，利用导数求出的最大值即可.
【小问1详解】
如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
18. 已知函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明: 在 上均恰有一个零点.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来判断函数的增减区间；
（2）结合函数的单调性以及特殊点的函数值，结合零点存在性定理来确定零点个数.
【小问1详解】
首先求函数的定义域和导数.
函数的定义域为.
对求导可得，，.
然后令，即，则，解得或.
接着分情况讨论：
当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增.
当时，.
在区间和上，，所以在，上单调递增；
在区间上，，所以在上单调递减.
当时，.
在区间和上，，所以在，上单调递增；
在区间上，，所以在上单调递减.
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
当时，；当时，，且，由（1）可知，
当时，在取得极大值，在上恰有一个零点.
当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点.
当时，在取得极大值，且，
所以在上恰有一个零点.
综上所得，，在上均恰有一个零点.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用，考查转化能力，通过构造函数，利用导数求解即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
19. 已知
（1）设，求的极值．
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
（3）若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明．
【答案】（1）极小值，没有极大值
（2）
（3）没有，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的极值.
（2）构造函数，利用导数以及不等式恒成立的知识求得的取值范围.
（3）根据（1）的结论，利用放缩法、综合法证得没有上界.
【小问1详解】
，
令，解得.
所以在上单调递减；
上，单调递增；
所以函数有极小值，没有极大值．
【小问2详解】
依题意，在上恒成立，
设，，
当时，单调递增，，不符合题意.
当时，，
令，解得，
即使，在上，单调递增；
在上，单调递减，不符合题意；
当时，单调递减，，符合题意；
综上：.
【小问3详解】
没有上界，理由如下：
由（2）可知，在上恒成立，
令，则，
所以，
将上述式子相加得
由于没有上界，故也没有上界.
【点睛】本题涵盖了导数应用、单调性分析、不等式恒成立及放缩法等知识点，能够有效考查学生的综合能力. 通过不等式在区间上的恒成立条件，构造辅助函数，再利用单调性分析得出适合的取值范围.