高考数学第二轮复习专题练习 专题8.3 立体图形的直观图（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题8.3 立体图形的直观图（重难点题型精讲）（教师版），共15页。试卷主要包含了空间几何体的直观图等内容，欢迎下载使用。

1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积
.
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为，由斜二测画法得到的直观图的面积为，则有=.
【题型1 斜二测画法】
【方法点拨】
根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.
【例1】（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据斜二测画法规律，平行于y轴的线段长度是原长的一半即可判断.
【解答过程】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为2，
所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22，
故选：A．
【变式1-1】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中B'O'=C'O'=1，A'O'=32，那么△ABC是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定
【解题思路】将直观图还原为投影图，分析几何图形的形状.
【解答过程】
将直观图还原，则BO=CO=1，AO=23，所以△ABC是正三角形.
故选：A.
【变式1-2】（2022春·山西吕梁·高一期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形O1A1B1C1，其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6B．46C．42D．210
【解题思路】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.
【解答过程】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
OA=O1A1=6，OD=222+22=42，CD=O1C1=2，
则点A6,0，C-2,42，
∴AC=42-02+-2-62=46，
故选：B.
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O'C'=O'A'=2O'B'，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【解题思路】根据题意，将△A'B'C'还原成原图，分析OC、OB、OA的关系，由三角形的性质即可得答案．
【解答过程】将其还原成原图，设A'C'=2，则可得OB=2O'B'=1，
AC=A'C'=2，从而AB=BC=2，所以AB2+BC2=AC2，
即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形.
故选：C.
【题型2 画平面图形的直观图】
【方法点拨】
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上
或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点
一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
【例2】（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底AD=1cm，下底BC=3cm，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【解题思路】在等腰梯形ABCD中建立平面直角坐标系，再利用“斜二测”画法确定另两个顶点位置即可画出其直观图.
【解答过程】在等腰梯形ABCD中，过D作DO⊥AB于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
其中OD=1cm,OC=1cm,OB=2cm,AD=1cm,AD//BC，
在平面内取点O'，过O'作直线O'x',O'y'，使∠x'O'y'=45∘，如图，
在直线O'y'上取点D'，使O'D'=12OD=12cm，过D'作线段A'D'//O'x'，使D'A'=DA=1cm，
在直线O'x'上取点C',B'，使O'C'=OC=1cm,O'B'=OB=2cm，
连接C'D',A'B'，抹去辅助线得等腰梯形ABCD的直观图，如图梯形A'B'C'D'.
【变式2-1】（2023·高一课时练习）用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【解题思路】先在直角坐标系中得出各边的数值，再按“斜二测”画法作图，得出相关关系，再求出直观图的高度，求出面积.
【解答过程】画法:(1)如图 (1),在等边三角形ABC中,取BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,两轴相交于点O.在图 (2)中,画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(2)在图 (2)中,以O'为中点,在x'轴上取B'C'=BC,在y'轴上取O'A'=12OA.
(3)连接A'B',A'C',并擦去辅助线x'轴和y'轴,便获得等边三角形ABC水平放置的直观图A'B'C'(图 (3)).
由题意在平面直角坐标系中，三角形ABC是边长为2的正三角形
∴AB=BC=2，BC边上的高为h=3，
在三角形A'O'C'中，∠A'O'C'=45°，
∴B'C'=BC=2,A'O'=12AO=32,
B'C'边上的高h'=A'O'sin∠A'O'C'=32×22=64，
故S△A'B'C'=12B'C'⋅h'=12×2×64=64 ，
故直观图△A'B'C'面积64cm2.
【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)
【解题思路】根据斜二测画法作图即可.
【解答过程】
①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x轴重合，AE与y轴重合.通过C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、I，通过D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F、G；
②如图(2)，作坐标系x'O'y'，x'轴和y'轴夹角为45°，在x'轴上取点，使得：A'与O'重合，A'F'=AF，A'B'=AB，A'H'=AH；
③如图(2)，在y'轴上取点，使得：A'I'=12AI，A'E'=12AE，A'G'=12AG；
④如图(2)，过H'作y'轴平行线，过I'作x'轴平行线，两平行线交于C'；过F'作y'轴平行线，过G'作x'轴平行线，两平行线交于D'；
⑤如图(2)，依次连接B'、C'、D'、E'即可完成作图．
【变式2-3】（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为3cm的正三角形；
(2)边长为4cm的正方形；
(3)边长为2cm的正八边形．
【解题思路】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；
（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.
