2024-2025学年广东省广州市黄埔区高一下册3月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市黄埔区高一下册3月月考数学检测试卷（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1. 若向量，，则=（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据向量，得到其相反向量，然后与利用加法求解.
【详解】因为向量，
所以向量，
又
所以，
故选：A.
本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ）
A B. C. D. 且
【正确答案】C
【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C
[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.
3. 设，向量，，，且，，则 ＝
A. B. C. D. 10
【正确答案】B
【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，
∴，∴，∴．
考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．
4. 函数 的部分图象如图所示，则的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据周期即可求解，代入最高点即可求解.
【详解】由图象知函数周期 ，
， 把​代入解析式， 得， 即​.
​
又​
故选：A
5. 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：设，，∴，，
，∴.
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
6. 点在所在的平面内，以下说法错误的是（ ）
A. 若，则点为的重心
B. 若，则点为的外心
C. 若，则点为的内心
D. 若，则点为的垂心
【正确答案】C
【分析】利用向量的线性运算即可判断A；根据模长相等结合外心的性质即可判断B，利用向量的数量积和外心的性质判断C，利用和向量的线性运算和垂心的性质判断D.
【详解】对于A：设边，，的中点分别为，∴，∵，∴，∴，
∴三点共线，即点在中线上，同理可得点在中线上，
∴点是的重心，故A正确；

对于B：若，∴点为的外心，故B正确；
对于C：设边，，的中点分别为，
则，∴，∴为线段的垂直平分线，
同理可得分别为线段的垂直平分线，
∴为三角形三条边垂直平分线的交点，∴点为的外心，故C错误；
对于D：由已知可得，
即，∴点在边边上的高上，
同理可得点在边边上的高上，点在边边上的高上，
∴点是的垂心，故D正确.
故选：C
7. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：设，再设，则，由题意可得，从而可得，故答案选A.
考点：平面向量.
8. 已知向量，且．若，则的最小值为（ ）．
A. B. 26C. D. 24
【正确答案】B
【详解】作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得，，，.
故.
二、多选题（每题均不止一个正确选项，请把选好的选项填涂到答题卡相应位置，每小题6分）
9. 如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据给定条件，取定平面的一个基底，再利用向量运算逐项求解判断.
【详解】在边长为1的正方形中，令，，
对于A，，A正确；
对于BD，，，
，，
因此，B D正确；
对于C，，，C错误；
故选：ABD
10. 以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【正确答案】BC
【分析】利用和差角的正余弦公式、二倍角的正弦公式，结合基底的意义逐项判断.
【详解】对于A，，，A不是；
对于B，，不共线，B是；
对于C，，不共线，C；
对于D，，，D不是.
故选：BC
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象可由向左平移得到
C. 若的定义域为，则值域为
D. 集合，若，且，则
【正确答案】ACD
【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合对称性、函数图象变换、最值及零点问题依次求解判断.
【详解】依题意，，
对于A，，的图象关于直线对称，A正确；
对于B，，，B错误；
对于C，由，得，，C正确；
对于D，由，得，则或，
因此，D正确.
故选：ACD
三、填空题：（每小题5分，请把答案填写在答题卡相应的位置）
12. 已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是__．
【正确答案】
【分析】与向量同向的单位向量为，根据坐标形式求得向量及模长即可求得.
【详解】点，，
，可得，
因此，与向量同方向单位向量为：
故
13. 已知向量夹角为，且，则__________．
【正确答案】
【详解】试题分析：的夹角，，，，.
考点：向量的运算.
【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
14. 函数的所有零点之和等于__________.
【正确答案】60
【详解】函数 的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数 的所有零点之和等于60.
四、解答题（共5题，请把详细计算和推理过程书写在答题卡相应的位置，超出答题框部分无效）.
15. 在平面直角坐标系中，已知，，.
（1）若、、三点共线，求实数的值；
（2）若，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用向量的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得.
（2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐标表示列式求解.
【小问1详解】
依题意，，由、、三点共线，得，
则，所以.
【小问2详解】
由，得，则，解得，
则
所以的面积为.
16. 已知向量，函数的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.
【正确答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【详解】：（Ⅰ）
因为的最大值为，所以
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，
得到
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到
因所以
的最小值为最大值为
所以在上的值域为
【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小
17. 从低压变压器输出的电路中，输送的是交流电，其电压变化规律符合三角函数，原理图如图（1）所示，线路为零线，线路、、均为火线.如图（2）则是变压器的简单模型，.其中，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，以此类推，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：交流电的频率一般是赫兹，即每秒变化次，其中频率是周期的倒数.
（1）求的值；
（2）之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；同理，之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长，其中向量、、的模长均为它们对应电压三角函数的最大值，用户张先生连接的家庭用电连接的是，用户李先生的工厂若连接的是，其中之间的电压等价于之间的电压，其大小为向量的模长.请分别求出张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值.
【正确答案】（1）
（2）张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值分别为、
【分析】（1）求出交流电的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得的值；
（2）由题意可得出张先生家庭电压的最大值，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出李先生工厂电压的最大值.
【小问1详解】
由题意可知，交流电的最小正周期为，
则.
【小问2详解】
由题意可知，张先生家庭电压的最大值为，
且，，
所以，
.
故李先生工厂电压的最大值为.
18. 在中，为边的中点，为线段的中点.若，，设，.
（1）把和分别用和表示；
（2）求的最小值.
【正确答案】（1），；
（2）.
【分析】（1）利用向量的线性运算，用，表示；
（2）利用数量积运算求出，再利用基本不等式求出它取最小值.
【小问1详解】
在中，由是边的中点，得，
由是线段的中点，得
【小问2详解】
由，，得，解得，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19. 已知函数，其中，，且.
(1)若对任意，都有，求的取值范围.
(2)若，且存在，使，求的取值范围.
【正确答案】（1）（2）
【详解】（1）.
令.则.
由题设知
解得的取值范围为.
（2）因为，所以，.故.
从而，.由题设知.
解得.故的取值范围是.