2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及复合函数的求导法则，可得答案.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
2. 函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.
【详解】因为，则，可得，
即切点坐标为，切线斜率为2，
则切线方程为，其与x轴交点为，
所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为.
故选：B.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. eD.
【正确答案】D
【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求得答案.
【详解】函数，求导得，
所以.
故选：D
4. 已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求导得，则，由此可求答案．
【详解】解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
5. 函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．
6. 已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数单调性、特殊区间上函数值的正负，以及函数的极限，特殊值，函数增长趋势，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，当时，，故，
由图可知，当时，所求函数的函数值为正数，故A错误；
对B：，当趋近于时，趋近于，与图象不符；
也可以如下解释：当时，，又，故恒成立，与图象不符，故B错误；
对C：，当时，，又，则，
故，而由图可知，当时，所求函数的函数值大于1，故C错误；
对D：，，故当时，，，函数单调递减；
当时，，， ，函数单调递增；当时，，
故该函数在处取得极小值，与图象相符，且函数增长趋势也和图象相符，故D正确；
故选：D.
7. 函数有三个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据条件，将问题转化成与有三个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解.
【详解】因为，易知，所以0不是零点，
令，即，得到，令，，
则，
易知恒成立，由，得到，
当时，，时，，时，，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
又易知，当，且时，，时，，
当时，时，，且，
当时，时，，所以的图象如图所示，
由题知与有三个交点，所以，
故选：A.
8. 已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得.
详解】由可得，即，
设，，则由可得，在上单调递增.
又，
由可得，，即，解得.
故选：A.
关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.
解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的极值点为B. 的极大值为
C. D. 只有1个零点
【正确答案】BCD
【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值即可判断A、B；利用函数单调性即可判断C；令函数等于0，求出零点即可判断D.
【详解】∵函数，∴，
由，得，解得，
由，得，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，故A错误，B正确；
由，得，
又∵函数在上单调递减，∴，即，故C正确；
由，得，得，即函数只有一个零点，故D正确
故选：BCD.
10. 下列不等式正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，
【正确答案】ABD
【分析】根据选项中的不等关系可构造对应的函数，利用导数可求得函数的单调性和最值，从而得到选项中不等关系的正误.
【详解】对于A，令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即当时，，A正确；
对于B，令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即当时，，B正确；
对于C，令，则，
由A知：，即恒成立，在上单调递增，
又，当时，；当时，；
即当时，；当时，，C错误；
对于D，令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，，
即当时，，D正确.
故选：ABD.
11. 英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；这点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法．若使用该方法求方程的近似解，则（ ）
A. 若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为
B. 若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为
C.
D.
【正确答案】ABD
【分析】根据牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.
【详解】令，则，当，，，故A正确；
当，，，故B正确；
因为；；；，
∴，故D正确，C错误.
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．）
12. 函数的导数______．
【正确答案】
【分析】利用导数运算法则求解即得.
【详解】函数，求导得.
故
13. 已知函数满足，则___________.
【正确答案】##
【分析】对求导，再代入，进行求解.
【详解】，，即，解得：
故
14. 已知函数在处有极大值，则______.
【正确答案】
分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可．
【详解】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点．
综上．
故．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. （1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值；
（2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值；
【正确答案】（1）0或；（2）1.
【分析】（1）先求得曲线在点处的切线方程，再分和，由切线方程与曲线联立求解；
（2）由，求导，得到在点处的切线的斜率为2a，然后根据题意，由求解.
【详解】（1）由，得，
则，
所以曲线在点处的切线方程为，
即，
当时，由，解得，
所以曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点；
当时，由，得，
由，解得，符合题意；
综上：实数 的值为0或；
（2）由，得 ，则在点处的切线的斜率为2a，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，解得 .
16. 已知函数
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值；
（2）当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解.
【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数.
【小问1详解】
由题意可知，的定义域为，
则，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增.
所以故;
【小问2详解】
由（1）可知作出函数图像，
由图，当时，方程的解个数为个；
当或时，方程的解个数为个；
当时，方程的解个数为个.
17. 已知函数．
（1）若是的极值点，求函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，当时，求的最值．
【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．
（2）最小值为，最大值为．
【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且时，可得当时，，单调递减；当x＞1 时，，单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增,计算可得，计算，，比较大小可得最大值.
【小问1详解】
因为是的极值点，
所以，可得．
所以，.
因为在上单调递增，且时，，
所以时，，，单调递减；
时， ，，单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
在（1）的条件下，在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递减，在上单调递增．
求，，，
，
∴.
所以，当时，求的最小值为，最大值为．
18. 福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．

（1）求关于的函数关系式．
（2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．
【正确答案】（1），
（2）栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元
【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可；
（2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值.
【小问1详解】
因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，.
【小问2详解】
由（1）得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元.
19. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
【正确答案】（1）见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.