高考数学第二轮复习专题练习 专题8.8 空间点、直线、平面之间的位置关系（重难点题型检测）（教师版）

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1．（3分）（2022春·江苏南京·高一期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
B．若四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
D．三个不重合的平面最多可将空间分成七个部分
【解题思路】A.这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；B.该选项正确；C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，所以该选项错误；D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
【解答过程】A. 如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面可能相交或重合，所以该选项错误；
B. 若四点不共面，则其中任意三点不共线，所以该选项正确；
C. 空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，如三棱锥P-ABC,相交于同一点P的三条直线PA,PB,PC不在同一平面内，所以该选项错误；
D. 三个不重合的平面最多可将空间分成八个部分，所以该选项错误.
故选：B.
2．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）
A．相交直线B．平行直线C．不互相垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线
【解题思路】首先证明A'D'//平面BCC'B'，再说明B'C'∩BB'=B'，证明异面，再利用侧面为梯形，证明其互不垂直.
【解答过程】在正四棱台中,A'D'//B'C',又A'D'⊄平面BCC'B'，B'C'⊂平面BCC'B'，
所以A'D'//平面BCC'B',又BB'⊂平面BCC'B'，且B'C'∩BB'=B'，
所以A'D'与BB'异面，
又因为四边形BCC'B'是等腰梯形,所以BB'与B'C'不垂直，又∵A'D'//B'C'
所以BB'与A'D'不垂直，故两者为不互相垂直的异面直线，
故选：C.
3．（3分）（2022·上海·高二专题练习）已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条
【解题思路】根据平面β与平面γ的位置关系，分类讨论，即可求解.
【解答过程】由题意，当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；
当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；
当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线；
故选：D.
4．（3分）（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【解题思路】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．
【解答过程】如图，
∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
故选：B．
5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）在正方体中，E、F、G、H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E、F、G、H四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】对于B，证明EH//FG即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可.
【解答过程】对于选项A，如下图，点E、F、H、M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E、F、G、H四点不共面；
对于选项B，连结底面对角线AC，由中位线定理得FG//AC，又EH//AC，则EH//FG，故E、F、G、H四点共面
对于选项C，显然E、F、H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E、F、G、H四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点E、G、H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E、F、G、H四点不共面．
故选：B.
6．（3分）（2023·高一课时练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1C1的中点，那么直线CP与B1D1所成角的余弦值是（ ）
A．32B．1010C．35D．45
【解题思路】根据异面直线夹角的概念平移找角，再结合余弦定理计算即可.
【解答过程】解：连接A1C1交B1D1于Q，取DC中点为M，连接D1M,QM,QP，
由正方体可知，D1C1//DC,D1C1=DC，又A1C1交B1D1于Q，Q为B1D1中点，所以QP//D1C1,QP=12D1C1，
即QP//CM,QP=CM，所以四边形PCMQ为平行四边形，所以MQ//CP,MQ=CP
则直线CP与B1D1所成角为∠MQD1或其补角，
在△D1MQ中，D1Q=12D1B1=22,MQ=CP=12+122=52,D1M=12+122=52，
所以cs∠MQD1=MQ2+D1Q2-D1M22MQ⋅D1Q=54+12-542×52×22=1010,
则直线CP与B1D1所成角的余弦值是1010.
故选：B.
7．（3分）（2022春·四川成都·高二阶段练习）对于两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，下列选项错误的为（ ）
A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n或m∥n
C．若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α
【解题思路】根据空间中的线面关系逐一判断即可.
【解答过程】若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n，故A正确；
由m∥α，n∥β，α⊥β推不出m⊥n或m∥n，故B错误；
若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D正确；
故选：B.
8．（3分）（2022秋·黑龙江大庆·高二期中）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】由题可知该几何体的顶点均在边长为1的正方体的顶点上,再根据线面平行与垂直以及面面垂直平行的判定逐个判断即可.
【解答过程】由题画出该几何体外接的正方体.
对①,因为MC//EB,AN⊥EB,故MC⊥AN成立.故①正确.
对②,因为DB//MN,MN⊂平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正确.
对③,连接AC易得A-MNC为正四面体.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③错误.
