天津市西青区张窝中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份天津市西青区张窝中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共15小题）
1．下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．设，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量不能作为一组基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
3．已知，则和同向的单位向量是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，已知，则等于（ ）
A．1B．C．2D．4
5．设，向量且，则（ ）
A．B．C．D．10
6．在中，内角所对应的边分别是，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知向量且向量方向相反，则可以是（ ）
A．B．C．D．
8．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在一条河上有两座桥和，已知，又测得，则河宽为（ ）
A．B．C．D．
10．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
11．已知向量不共线，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（ ）
A．8B．4C．2D．1
13．若点E是的中线上的一点（不含端点），且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．6D．12
14．已知在中，，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
15．在中， ，，，点满足 ，则（ ）
A．0B．2C．D．4
二、填空题（本大题共6小题）
16．已知在上的投影向量为，则的值为 .
17．已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为 .
18．设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B= ，c= ．
20．在中，若，则角等于 ．
21．如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共4小题）
22．已知，
（1）求；
（2）设与的夹角为，求的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值.
23．已知中是直角，，点是的中点，为上一点.
(1)设，，当，请用，来表示，.
(2)当时，求证：.
24．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.
(1)求角的大小;
(2)若,的面积为,求的周长
25．已知在中，的对边分别为，满足．
(1)若，求的面积；
(2)已知向量，且，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.
故选A.
2．【答案】B
【详解】依题意，，不共线，
A选项，不存在，使得，
所以和可以作为基底.
B选项，由，
得，解得，所以和共线，不能作为基底.
C选项，由，
得，方程组无解，所以和可以作为基底.
D选项，不存在，，
所以和可以作为基底.
故选B.
3．【答案】A
【详解】因为，所以和同向的单位向量是.
故选A.
4．【答案】C
【解析】根据余弦定理化角为边即可求解.
【详解】由余弦定理可得：
故选C.
5．【答案】C
【详解】由于，
所以，解得，
所以，
所以.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由余弦定理可知，
即，
整理得，解得或（舍去）.
故选D.
7．【答案】D
【详解】因为向量且向量方向相反，
当时，，不满足题意，
当时，，解得，且，
所以，，且，
经检验只有满足题意，
故选D.
8．【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
所以，因为，
所以，又因为，所以.
所以与的夹角为.
故选A.
9．【答案】C
【详解】设，
根据海伦公式有,
解得.
故选C.
10．【答案】A
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
11．【答案】B
【详解】对于A，令，即，则有，无解，
因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误；
对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N，
因此 ，，三点共线，B正确；
对于C，，令，即，
则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误；
对于D，令，即，则有，无解，
因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误.
故选B.
12．【答案】C
【详解】因为，所以，
又因为，
所以,又因为是的中点，
所以,
故选C.
13．【答案】B
【详解】解：因为为三角形的中线，所以，
所以，
又，，三点共线，所以且，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8．
故选B．
14．【答案】D
【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形
故选D.
15．【答案】A
【详解】由题可得：，
，
所以
由于，，，
则，，
所以，
故选A.
16．【答案】
【详解】设与的夹角为，
.
17．【答案】
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，因为，所以，所以.
18．【答案】且
【详解】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.
19．【答案】 3
【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.
详解：由正弦定理得,所以
由余弦定理得（负值舍去）.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
20．【答案】
【详解】因为，
所以，
所以.
由余弦定理可得：，
又为三角形内角，所以.
21．【答案】
【详解】因为，所以向量与的夹角和向量与的夹角相等，
设向量与的夹角为，
因为，所以，
即，
整理得，解得，，
如图，过点作垂线，垂足为，建立如图所示的直角坐标系，
易知，，，，
则，，，
，，，
，
因为，所以当时，取最小值，最小值为.
22．【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】解：；
故
；
因为向量与互相垂直，
所以，即，
因为，，
所以
23．【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）∵，，点是的中点，
∴，
∴，
∵.
（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设，∴点坐标为，另设点坐标为，∵点是的中点，
∴点坐标为，
又∵，∴，∴，，
所以，，
所以，
∴.
24．【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；
（2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.
【详解】（1）
由正弦定理得：
即：



（2）
由余弦定理得：
的周长
25．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
，
，
，
．
，．
，．
．
（2），且，，
，
，
．