高考数学第二轮复习专题练习专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）（教师版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）（教师版），共16页。试卷主要包含了离散型随机变量的均值，均值的性质，离散型随机变量的方差、标准差，方差的有关性质，两点分布的均值与方差等内容，欢迎下载使用。

1．离散型随机变量的均值
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称
期望，它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)对均值(期望)的理解
求离散型随机变量的期望应注意：
①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.
②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是
不变的，它描述X取值的平均状态.
③均值与随机变量有相同的单位.
2．均值的性质
若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且
E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
特别地，当a=0时，E(b)=b；
当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
当b=0时，E(aX)=aE(X).
3．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义
设离散型随机变量X的分布列为
则称D(X)=+++=为随机变量X
的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).
(2)意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程
度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
4．方差的有关性质
当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).
特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；
当b=0时，D(aX)=D(X).
5．两点分布的均值与方差
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
【题型1 均值的性质】
【方法点拨】
根据均值的性质，进行求解即可.
【例1】（2022春·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则E(2X-3)=（ ）
A．2B．1C．-1D．-2
【解题思路】套公式直接求出E(X)和E(2X-3).
【解答过程】因为离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，
所以EX=0×0.2+1×0.6+2×0.2=1,
所以E2X-3=2EX-3=2×1-3=-1.
故选：C.
【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量X的期望EX=1，则E2X+1等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】直接利用期望的性质即可得解.
【解答过程】解：因为EX=1，
所以E2X+1=2EX+1=3.
故选：C.
【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量ξξ>0满足E2-3ξ+E2ξ=6，则Eξ=（ ）
A．-1或4B．2C．3D．4
【解题思路】根据均值的性质可得E2-3ξ=3Eξ，则E2-3ξ+E2ξ=6即为E2ξ-3Eξ-4=0，解方程求得答案.
【解答过程】因为E2-3ξ+E2ξ=6，所以E2ξ-3Eξ-4=0，
解得Eξ=4或Eξ=-1（舍去）,
故选：D.
【变式1-3】（2022春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为：
设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是( )
A．-16B．16C．23D．-23
【解题思路】根据分布列的性质及数学期望的运算公式及性质求解.
【解答过程】由已知得12+16+a=1,∴a=13,∴EX=-12+13=-16,∵EY=2EX+1，∴EY=23.
故选：C.
【题型2 方差的有关性质】
【方法点拨】
根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可.
【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且E(X)=2,EX2=6,Y=2X-1，则D(Y)=（ ）
A．9B．8C．5D．4
【解题思路】根据方差的公式求得DX，再根据方差的性质求解DY即可
【解答过程】由题意，DX=EX2-E2X=6-4=2，故DY=D2X+1=22DX=8
故选：B.
【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为DX=3，则D13X=（ ）
A．9B．3C．13D．19
【解题思路】根据DaX+b=a2DX，代入运算求解．
【解答过程】∵D13X=19DX=13，
故选：C．
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下：
则D(3X+2）的值为（ ）
A．2B．6C．8D．18
【解题思路】根据概率之和等于1求得a，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.
【解答过程】解：根据分布列可知12+13+a=1，解得a=16，
EX=2×12+3×13+6×16=3，
DX=12×2-32+13×3-32+16×6-32=2，
所以D(3X+2）=9DX=18.
故选：D.
【变式2-3】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表：
若E(X)=0，则D(3X-1)=（ ）
A．6B．7C．20D．21
【解题思路】先由概率和为1以及E(X)=0求出m=16,n=13，再计算D(X)，由方差的性质计算D(3X-1)即可.
【解答过程】由题可知m+n+13+16=1,E(X)=-2n+13+2m=0，解得m=16,n=13．
则D(X)=13×-22+13×12+16×22=73，所以D(3X-1)=9D(X)=21．
故选：D.
【题型3 离散型随机变量的均值的求法】
【方法点拨】
第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值；
第二步，求X取每个值时的概率；
第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值.
【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为
则EX等于（ ）
A．0.5B．0.3C．0.2D．无法确定
【解题思路】利用分布列的性质求得m，再利用随机变量期望公式可求解.
【解答过程】由分布列的性质得0.3+0.2+m=1，
所以m=0.5，
根据随机变量期望公式，得EX=-1×0.3+0.5×1=0.2，
故选：C.
【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望E(X)等于（ ）
A．0.3B．0.8C．1.2D．1.3
【解题思路】根据分布列的性质求出a，再根据期望公式计算可得；
【解答过程】解：依题意可得0.2+a+0.5=1，
解得a=0.3，
所以EX=0×0.2+1×0.3+2×0.5=1.3；
故选：D.
【变式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设a为正实数，若随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3，则EX=（ ）
A．3B．1C．73D．23
【解题思路】先由概率和为1，求出a，再求EX.
【解答过程】因为随机变量X的分布列为PX=i=i2ai=1,2,3，
所以12a+22a+32a=1，
解得：a=3.
所以EX=1×16+2×26+3×36=73.
故选：C.
【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
则E(X)=（ ）
A．0.56B．0.64C．0.72D．0.8
【解题思路】由概率之和为1可求出q的值，再根据分布列直接计算均值..
【解答过程】由题可得0.64+1-2q+q2=1，
解得q=0.4或q=1.6，
当q=1.6时，1-2q=-2.2