对④,正方体中平面DCM与平面ABN分别为前后两面,故④正确.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·广西桂林·高一期末）如图所示，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列能成立的是（ ）
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成的角为30°
D．l与BD垂直
【解题思路】依次分析每个选项，假设l∥AD，得出矛盾，A错误；取l为A1C1所在直线，满足BD；取l与C1D1成30°角，C成立，即可得到答案.
【解答过程】假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1可得l∥B1C1，与“l与B1C1不平行”矛盾，所以l与AD平行，A错误；
取l为A1C1所在直线，满足B，又因为l⊥B1D1，B1D1∥BD，所以l⊥BD，D正确；
取l与C1D1成30°角，因为C1D1∥CD，所以此时l与CD所成的角为30°，C正确；
故选：BCD.
10．（4分）（2022秋·山东东营·高二阶段练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1,CC1的中点，平面DPQ∩平面A1B1C1D1=l，则下列结论中不正确的有（ ）
A．l过点B1
B．l不一定过点B1
C．DP的延长线与D1A1的延长线的交点不在l上
D．DQ的延长线与D1C1的延长线的交点在l上
【解题思路】连接PB1、DB1，在正方体中可得四边形DPB1Q是平行四边形，由点共面得点共线可判断A B；DP的延长线与D1A1的延长线的交点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交点E，
由点共面得点共线可判断CD.
【解答过程】连接PB1、QB1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，取BB1的中点N，
连接CN，则DP//CN//QB1,DP=CN=QB1，
所以四边形DPB1Q是平行四边形，B1∈平面DPB1Q，B1∈平面A1B1C1D1，
所以B1∈l，故A正确，B错误；
如图DP的延长线与D1A1的延长线的交点F，DQ的延长线与D1C1的延长线交点E，
因为DF⊂平面DPB1Q，所以F∈平面DPB1Q，
因为D1A1⊂平面A1B1C1D1，所以F∈平面A1B1C1D1，所以F∈l，
因为DQ⊂平面DPB1Q，所以E∈平面DPB1Q，
因为D1C1⊂平面A1B1C1D1，所以E∈平面A1B1C1D1，所以E∈l，
故C错误，D正确.
故选：BC.
11．（4分）（2023秋·浙江宁波·高三期末）设a,β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，（ ）
A．若m⊥α,n⊥α，则m∥n
B．若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β，则α∥β
C．若α∥β,m⊂α,n⊥β，则m⊥n
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【解题思路】垂直于同一平面的两条直线平行，A正确；当m∥n时结论未必成立，B错误；证明CD正确，得到答案.
【解答过程】对选项A：垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
对选项B：当m∥n时结论未必成立，错误；
对选项C：α∥β,n⊥β，故n⊥α，又m⊂α，故m⊥n，正确；
对选项D：α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，排除m⊂α，则m∥α，正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三期末）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，其棱长为3.M，N分别为棱A1B1，BB1的中点，过D，M，N三点作该正方体的截面，截面是一个多边形α.则（ ）
A．截面α和面ABCD的交线与截面α和面ADD1A1的交线等长
B．截面α是一个五边形.
C．截面α是一个梯形.
D．截面α在顶点D处的内角的余弦值为413
【解题思路】做出截面α，依次判断选项即可.
【解答过程】延长C1C至C2，使CC2=CC1；延长C1D1至D2，使C1D1=D1D2；
连接C2D，DD2，因CD=CC2，CD⊥CC2，则△CDC2为等腰直角三角形，
同理可得△D2D1D为等腰直角三角形，又∠D2DD1+∠D1DC+∠C2DC1=180，
则C2，D，D2三点共线.连接CD1，BA1.因C，D1分别为C1C2，C1D2中点，则C2D2∥CD1.又CB∥A1D1，CB=A1D1，则四边形CBA1D1为平行四边形，得
CD1∥BA1.又M，N分别是B1A1，B1B中点，则MN∥BA1.
故C2D2∥CD1∥BA1，BA1∥MN，则C2D2∥MN，
则M，N，C2，D，D2五点共面.设这五点所在平面为β.
C2∈C1C2，N∈BB1，C1C2⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，
则C2N⊂平面BB1C1C，连接C2N交BC于E.
因∠BEN=∠CEC2，∠NBE=∠C2CE，则△BEN∼△CEC2，得BEEC=BNCC2=12.
