2024-2025学年广东省江门市江海区高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省江门市江海区高二下册3月月考数学检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一个蜂巢里有只蜜蜂.第天，它飞出去找回了个伙伴；第天，只蜜蜂飞出去，各自找回了个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】
根据题意，第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列，根据等比数列的通项公式，可以算出第天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量．
【详解】设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得：
数列成等比数列，它的首项为，公比，
所以的通项公式：，
到第天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有只蜜蜂.
故选：B.
本题主要考查归纳推理以及等比数列的知识，属于基础题.
2. 记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）
A. 1B. 2
C. 4D. 8
【正确答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差.
【详解】设等差数列的公差为，
则，，
联立，解得.
故选：C.
3. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 3D. 8
【正确答案】A
【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果.
【详解】设等差数列公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选：A
4. 已知一个等比数列的前项和､前项和､前项和分别为､､，则下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】主要考察等比数列的性质，字母为主，对学生的抽象和逻辑思维能力要求比较高。
【详解】当时，
当时，
对于A, 当时，
故A错，
对于B, 当时，，故B错，
对于C, 当时，，故C错，
对于D, 当时，，
，
当时，
则，故选项正确，
故选：D
5. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 15
【正确答案】A
【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．
【详解】设最小的一份为个，公差为，，，
由题意，解得．
故选：A．
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共持了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（ ）
A. 81盏B. 112盏C. 162盏D. 243盏
【正确答案】D
【分析】本题为等比数列的应用，根据等比数列的求和公式即可求出答案．
【详解】解：由题意，设塔的从上往下第层共有灯盏，
∴数列为公比为3的等比数列，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
本题主要考查等比数列的应用，属于基础题．
7. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案.
【详解】由，得，
故由，得，
故选：B
8. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
【正确答案】A
【详解】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.其中两个选项的选对一个3分，三个选项的选对一个2分，全部选对的得6分，有选错的得0分.
9. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数.下列数中，既是三角形数又是正方形数的是（ ）
A. 36B. 289C. 1225D. 1378
【正确答案】AC
【分析】由题意，整理数列的通项公式，建立方程，可得答案.
【详解】由题意，三角形数可看作，，，，
则第三角形数为；
正方形数可看作，，，，，则第个正方形数为；
对于A，令，解得，令，解得，故A正确；
对于B，令，解得，令，其解显然不是正整数，故B错误；
对于C，令，解得，令，解得，故C正确；
对于D，令，显然其解布置正整数，故D错误.
故选：AC.
10. 已知数列的首项，且满足，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 数列是等比数列
C. 设，则数列的前n项和小于
D. 若，则满足条件的最大整数n的值为100
【正确答案】ABC
【分析】对于AB，由已知可得，结合等比数列的定义，即可求解判断；对于C，利用，放缩法可判断；对天D，求根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解判断.
【详解】对于AB，由题意，数列满足，可得，
可得，即，
又由，所以，所以数列表示首项为，公比为等比数列.
所以，所以，所以，故AB正确；
对于C，由，可得，所以，
因为，所以（等号成立），
所以，故C正确；
设数列的前项和为，则
，若，即，
因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为，故D错误.
故选：ABC.
关键点睛：关键在于把已知式取倒数变形为，可得数列是等比数列.
11. 下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【正确答案】ABC
【分析】由导数公式和运算法则即可依次判断各选项.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误
对于D，，故D正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________．
【正确答案】-8
【详解】设等比数列的公比为，很明显，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由可得：，代入①可得，
由等比数列的通项公式可得.
【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.
13. 已知数列是等比数列，，，则__________．
【正确答案】
【详解】，，由等比数列的性质可知，∴，∴，或，，∴，或，，∴或，故答案为.
14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝__________.
【正确答案】
【分析】利用求导法则求出导函数，把代入导函数中得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值，最后将代入解析式即可.
【详解】求导得，把代入得：，
解得：，∴，故答案为.
本题要求学生掌握求导法则，学生在求的导函数时注意是一个常数，这是本题的易错点．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据导数的除法运算法则求解即可；
（2）根据导数的几何意义求切点坐标和斜率，即可得切线方程.
【小问1详解】
由题意可得：，
所以这个函数的导数为.
【小问2详解】
由（1）可得：，
即切点坐标为，切线斜率，
所以所求切线方程为，即.
16. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
【正确答案】（1）
（2）或21
【分析】（1）由等差、等比数列通项公式基本量列方程组求解即可.
（2）首先由得公比，结合得公差，由此即可求解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由得：，解得（舍去），，于是.
小问2详解】
由得，解得或
当时，由得，∴；
当时，由得，∴，
综上所述，故或21.
17. 设数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【正确答案】（1）
（2）．
【分析】（1）根据时，，作差即可求解，
（2）利用裂项相消法即可求解.
【小问1详解】
因为，①
故当时，．②
①②得，所以．
又当时，符合，从而的通项公式为．
【小问2详解】
记的前n项和为，
由（1）知，
则．
18. 已知数列的首项，且满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）将化为，利用等比数列定义，即可求得答案；
（2）求出的表达式，利用等比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：由，得，
又，故，故，
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
所以．
19. 已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和；
（3）已知数列满足，且数列的前项和为，证明.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量法即可求解等差数列的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求数列的前项和；
（3）首先利用进行放缩得，再利用裂项相消法求和即可求证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，.
，，
，解得.
∴数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，又，
.
∴数列的前项和①，
②，
①-②得
，
.
∴数列的前项和.
【小问3详解】
由（1）知，.
，
.
设数列的前项和，数列的前项和，
则
，
，
.
本题主要考查求数列的通项公式与数列求和.
数列求和的常用方法有：公式法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法、错位相减法和、倒序相加法.