高考数学第二轮复习专题练习 专题8.4 立体图形的直观图（重难点题型检测）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题8.4 立体图形的直观图（重难点题型检测）（教师版），共17页。
1．（3分）（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【解题思路】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可.
【解答过程】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于x轴和y轴的两条直线，在直观图中夹角为45∘，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的x,y轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
2．（3分）（2022秋·陕西咸阳·高一阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【解题思路】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果.
【解答过程】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；
长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故BC错误；
菱形的直观图是平行四边形，故D错误.
故选：A.
3．（3分）（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】由斜二侧画法的规则分析判断即可
【解答过程】先作出一个正三角形A1B1C1，
然后以B1C1所在直线为x轴，以B1C1边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
画对应的x',y'轴，使夹角为45°，
画直观图时与x轴平行的直线的线段长度保持不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，
然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，
故选：A.
4．（3分）（2022·高一课时练习）下列空间图形画法错误的是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.
【解答过程】D选项：遮挡部分应画成虚线．
故选:D.
5．（3分）（2022春·湖南·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示.已知O为坐标原点，A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形O'A'B'C'的周长为（ ）
A．8B．10C．5+22D．6+22
【解题思路】根据原图作出它的直观图，再计算周长.
【解答过程】如图，画出直观图，
过点A'作A'D⊥O'C'，垂足为D.因为O'C'=12OC=3，∠C'O'A'=∠B'A'x=45°，所以O'C'∥A'B'，O'D=A'D=2，C'D=1=A'B'，则A'D=B'C'=2，故四边形O'A'B'C'的周长为O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22，所以D正确.
故选：D.
6．（3分）（2022春·河南平顶山·高一期末）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，AB=22，BC=3，OA⊥AB且OA∥BC，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A．52B．5C．52D．522
【解题思路】根据斜二测画法得到直观图，计算可得.
【解答过程】如图所示，O'A'B'C'为OABC的直观图，根据斜二测画法的规则可知O'A'=2，A'B'=2，B'C'=3，A'B'平行于y'轴，∴该图形的面积为S=12×3+2×2×22=52．
故选：C.
7．（3分）（2022秋·云南红河·高二开学考试）如图，已知△ABC通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则△ABC为（ ）
A．面积为22的等腰三角形
B．面积为42的等腰三角形
C．面积为22的直角三角形
D．面积为42的直角三角形
【解题思路】将直观图还原即可求解.
【解答过程】解：如图因为斜二测画法得到的直观图△A'B'C'是面积为2的等腰直角三角形，
故A'C'=A'B'=2,C'B'=22，∠A'C'B'=45°,
将直观图还原，则CB=C'B'=22,AC=2A'C'=4,∠ACB=2∠A'C'B'=90°
故所得三角形为直角三角形，面积为12×22×4=42.
故选：D.
8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）某组合体的正视图和侧视用如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线所表示的平面图形，其中四边形O'A'B'C'为平行四边形，D'为C'B'的中点，则图（2）中平行四边形O'A'B'C'的面积为（ ）
A．12B．32C．62D．6
【解题思路】由已知可得正视图,根据斜二测知识点可知图(2)中对应的边长,即可求出面积.
【解答过程】由正视图和侧视图可得俯视图如下：
∴O'A'=4，|O'C'|=32，
∵∠A'O'C'=45°，
∴SΔA'O'C'=12O'A'⋅O'C'⋅sin∠A'O'C'=322，
∴S△O'A'B'C'=2S△A'O'C'=32，
故选:B.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022春·吉林长春·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
【解题思路】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.
【解答过程】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；
平行线段在直观图中仍然平行，B正确；
一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；
如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.
故选：BC.
10．（4分）（2022·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.
【解答过程】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y'轴的边与底边垂直，原图形如图所示：
即可判断不可能的为A，B，D.
故选：ABD.
11．（4分）（2022春·浙江温州·高一期末）已知△ABC是等腰直角三角形， AB=AC=2， 用斜二测画法画出它的直观图 △A'B'C'， 则B'C'的长可能是（ ）
A．22B．26C．5-22D．12
【解题思路】通过斜二测画法的定义可知BC为x'轴时，B'C'=22为最大值，以BC为y'轴，则此时B'C'=12BC=2为最小值，故B'C'的长度范围是2,22，C选项可以
以AB为x'轴进行求解出，从而求出正确结果.
