2024-2025学年河北省邯郸市武安市高二下册第一次月考（3月）数学检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市武安市高二下册第一次月考（3月）数学检测试题（附答案），共16页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 设函数，则下列说法正确的是， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A. 14B. 64C. 72D. 80
【正确答案】B
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.
故选：B．
2. 已知函数在处的导数为3，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【正确答案】B
【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解.
【详解】因为函数在处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B.
3. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据求导公式求出函数的导函数，然后将代入导函数中进行计算.
【详解】对于函数，求导.
将代入中.
所以.
故选：A.
4. 现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A. B. C. 20D. 9
【正确答案】A
【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案.
【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法.
则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为.
故选：A
5. 已知函数，则的极小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为
所以，
令，则，解得或（舍），
由此表可知，当时，的取得极小值为.
故选：D.
6. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案.
【详解】在上恒成立，
故在上单调递增，
因为，故，所以，故，
所以，
当时，，
故，，则，
故，
综上，，A正确.
故选：A
7. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可.
【详解】，，令，解得，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的值域为.
当时，，所以在上单调递增，
又，所以值域为，
又，使得，所以，解得，
即实数的取值范围是．
故选：B．
8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A. 2B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案.
【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】根据导数的四则运算法则逐项计算判断即可.
【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：因为，所以，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递减B. 的最小值为0
C. 的对称中心为D. 方程有3个不同的解
【正确答案】AC
【分析】利用导数考察函数的单调性及极值画出函数的大致图象，逐项判断，可判断A,B,D,对于C，利用中心对称定义进行判断即可.
【详解】对于A：，令或，令，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
可画出函数的大致图象如图所示，故A正确；
对于B：此函数无最小值，故B错误；
对于C：根据解析式易知，故C正确；
对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误，
故选:AC．
11. 已知函数的最大值为1，则（ ）
A.
B. 当时，
C.
D. 当时，
【正确答案】ACD
【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为，构造函数，利用导数求最值可判断D.
【详解】对A，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时取得最大值，解得，A正确；
对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减，
因为，所以，B错误；
对C，因为，所以，所以，C正确；
对D，当时，，不等式成立，
当时，，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在 上单调递减，
所以当时，取得最大值，
综上，当时，不等式成立，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有__________.
【正确答案】90种
【分析】根据分类加法计数原理即可求解.
【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）.
故90种
13. 函数的导函数满足关系式，则_____________．
【正确答案】
【分析】对函数两边求导，然后赋值，解得代入即可求解.
【详解】由，函数两边求导得：，
令，则，所以
代入函数得：．
故
14. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______．
【正确答案】##
【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围.
【详解】由得，
即，
令，则．
因为，
所以在上单调递增，
因为，所以，即，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，即，
所以k的最小值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
（3）.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
.
16. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求的极值.
【正确答案】（1）；
（2）极小值为，无极大值.
【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义及切点坐标列方程求解即可；
（2）求导得函数的单调区间，即可确定极大值和极小值.
【小问1详解】
由题意知，所以，
解得；
【小问2详解】
由（1）知，令，所以，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为，无极大值.
17 已知函数．
（1）若在处取得极值，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求a的取值范围．
【正确答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和.
（2）.
【分析】（1）求出，由题意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的单调区间.
（2）由条件可得在区间上恒成立，得在区间上恒成立，结合二次函数，可得答案.
【小问1详解】
，
，解得，则，
，
令，解得或，令，解得，
所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和.
【小问2详解】
，
因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，
因为恒大于，所以在区间上恒成立，
设，
当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意，
当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立，
只需不等式组无解，
或解得，
当时，函数的对称轴，
要在区间上恒成立，
则只需，无解，
综上，实数的求值范围是.
18. 已知函数．
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明:．
【正确答案】（1）；
（2）证明见解析.
【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可；
（2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式.
【小问1详解】
在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
【小问2详解】
证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）令，当时，求的极值点个数；
（3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）两个极值点. （3）或
【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性；
（2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数；
（3）求导，整理得，易知，为一个零点，
分和分类讨论.
【小问1详解】
定义域为，
当时，在上单调递增
当时，由，得，
由，得，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
，
令
当时，时单调递减，
时，单调递增，，
又时，，
所以分别在和上存在唯一的变号零点，
即有两个极值点.
【小问3详解】
，
又为一个零点，
①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点.
②若，令
又，则，即单调递增，
i.当时，即，当时，单调递减；
当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点.
ii.当时，即，当时，，
所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增
又时，，所以有两个零点.
iii.当时，即，当时，，
所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
又时，，所以有两个零点.
所以，有且仅有两个零点时，或.
思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解.
x
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增