同理，可得D2M⊂平面A1B1C1D1，连接D2M交A1D1于F，则A1FFD1=A1MD1D2=12.
又F∈D2M，D2M⊂β，E∈C2N，C2N⊂β，
则E∈β，F∈β.即M，N，E，D，F五点共面.
顺次连接DF，FM，MN，NE，ED，得截面α为五边形DFMNE.
对于A，如图可知，截面α和面ABCD的交线为DE，截面α和面ADD1A1的交线为DF，
又几何体棱长为3，BEEC=12，A1FFD1=12，
则DF=DD12+D1F2=32+22=13，
DE=DC2+CE2=32+22=13，故DF=DE，则A正确；
对于BC选项，由图可知B正确，C错误；
对于D选项，由图可知截面α在顶点D处的内角为∠FDE，连接EF，
因BE∥A1F，BE=A1F=1，则四边形BEFA1为平行四边形，得EF=BA1=32.
又由A选项分析可知，DE=13，DF=13，则在三角形DEF中由余弦定理有
cs∠FDE=DE2+DF2-EF22⋅DE⋅DF=26-1826=413，则D正确.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022秋·上海静安·高二期中）点A∈平面α，点A∈平面β，平面α∩平面β=直线l，则点A ∈ 直线l（用集合符号表示）.
【解题思路】由题意点A∈平面α∩β，又平面α∩平面β=直线l，分析即得解.
【解答过程】由题意，点A∈平面α，点A∈平面β，
故点A∈平面α∩β，
又平面α∩平β=直线l，
故点A∈直线l.
故答案为：∈.
14．（4分）（2022·高二课时练习）下列命题中，所有正确命题的序号是 ①③④ .
①两个相交平面把空间分成4部分.
②有两个角是直角的四边形是平面图形.
③若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点.
④如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，那么交点在两平面的交线上.
【解题思路】根据平面的性质依次判断选项即可。
【解答过程】对①，两个相交平面把空间分成4部分，故①正确；
对②，如图所示：
∠ABC=∠ASC=90∘，满足题意，此时为立体图形，故②错误；
对③，若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点，在两个平面的交线上，
故③正确；
对④，如果分别在两个不同平面上的两条直线有交点，此时交点为两个平面的公共点，
必在两个平面的交线上，故④正确；
故答案为：①③④.
15．（4分）（2023秋·广东广州·高二期末）如图，在棱长为2的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值为 23 ．
【解题思路】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解．
【解答过程】如图，连接DN，取DN中点G，连接MG，又M是AD中点，则MG//AN，
所以异面直线AN，CM所成角是∠CMG或其补角，
由已知AN=CM=3，MG=12AN=32，
NG=12DN=32，又DN⊥BC，CG=NG2+NC2=(32)2+12=72，
△MCG中，cs∠CMG=34+3-742×32×3=23，
∴异面直线AN，CM所成角的余弦值为23．
故答案为：23．
16．（4分）（2023·高三课时练习）如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是 ①②③ ．（填写所有符合要求的结论序号）
①A,M,O三点共线； ②A,M,O,A1四点共面；
③A,O,C,M四点共面； ④B,B1,O,M四点共面．
【解题思路】对于①，利用公理3，证明A,M,O为两个平面的公共部分即可；
对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断；
对于④，根据异面直线的定义，判定直线BB1，直线OM为异面直线后可知其错误.
【解答过程】对于①，两条平行线确定一个平面，即A,C,C1,A1共面，显然平面AB1D1∩平面ACC1A1=A，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面AB1D1，平面ACC1A1的交线为l，注意到O是B1D1的中点，矩形对角线互相平分，故O也是A1C1的中点，即O∈A1C1，A1C1⊂平面ACC1A1，故O∈平面ACC1A1，又O∈B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，故O∈平面AB1D1，即O∈l；由M∈A1C，A1C⊂平面ACC1A1，即M∈平面ACC1A1，由题干直接可知，M∈平面AB1D1，故M∈l，故A,M,O三点共线；
对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故A,M,O确定的直线和A1共面，故②正确；
对于③，类似②，A,M,O确定的直线和C共面，故③正确；
对于④，BB1⊄平面AB1D1，OM⊂平面AB1D1，BB1∩平面AB1D1=B1，且B1∉OM，根据异面直线的定义，直线BB1，直线OM为异面直线，故B,B1,O,M不可能四点共面，故④错误.
