2024-2025学年广东省广州市高一下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一下册3月月考数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁， 已知，则， 下列向量的运算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号对应的信息点涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能写在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出集合中元素范围，进而可求其补集，最后再求交集即可.
【详解】因为，
所以，又，
所以.
故选：D.
2. 在平行四边形ABCD中，，，，则的坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】,又，故,
故,
故选：A
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. 2C. 4D.
【正确答案】C
【分析】根据题意可得，再根据向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为向量，则，
若，则，解得.
故选：C.
4. 已知，，，则在上的投影向量为（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】在上的投影向量为，
故选：C
5. 边长为1的等边三角形中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算与数量积公式求解即可
【详解】由题意，则，故
故选：A
6. 在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【正确答案】D
【分析】，利用向量数量积公式计算出结果.
【详解】边长为2正方形ABCD中，E是AB的中点，故，
.
故选：D
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断可得答案.
【详解】因为，
，可得.
故选：A.
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据，得，由余弦定理可求.
【详解】因为向量，，
因为，
所以，即，
由余弦定理可得.
因为，所以，
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列向量的运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，，所以B错误，
对于C，，所以C正确，
对于D，，所以D错误.
故选：AC
10. （多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ）
A. 当时，的方向与的方向一定相反
B. 当时，的方向具有任意性
C.
D. 当时，的方向与的方向一定相同
【正确答案】ABD
【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C.
【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；
对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；
对于D，由可得，同为正或同为负，
所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；
对于C，，故C错误．
故选：ABD.
11. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则下列说法正确的是（ ）

A.
B.
C. 为定值
D. 的最小值为
【正确答案】BCD
【分析】根据题意，利用向量的线性运算，得到，结合、、三点共线，求得，再化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，因为，即，所以，
又因为，，
所以，，所以，
因为、、三点共线，则，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
故选：BCD．

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知，且为第三象限角，则______．
【正确答案】##0.75
【分析】利用同角三角函数的平方关系求出正弦，再求正切即可.
【详解】解：因为，且为第三象限角，
所以所以.
13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为________
【正确答案】
【分析】由向量垂直数量积等于可得，再由平面向量夹角公式结合角的范围即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
设与的夹角为，
所以=，
因为，所以，
所以与的夹角为，
故答案为:．
14. 设的内角所对边的长分别是，且为边上的中点，且，则______．
【正确答案】
【分析】首先由角的关系得到，再根据正弦定理和余弦定理角化为边，即可消元表示三边，并求角的余弦值.
【详解】中，由，可得，
则，则，整理得，
即，又，则．
中，是边上的中点，且，则
，
则有，解之得
则．
故
四、解答题（本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量满足
（1）若，求向量的坐标；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值．
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可；
（2）由向量夹角公式计算即可；
（3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可.
【小问1详解】
，，
；
【小问2详解】
由，知与夹角的余弦值为；
【小问3详解】
，
由与垂直，
则，
解得.
16. 已知向量，，.
（1）求向量，的夹角；
（2）求的值；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据模长公式即可求解，即可根据夹角公式求解，
（2）根据数量积的运算律即可求解.
【小问1详解】
由可得，
故，
故，
由于，故，
【小问2详解】
17. 在直角梯形，，，，点是边上的中点.
（1）求的值；
（2）若点E满足，且，求的值.
【正确答案】（1）8 （2）
【分析】（1）结合几何图形，利用向量的线性运算表示，向量数量积的运算律即可求出的值.
（2）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论；
【小问1详解】
则，
因此，.
【小问2详解】
如图所示：
由可得
所以
又可得
所以；
18. 如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设．
（1）用表示；
（2）若的边长为2，试求与夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
分析】（1）根据平面向量基本定理得到；
（2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案.
【小问1详解】
点满足，点是边上的中点，
故，
；
【小问2详解】
点满足，
故，
等边的边长为2，设与夹角为，
，
，
故，
，
故，
则
19. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角.
（2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
所以，
因为，所以.
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得：，
又，所以.
所以.