2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省江门市鹤山市高二下册3月月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列的前4项依次为，则的一个通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据规律，利用观察法求出通项即可.
【详解】因为的前4项依次为，
所以的一个通项公式为．
故选：．
2. 一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为（ ）
A. －2B. －1C. 0D. 2
【正确答案】D
【分析】由导数定义求解即可；
【详解】;
故选：D
3. 设数列的前项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出.
【详解】数列的前项和，则.
故选：A
4. 在数列中，，则（ ）
A 12B. 16C. 32D. 64
【正确答案】D
【分析】根据题意，为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可.
【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，
故.
故选：D.
5. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值.
【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列，
则，所以，.
故选：B.
6. 在递增的等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【正确答案】B
【分析】由等比数列的性质有，易知是方程的两个根，再由已知及等比数列的通项公式求公比.
【详解】由题设，易知是方程的两个根，
又为递增的等比数列，所以，故公比.
故选：B
7. 数列中，，，，那么（ ）
A. B. 1C. 3D.
【正确答案】B
【分析】通过递推公式找出数列的周期性计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以是以6为周期的周期数列．
因为，所以．
故选：B
8. 某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（ ）
（参考数据：）
A. 964万元B. 2980万元C. 3940万元D. 5170万元
【正确答案】C
【分析】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，由求出通项，再结合数列求和即可得解.
【详解】该公司从2024年起的每年销售额依次排成一列可得数列，
依题意，当时，，即，
因此数列是首项为90，公比为1.3的等比数列，，即，
则，
所以从2024年到2033年该产品的销售总额约为3940万元.
故选：C
二、多选题（本题共3题，每小题6分，共18分）
9. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A. 的公差为3B.
C. 有最小值D. 数列为递增数列
【正确答案】BC
【分析】根据等差数列通项公式及等差数列前n项和基本量运算分别判断各个选项即可.
【详解】对于A，由题意可得
，解得，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确；
对于D，，且，故D错误.
故选：BC.
10. 已知在正项等比数列中，，，则（ ）
A. 的公比为2B. 的通项公式为
C. D. 数列为递增数列
【正确答案】AC
【分析】应用等比数列的基本量运算求出公比及通项判断A，B，C，再结合对数运算计算判断单调性判断D.
【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，所以，
又，所以，即，
所以，，A，C正确，B错误；
对于D，，则数列为递减数列，D错误．
故选：AC．
11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则数列为等差数列
B. 若，则数列是公差为的等差数列
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】AD
【分析】根据给定的递推公式，结合等差数列的性质，逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，，数列为等差数列，A正确；
对于B，，则是公差为的等差数列，B错误；
对于C，当时，，则，，
因此，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
三、填空题（本题共3题，每小题5分，共15分）
12. 数列是以2为首项，3为公差等差数列，则__________．
【正确答案】
【分析】利用等差数列通项公式计算推理即得.
【详解】依题意，，
故得.
故答案为.
13. 曲线在处的切线方程为__________.
【正确答案】
【分析】对函数求导求出处的导函数值，即为所求切线斜率，再求出切点坐标，再利用点斜式方程即可得切线方程．
【详解】当时，，
，
所以曲线的切线的斜率，切点，
故切线方程为，
即
故
14. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是_______，五边形数所构成的数列的通项公式为_______．
【正确答案】 ①. 25 ②.
【分析】根据正方形数的前4项特征，即可求解第5项；根据五边形数的特征，列式递推公式，利用累加法，即可求通项公式.
【详解】正方形数所构成数列的第5项是，
五边形数所构成数列满足，，，，，
所以，，
累加可得，当时成立，
所以.
故25；
四、解答题（本题共5题，共77分）
15. 已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；
(2)利用裂项相消求和.
【小问1详解】
因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
.
16. 已知函数，已知.
（1）求函数的解析式；
（2）设，求曲线的斜率为的切线方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）求出，由可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）求出函数的解析式，求出，由，求出切点的坐标，利用导数的几何意义可求出切线的方程.
【小问1详解】
对，求导可得，
所以，．解得，则.
【小问2详解】
因为，对求导可得．
因为曲线切线斜率为，由，
整理可得，解得或．
当时，，
此时，切线方程为，即；
当时，．
此时，切线方程为，整理得．
综上所得，的斜率为的切线方程为或．
17. 已知数列满足，.
（1）证明：数列是等比数列：
（2）求数列的前项和.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由题意得，即可证明结论.
（2）由（1）计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果.
【小问1详解】
因为，
所以，即，
又，所以，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，，
所以，
所以
.
18. 记为数列的前项和，且.
（1）证明：是等比数列，并求其通项公式；
（2）设数列的前项和，证明.
【正确答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【分析】（1）根据，结合等比数列的定义及通项即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
则，
，
两式相减得
，
所以，
因为，所以.
19. 若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”.
（1）已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围；
（2）已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由；
（3）已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”.
【正确答案】（1）
（2）不存在符合要求的实数，理由见解析
（3）证明见解析
【分析】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果.
（2）先假设存在实数，使得对恒成立，
等价于对恒成立.推出矛盾即可证明.
（3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列”
【小问1详解】
由题知，，且，
解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
不存在，
理由如下：由题知，对恒成立，
所以数列是等差数列，且，公差为，
所以.
假设存在实数，使得对恒成立，
即对恒成立，
所以对恒成立.
当时，；
当时，恒成立，
因为，所以，与矛盾，
所以假设不成立，
故不存在符合要求的实数.
小问3详解】
由题意，设数列的公比为且，则.
因为，
所以在数列中，为最小项.
所以在数列中，为最小项.
因为为“超1数列”，
所以只需，即，
又，所以.
又不是“超1数列”，且为最小项，
所以，即.
又，所以，
又，所以或4.
当时，，
令，
则，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.
当时，，
令，
则，
所以为递增数列，即，
因为，
所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”.
综上所述，数列是“超1数列”.
关键点点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对(1)问求解，然后结合新定义及假设存在，最后推出矛盾即可对（2）问进行求解.对于第（3）问则根据题干中的条件正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况分别证明即可.