故答案为：①②③.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高二课时练习）将下列符号语言转化为图形语言．
（1）a⊂α，b∩α＝A，A∉a．
（2）α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P．
【解题思路】在集合中，点为元素，直线和平面为集合，根据题意，正确用集合中的符合即可．
【解答过程】（1）
（2）
18．（6分）（2022·全国·高三专题练习）三个平面分空间有几种情况？并说明每种情况下能将空间分成几部分.
【解题思路】按照平面的位置关系分类，即可得解.
【解答过程】三个平面分空间有4种情况，
若三个平面均平行，则将空间分成4部分；
若三个平面交于一条线，则将空间分成6部分；
若三个平面两两相交，且交线不平行时，则将空间分成8部分；
若三个平面两两相交，且交线平行时，则将空间分成7部分.
19．（8分）（2022·上海·高二专题练习）如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a；求证：PQ⊂α.
【解题思路】由已知，根据PQ∥a，可确定PQ和a属于平面β，再根据a⊂β，点P∈β且P∈b，b⊂α，得到P∈α，从而得到α与β重合，即可证明PQ⊂α.
【解答过程】证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，
所以直线a⊂β，点P∈β，
因为P∈b，b⊂α，所以P∈α，
又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，
所以PQ⊂α.
得证.
20．（8分）（2022秋·全国·高一专题练习）（1）平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？
（2）平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？
【解题思路】（1）举反例说明命题是假命题，（2）根据面面平行定义判断命题正确.
【解答过程】（1）不正确．
如图所示，设α∩β＝l，
则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，
它们是一组平行线，
这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行（因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点），
但此时α与β不平行，α∩β＝l．
（2）正确．
平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．
21．（8分）（2023·高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1)AA1与CC1是否在同一平面内？请说明理由；
(2)点B、C1、D是否在同一平面内？请说明理由；
(3)画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线；画出平面ACD1与平面BDC1的交线．
【解题思路】（1）由两平行直线可确定一平面，可得答案；
（2）由不共线三点可确定一平面，可得答案；
（3）如图，找到两平面的公共点，公共点连线为平面交线.
【解答过程】（1）是，平行直线确定一平面；
（2）是，不在同一直线上三点确定一平面
（3）如图，设BD∩AC=O，又C1∈平面ACC1A1，
C1∈平面BC1D，O∈平面ACC1A1，O∈平面BC1D，则C1O⊂平面BC1D，
C1O⊂平面ACC1A1，故平面ACC1A1与平面BC1D的交线为C1O；
如图，设CD1∩C1D=O1，AC∩BD=O2.
因O1∈平面ACD1，O1∈平面BDC1，O2∈平面ACD1，O2∈平面BDC1，
则O1O2⊂平面ACD1，O1O2⊂平面BDC1.故平面ACD1与平面BDC1的交线为O1O2.
22．（8分）（2023·高一单元测试）如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，AEED=BFFC=12．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AB=CD=3，EF=7，求AB、CD所成角的大小．
【解题思路】（1）G为DC上靠近D的三等分点，易证F,G,B,D四点共面FGDB（面FDB），结合异面直线的定义判断EF与BD是否异面；
（2）H,I分别为AC,BD靠近A,B的三等分点，易知AB、CD所成角为∠IFH或其补角，进而求其大小.
【解答过程】（1）若G为DC上靠近D的三等分点，则DGGC=BFFC=12，故FG//BD，
所以F,G,B,D四点共面FGDB，显然F,B,D不共线，故面FDB与面FGDB为同一个平面，
而E∉面FDB，F∈面FDB，即EF∩面FDB=F，BD⊂面FDB，F∉BD，
所以直线EF与BD是异面直线；
（2）若H,I分别为AC,BD靠近A,B的三等分点，则BIID=AHHC=BFFC=AEED=12，
所以EI//AB//FH，FI//DC//HE，故IFHE为平行四边形，且AB、CD所成角为∠IFH或其补角，
又HE=13CD=1，FH=23AB=2，则cs∠IFH=cs(π-∠EHF)=-cs∠EHF=-HE2+FH2-EF22HE⋅FH=-12，
由∠IFH∈(0,180°)，故∠IFH=120°，则AB、CD所成角为60°.