【解答过程】以BC为x'轴，画出直观图，如图2，此时B'C'=BC=4+4=22，
A正确，
以BC为y'轴，则此时B'C'=12BC=2，
则B'C'的长度范围是2,22，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为x'轴，则A'B'=2,A'C'=1，此时过点C'作C'D⊥x'于点D，则∠C'A'B'=45°，
则A'D=C'D=22，B'D=2-22，
由勾股定理得：B'C'=2-222+222=5-22，C正确；
故选：AC.
12．（4分）（2022秋·辽宁朝阳·高二阶段练习）如图所示，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'=2，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC的面积是△A'B'C'的面积的2倍
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC的周长是4+42
【解题思路】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.
【解答过程】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为CA的中点，AC⊥OB，
因为O'C'=O'A'=2O'B'=2，所以CO=AO=2,AC=4,OB=2，
则△ABC是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：
所以△ABC的周长是4+42，面积是4，故A错误，C，D正确.
由斜二测画法可知，△ABC的面积是△A'B'C'的面积的22倍，故B错误.
故选：CD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是 ③ ．（填序号）
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的12；
③画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，∠x'O'y'必须是45∘；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
【解题思路】由“斜二测画法”规则：坐标轴夹角为45∘（或135∘），平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，并且线段的平行性不改变， 以上即可作为判断依据.
【解答过程】原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变，故①正确；
原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来的12，故②正确；
画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，∠x'O'y'也可以是135°，故③错误；
在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.
故答案为：③.
14．（4分）（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，CD=2cm，AB=4cm，AD=4cm，则ABCD水平放置的直观图中△ACD的形状是 等腰三角形 .
【解题思路】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果.
【解答过程】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD，
如图2所示，再作出坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'=45∘，以A'为坐标原点O'，在x轴上作A'B'=AB=4，在y轴上作A'D'=12AD=2，作D'C'//A'B'，且D'C'=DC=2，连结B'C'，则A'D'=D'C'，△A'C'D'为等腰三角形.
则ABCD水平放置的直观图中△ACD的形状是等腰三角形.
故答案为：等腰三角形.
15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，△A'B'O'是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知A'B'∥y'轴，O'B'=4，且△ABO的面积为16，过A'作A'C'⊥x'轴，则A'C'的长为 22 ．
【解题思路】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到△A'B'O'的面积，进而得到A'C'.
【解答过程】因为S△ABO=16，S△A'B'O'S△ABO=24，O'B'=4
所以S△A'B'O'=42=12×O'B'×A'C'，即A'C'=22.
故答案为：22.
16．（4分）（2022春·上海闵行·高一期末）如下图所示，梯形A1B1C1D1是水平放置的平面图形ABCD的直观图（斜二测画法），若A1D1//O'y',A1B1//C1D1,A1B1=23C1D1=4，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是
10 ．
【解题思路】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．
【解答过程】根据直观图画法的规则，
直观图中A1D1平行于y轴，A1D1=1，
所以原图中AD//Oy，
从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，
直观图中A1B1//C1D1，A1B1=23C1D1=4，
所以原图中AB//CD，AB=23CD=4，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为4，6，高为2，
故其面积S=12×4+6×2=10.
故答案为：10.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；
（4）菱形的直观图还是菱形.
【解题思路】根据三角形、平行四边形、正方形、菱形的直观图的性质，判断出命题的真假性.
【解答过程】（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题.
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.
（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.
（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.
18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）如图，已知点A-1,1，B1,3，C3,1,用斜二测画法作出该水平放置的四边形ABCO的直观图，并求出面积.
【解题思路】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.
