2025-2026学年天津市西青区张家窝中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市西青区张家窝中学高二上学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=1,0,1，b=-2,-1,1，c=3,1,0，则a-b+2c=( )
A. -9,-3,0B. 0,2,-1C. 9,3,0D. 9,0,0
2.直线 3x-y+ 3=0的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
3.已知向量a=(-3,2,5)，b=1,x,-1，且a⋅b=2，则x的值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是( )．
A. 2x-y+3=0B. 2x-y+5=0C. x+2y-4=0D. 2x-y-3=0
5.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于平面xOz的对称点为B，则OA⇀⋅OB⇀=
A. -10B. 10C. -12D. 12
6.已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB=2a-3b，AC=a-c，AD=2b+λc.若A，B，C，D四点共面，则λ=( )
A. -34B. 34C. 43D. -43
7.已知过点P3,2m和点Qm,2的直线的斜率与过点M2,-1和点N-3,4的直线的斜率相等，则m的值是( )
A. 1B. -1C. 2D. -2
8.若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A. 1B. -1C. -2或1D. -1或2
9.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N,P分别是BC,MN的中点，设OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示OP，则( )
A. OP=14a+14b+14cB. OP=12a+13b+14c
C. OP=13a+12b+14cD. OP=13a+14b+14c
10.已知两点A-3,2，B2,1，过点P0,-1的直线l与线段AB(含端点)有交点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A. -∞,-1∪1,+∞B. -1,1
C. -∞,-15∪1,+∞D. -15,1
11.已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则( )
A. AB与AC是共线向量B. AB的单位向量是2 55,- 55,0
C. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)D. AB与BC夹角的余弦值是 5511
12.关于空间向量，以下说法不正确的是( )
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u,ν，且n=1,2,-2,ν=2,1,2，则α⊥β
B. 若直线l的方向向量为e=1,0,3，平面α的法向量为n=-2,0,23，则直线l//α
C. 若对空间中任意一点O，有OP=14OA+14OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.若a→=(2,-1,2),b→=(6,-3,2)，且(a→+λb→)⊥a→，则实数λ= ．
14.直线l的方向向量是s=-1,x-1,x-1，平面α的法向量n=2,6,-4，若直线l//平面α，则x= ．
15.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90 ∘，∠BAA1=∠DAA1=60 ∘，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c，则AE= ．
16.已知空间向量a=1,0,1,b=2,-1,2，则向量a在向量b上的投影向量的坐标
17.若直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行，则实数a的值为 ；l1与l2间的距离为 ．
18.已知点A(-3,-4)，B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为
19.垂直于直线3x-4y-7=0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 ．
20.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱长为1，E，F分别为线段BD1，BC1上的动点，则下列结论中错误的序号为 ．
(1)DB1⊥平面ACD1
(2)直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值13
(3)平面A1C1B//平面ACD1
(4)点F到平面ACD1的距离为定值 33
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.已知空间三点A-2,0,2,B-1,1,2,C-3,0,4，设a=AB,b=AC．
(1)若c=3，c//BC，求c；
(2)求a与b的夹角的余弦值；
(3)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k．
22.已知直线2x-y-3=0与直线x-3y+1=0交于点P．
(1)求过点P且垂直于直线x+y+2=0的直线l的方程；
(2)求过点P并且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程；
(3)与直线2x-y-3=0平行且距离为2的直线方程．
23.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．
(1)求证：C1M⊥B1D；
(2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值；
(3)求点A1到面DB1E的距离．
24.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．

(1)证明：PA//平面EDB；
(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；
(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为 63，若存在，求出F的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.D
6.D
7.B
8.D
9.D
10.A
11.C
12.B
13.-919
14.2
15.a+b+12c
16.89,-49,89
17.-1 ； 3 22或32 2
18.-13或-79
19.4x+3y+12=0或4x+3y-12=0
20.(2)
21.(1)因为B-1,1,2,C-3,0,4，
所以BC=-2,-1,2，又因为c//BC，
所以c=-2λ,-λ,2λ，又因为c=3，
所以 -2λ2+-λ2+2λ2=3⇒λ=±1，
因此c=-2,-1,2或c=2,1,-2；
(2)因为a=AB=1,1,0,b=AC=-1,0,2
所以a与b的夹角的余弦值为a⋅ba⋅b=-1 2× -12+22=- 1010；
(3)因为ka+b与ka-2b互相垂直，
所以ka+b⋅ka-2b=0⇒k2⋅a2-ka⋅b-2b2=0⇒2k2+k-10=0
⇒k=-52或k=2．
22.(1)求交点P的坐标
解方程组：2x-y-3=0x-3y+1=0
由第一个方程得y=2x-3，代入第二个方程：
x-32x-3+1=0⇒-5x+10=0⇒x=2
则y=2×2-3=1，故P2,1．
直线l1的方程直线x+y+2=0的斜率为-1，故l1的斜率为1
用点斜式：y-1=1×x-2，整理得：x-y-1=0
(2)当截距为0：直线过原点，设方程为y=kx，
代入P2,1得k=12，方程为x-2y=0．
当截距不为0：设方程为xa+ya=1，代入P2,1得a=3，方程为x+y-3=0．
(3)设l2的直线方程为2x-y+c=0，
依题意d=c--3 22+12=2，
解得c=2 5-3或-2 5-3
直线l2方程为2x-y+2 5-3=0或2x-y-2 5-3=0
23.(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
建立如图所示空间直角坐标系：
因为AC=BC=2，CC1=3，且AD=1,CE=2，M为棱A1B1的中点，
所以C0,0,0,A2,0,0,B0,2,0,D2,0,1,E0,0,2,A12,0,3,B10,2,3,C10,0,3,M1,1,3，
所以C1M=1,1,0,B1D=2,-2,-2，
则C1M⋅B1D=1×2+1×-2+0×-2=0，
所以C1M⊥B1D，即C1M⊥B1D；
(2)由(1)知：B1D=2,-2,-2,DE=-2,0,1，
设平面B1ED的一个法向量为n=x,y,z，
则n⋅B1D=0n⋅DE=0，即2x-2y-2z=0-2x+z=0,
令x=1，得y=-1,z=2，则n=1,-1,2，
又AB=-2,2,0，
设直线AB与平面DB1E所成角α，
则sin α=|cs AB,n|=|AB⋅n||AB|⋅|n|=42 2× 6= 33；
(3)易知A1D=0,0,-2，
所以点A1到平面DB1E的距离为：d=A1D⋅nn=-4 6=2 63．

24.(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，
因为点E是PC的中点，点O是AC的中点，所以PA//OE，
又因为OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA//平面EDB．
(2)解：以D为原点，以DA,DC,DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得D0,0,0，B1,2,0，E0,1,1，则DB=1,2,0，DE=0,1,1，
设平面EDB的法向量m=x,y,z，则DB⋅m=x+2y=0DE⋅m=y+z=0,
令y=-1得x=2，z=1，所以平面EDB的法向量m=2,-1,1，
又由平面PAD的一个法向量为n=0,1,0，
设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，则csθ=csm,n=m⋅nmn=1 6= 66，
所以平面EDB和平面PAD的夹角的余弦值为 66．
(3)解：由(2)中的空间直角坐标系，可得D0,0,0，B1,2,0，E0,1,1，P0,0,2，
则EB=1,1,-1，BP=-1,-2,2，BF=λBP=-λ,-2λ,2λ其中0