江苏省江阴市某校2023-2024学年高二下学期3月阶段检测数学试题（Word版附答案）

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1．下列求导运算中错误的是（ C ）
A． B． C． D．
2．函数的单调递减区间是（ D ）
A．B．C．D．
3．4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（ A ）
A．81种B．64种C．24种D．36种
4．已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（C ）
A．5cm/sB．6cm/sC．8cm/sD．10cm/s
5．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ D ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
6．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ D ）
A．B．C．D．
7．过点有三条直线和曲线相切，则实数a的取值范围是（ B ）
A．B．C．D．
8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则，，的大小关系正确的是（ B ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题正确的是( BD )
A. 若，则函数在处无切线
B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 曲线在处的切线方程为，则
D. 若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为
10．已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ACD ）
A．B．C．D．
11．已知函数，则（ ACD ）
A．函数在R上单调递增，则 B．当时，函数的极值点为－1
C．当时，函数有一个大于2的极值点
D．当时，若函数有三个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．为美化校园环境，在学校统一组织下，安排了高二某班在如图
所示的花坛中种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求相邻区
域颜色不同，则有 种不同方案．72
13．点P是曲线上任意一点，且点P到直线的距离的最小值是，则实数a的值是__________.
14．函数，当时，零点的个数是______；若存在实数，使得对于任意，都有，则实数的取值范围是______. 1；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数在处取得极大值1.
（1）求函数的图象在处切线的方程；
（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.
解：（1）因为，由题意可得解得，，所以；
经检验，适合题意， 又，，
所以函数图象在处切线的方程为，即.
（2）因为，令，得或.
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，
当时，，函数为增函数.
因为函数在上不单调，所以或，所以或.
16.（15分）已知函数．
讨论函数的单调性；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值。
17．（15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求实数的值；
（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
【详解】（1）∵时，，
由函数式，得，∴.
（2）由（1）知该商品每日的销售量，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
，，
，
令，得，
当时，，函数在上递增;
当时，，函数在上递减;
∴当时，函数取得最大值.
所以当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.
18．（17分）现有这6个数字，回答下列问题：
（1）若数字允许重复，则可以组成多少个不同的五位偶数？
（2）若数字不允许重复，则可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数？
（3）若直线方程中的可以从已知的6个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
解：（1）个
当首位数字是5，而末位数字是0时，有个，当首位数字是3，末位数字是0或者时，有个，当首位数字是1或或，而末位数字是0或5时，有个，故共有个
中有一个取0时，有2条，都不取0时，有条；重复，与重复，故共有条
19．（17分）已知函数
当时，求函数的极值；
若函数在区间内存在零点，求实数a的取值范围．
解：当时，，则，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
由题意得，设，则
若，则，故由得在区间内没有零点；
若，则，故函数在区间内单调递增．
又，，所以存在，使
故当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因为，，所以当时，在区间内存在零点．
若，由得当时，
则，
此时函数在区间内没有零点．综上，实数a的取值范围为