【解答过程】(1)
解：如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边的高线AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'=45∘，
在x'轴上截取O'B'=O'C'=OB=OC=1.5cm，在y'轴上截取O'A'=12OA，
连接A'B'、A'C'、B'C'，则△A'B'C'即为等边△ABC的直观图，如图③所示.
(2)
解：如图④所示，以AB、AD边所在的直线分别为x轴、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
画对应的x'轴、y'轴，使∠x'A'y'=45∘，
在x'轴上截取A'B'=AB=4cm，在y'轴上截取A'D'=12AD=2cm，
作D'C'//x'轴，且D'C'=4cm，连接B'C'，
则平行四边形A'B'C'D'即为正方形ABCD的直观图，如图⑥所示.
(3)
解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG，以点O为坐标原点，OA、OE所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系xOy，
设点B、G在x轴上的射影点分别为M、N，
画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'=45∘，
在x'轴上截取O'A'=OA=2cm，A'M'=AM，O'N'=ON，
在y'轴上截取O'E'=12OE，作E'D'//x'轴且E'D'=2cm，
作M'B'//y'轴，且M'B'=12MB，作N'G'//y'轴，且N'G'=12NG，
作B'C'//y'轴，且B'C'=1cm，作G'F'//y'轴，且G'F'=1cm，
连接O'A'、A'B'、B'C'、C'D'、D'E'、E'F'、F'G'、G'O'，
则八边形O'A'B'C'D'E'F'G'为正八边形OABCDEFG的直观图，如图⑨所示.
【题型3 画空间几何体的直观图】
【方法点拨】
(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确
地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
【例3】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图．
【解题思路】由斜二测画法的规则画出直观图即可.
【解答过程】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取AA'=3cm．
分别过点B、C、D作BB'//AA'，CC'//AA'，DD'//AA'，且BB'=CC'=DD'=AA'=3cm．
③连接A'B'、B'C'、C'D'、D'A'，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
【变式3-1】（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【解题思路】根据斜二测画法的要求和步骤，作图即可.
【解答过程】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得∠xOy=45∘,∠xOz=90∘ .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使GH=332cm ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段OO',使OO'=5cm，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段AA',BB',CC',DD',EE',FF' .
（4）成图.顺次连接A',B',C',D',E',F',并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图.

【变式3-2】（2022·高一课时练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1，的底面是等腰直角三角形，且AB=AC=4，侧棱AA1=5．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
【解题思路】根据斜二测画法的原则，可画出直观图.
【解答过程】如图所示．
【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【解题思路】利用斜二测画法求解.
【解答过程】如图所示：
【题型4 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【方法点拨】
根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
【例4】（2022秋·四川内江·高二期中）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=6cm，C'D'=2cm，则原图形OABC的面积是（ ）
A．242B．122C．12D．24
【解题思路】根据斜二测画法求出直观图的面积，进而即可得到原图形的面积.
【解答过程】由斜二测画法可知∠A'O'D'=∠D'O'C'=π4，
所以C'D'=C'O'=2cm，
所以SO'A'B'C'=O'A'×O'C'=12，
所以SOABC=SO'A'B'C'24=242,
故选：A.
【变式4-1】（2022秋·四川·高二期中）如图，Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图，若O'B'=2，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1B．2C．22D．42
【解题思路】结合斜二测法的转化关系，求出平面图形的底和高，即可求解.
【解答过程】由已知得Rt△O'A'B'中，直角边O'B'=2，OA'=2，
则平面图中该三角形，OB'对应底面边长不变为2，三角形的高应为2OA'=4，
则平面三角形的面积为S=12×2×4=22.
故选：C.
【变式4-2】（2022秋·安徽六安·高三阶段练习）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．2B．42C．8D．82
【解题思路】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【解答过程】还原直观图为原图形如图所示，
因为O'A'=2，所以O'B'=22，还原回原图形后，
OA=O'A'=2，OB=2O'B'=42；
所以原图形的面积为2×42=82．
故选：D.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'=3，O'C'=1，则原图形是（ ）
A．面积为62的矩形B．面积为324的矩形
C．面积为62的菱形D．面积为324的菱形
【解题思路】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.
【解答过程】∠D'O'A'=45∘,O'C'=1，所以O'D'=2，
故在原图中，OD=22，
OC=OD2+CD2=8+1=3，
所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA=3，
则面积为62.
故选：C.