2024-2025学年广东省江门市江海区高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省江门市江海区高一下册3月月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】直接用向量加减法容易得解．
【详解】解：．
故选：．
本题考查了向量加减法，属于基础题．
2. 已知角的终边经过点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据三角函数的定义求出，再由三角函数的定义计算可得.
【详解】因为角的终边经过点，且，
所以，解得，
所以.
故选：A.
3. 已知，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. A，O，C三点共线
C. A，B，C三点共线D.
【正确答案】B
【分析】根据向量的坐标运算判断AD，根据共线向量得三点共线判断BC．
【详解】由题意，
所以，A错误；
因为，，所以，
所以三点共线，B正确；
又，而，所以不共线，从而三点不共线，C错；
，D错误，
故选：B．
4. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意，结合向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的计算公式，即可求解.
【详解】由向量，，可得且，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据，利用诱导公式转化为，再利用二倍角公式求解.
【详解】因为，
所以，
，
，
故选：A
6. 已知平面上三点不共线，是不同于的任意一点，若，则是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【正确答案】A
【详解】试题分析：,所以 等腰三角形，故选A.
考点：1.向量的几何运算；2.向量数量积的几何意义.
7. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形ABCD的边长为，则＝（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【正确答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算和数量积运算计算即可.
【详解】解：由题意可知，，
故选：B．
8. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由题知，进而根据题意得在上单调递增，且，进而得，再解不等式即可得答案.
【详解】，
因为，所以
因为函数在区间上单调递增，
所以函数在上单调递增，且，即.
因为，
所以，函数在上单调增，
等价于或，
所以，解不等式得或，所以，的取值范围是.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. (多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是（ ）
A. sin(－x)＝sinxB. sin＝csx
C. cs＝－sinxD. cs(x－π)＝－csx
【正确答案】CD
【分析】根据诱导公式即可判断.
【详解】解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；
sin＝－csx，故B不成立；
cs＝－sinx，故C成立；
cs(x－π)＝－csx，故D成立.
故选：CD
本题考查了三角函数的诱导公式，需熟记公式，属于基础题.
10. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，扇形的半径，则
C. 若扇面为“美观扇面”，则
D. 若扇面为“美观扇面”，半径，则扇形面积为
【正确答案】ACD
【分析】对于A,利用扇形面积计算公式进行计算即可；对于B，根据条件求得的值，利用公式计算即可；对于C，利用条件建立方程，解出即可；对于D，根据条件求得的值，利用公式计算即可.
【详解】对于A,所在的扇形的圆心角分别为,
所以，故A正确；
对于B，若，则，又，
则，故B错误；
对于C，若，
所以，故C正确；
对于D,若，，又，
所以，
故D正确，
故选：ACD.
11. 已知向量、、都是单位向量，，则（ ）
A B.
C. D. 与共线
【正确答案】AC
【分析】由已知可得出，可判断A选项；在等式两边平方可得出，利用平面向量数量积的运算性质可判断B选项；由已知可得出，结合平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量共线的基本定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，向量、、都是单位向量，，则，
所以，A对；
对于B选项，在等式两边平方可得，
即，则，则，
所以，故，B错；
对于C选项，因为，则，
所以，，
所以
，故，C对；
对于D选项，，
若与共线，则存在，使得，
即，可得，即，
这与矛盾，假设不成立，D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知向量，，则________.
【正确答案】
【分析】由向量的坐标运算以及模长公式可直接求得答案.
【详解】由题意得，所以，
故答案为.
13. 函数在一个周期内的如图所示，则______.

【正确答案】
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求出的值．
【详解】根据函数在一个周期内的图像，
可得,解得，
再根据最高点的坐标，可得,
结合的范围，可得，所以，
所以，
故选：
14 已知，且，则__________.
【正确答案】
【分析】根据已知切化弦结合二倍角公式，化简即可得出.进而根据角的范围得出，整理推得，求解即可得出答案.
详解】由，
可得，
即.
由于，故，则，
所以有，则，
所以有，解得.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论；
（2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，
所以，
即；
【小问2详解】
因为，，，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以，，，
设与夹角为，
所以，
所以与夹角的余弦值为.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；
（2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即得.
【小问1详解】
因为，
令，解得，
则的单调递增区间是；
【小问2详解】
因为，
将的图象向右平移个单位长度，
可得．
因为，所以，
所以，则，
即在区间内的值域为．
17. 某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱（可视为点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟.
（1）求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；
（2）在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值.
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可；
（2）令，结合正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（， ），
依题意可得，，
．
依题意，，
当时，，，
．
【小问2详解】
令，即，，
，，
或，解得或，
故或时，1号座舱与地面的距离为17米．
18. 在三角形中，，D是线段上一点，且，F为线段上一点．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围；
【正确答案】（1），（2）
【分析】（1）根据平面向量基本定理，由题中条件，得到，从而可求出的值，进而可求得的值；
（2）根据题意先求出，设，再由平面向量数量积运算，即可求得结果
【详解】解：（1）因为，所以，
得，
因为，所以，
所以，
（2）因为在三角形中，，
所以，
所以，
，由题意得，
所以，
，
因为，所以，
所以的取值范围为
19. 对于平面向量，定义“变换”：，
（1）若向量，，求；
（2）求证：；
（3）已知，，且与不平行，，，求证：．
【正确答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得，从而，再展开计算即可证明；
（3）方法一：根据“变换”和向量数量积的坐标公式得到，从而有，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为，再代入公式证明即可.
【小问1详解】
因为向量
所以
所以.
【小问2详解】
因为.
所以
.
.
，所以.
【小问3详解】
方法一：，
，
由（2）可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以.
所以
方法二:设，
，
因为，
，
所以
，
所以.
关键点点睛：本题第三问的关键是证明出，从而得到两向量夹角相等，最后再利用三角形面积公式即可.