【解答过程】由斜二测画法可知，在直观图中，A2O'=1，O'B2=1，C2O'=3，B2C2=2，A2A1=12，B2B1=32，C2C1=12，A1A2∥B1B2∥C1C2，∠A1A2O'=∠B1B2C2=45°，
所以SA1B1C1O'=SA1A2B2B1+SC1C2B2B1-S△A1A2O'-S△O'C2C1
=A1A2+B1B2⋅A2B2⋅sin45°2+C1C2+B1B2⋅C2B2⋅sin45°2-A1A2⋅A2O'⋅sin45°2-C1C2⋅C2O'⋅sin45°2
=12+32×2×222+12+32×2×222-12×1×222-12×3×222=322.
19．（8分）（2022·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形；
(2)平行四边形；
(3)正三角形；
(4)正五边形
【解题思路】（1）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；
（2）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；
（3）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；
（4）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系.
【解答过程】(1)
解：根据斜二测画法的规则，可得：
设OD=a，OB=b，则O'B'=12b，直观图中边O'D'边上的高为12bsin45∘=24b，
因此，设直观图和原图形的面积分别为S'、S，则S'=a×24b=24ab=24S.
(2)
解：根据斜二测画法的规则，可得：
设OB=a，OE=b，则O'E'=12b，直观图中边O'B'边上的高为12bsin45∘=24b，
因此，设直观图和原图形的面积分别为S'、S，则S'=a×24b=24ab=24S.
(3)
解：根据斜二测画法的规则，可得：
设BC=a，OA=b，则O'A'=12b，直观图中边B'C'边上的高为12bsin45∘=24b，
因此，设直观图和原图形的面积分别为S'、S，则S'=12a×24b=24×12ab=24S.
(4)
解：根据斜二测画法的规则，可得：
设CD=a，OF=b，则O'F'=12b，△O'C'D'的边C'D'边上的高为12bsin45∘=24b，
所以，S△O'C'D'=12a×24b=24×12ab=24S△OCD，
同理可得S△O'A'B'=24S△OAB，S△O'B'C'=24S△OBC，S△O'D'E'=24S△ODE，S△O'A'E'=24S△OAE，
设五边形ABCDE的面积为S，直观图五边形A'B'C'D'E'的面积为S'，
则S'=S△O'A'B'+S△O'B'C'+S△O'C'D'+S△O'D'E'+S△O'A'E'
=24S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODE+S△OAE=24S.
20．（8分）（2022·高二课时练习）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD//AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【解题思路】由斜二测画法规则作直观图，在直观图中求得梯形的高可得面积．
【解答过程】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.
由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝12OD，梯形的高D′E′＝12×22=24，
于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝12×(1＋2)×24＝328.
21．（8分）（2022·高一课时练习）如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图.若A1D1//O'y',A1B1//C1D1,A1B1=23C1D1=2,A1D1=O'D1=1.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?
【解题思路】根据直观图与原图之间的边角关系求解即可.
【解答过程】由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上､下底边长度分别为AB=2,CD=3,直角腰的长度AD=2,所以面积为S=2+32×2=5.
直观图中梯形的高为22,
因此其面积为S'=12×2+3×22=524.
22．（8分）（2022春·福建宁德·高一期中）如图所示，O'A'B'C'为四边形OABC的斜二测直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．
(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．
【解题思路】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出OABC的边长，即可求出四边形OABC的面积；
（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，且几何体底面圆半径为r=2，圆柱母线长和高都为1，即h1=l1=1，圆锥的高为h2=2，母线长为l2=22，再根据锥体、柱体的体积与表面积公式计算可得；
【解答过程】（1）
解：在直观图中O'A'=3，O'C'=1，B'C'=1．
所以在平面图形中OA=3，OC=2O'C'=2，BC=B'C'=1，所以AB=22+22=22，
所以平面四边形OABC的平面图形如下图所示：
由上图可知，平面四边形OABC为直角梯形，
所以面积为1+3×22=4．
（2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，
由（1）可知几何体底面圆半径为r=2，圆柱母线长和高都为1，即h1=l1=1；
圆锥的高为h2=2，母线长为l2=22
所以体积V=V柱+V锥=πr2h1+13πr2h2=4π+83π=203π；
所以表面积S=πr2+2πrl1+πrl2=4π+4π+42π=8+42π．