2025年中考第一次模拟考试卷：数学（长春卷）（原卷版）

这是一份2025年中考第一次模拟考试卷：数学（长春卷）（原卷版），共8页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若升高30米记作米，那么米表示（ ）
A．上升5米B．下降35米C．上升25米D．下降5米
2．如图是物理中经常使用的U型磁铁，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中，正确的有（ ）
A．B．C．D．
4．长春南溪湿地公园总占地面积约为3100000平方米．3100000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．根据图中作图痕迹进行判断，下列说法一定正确的是（ ）
A．B．平分
C．垂直平分线段D．构造的依据是
6．如图，以正六边形的边向内作一个长方形，连接交于点I，则( )
A．B．C．D．
7．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段，已知坡长为m米，坡角为α，则坡的铅垂高度为（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．8
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
9．在平面直角坐标系中，若点在第 象限．
10．若每支中性笔3元，则购买m支中性笔需 元．
11．分解因式： ．
12．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则 ．
13．如图，已知零件的外径为a cm，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）测量零件的内孔直径．如果，且量得cm，则为 cm．
14．如图，在正方形中，，把正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，其中点C的运动路径为弧，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
16．（本题6分）如图所示，小明绘制了一个安全用电的标识，点在同一条直线上，且，．若，求的度数．
17．（本题6分）长春北湖国家湿地公园是以自然生态、科普教育、休闲娱乐为主要功能的大型湿地公园，公园内“湖水泛金波，飞鸟映霞光”，呈现出一派人与自然和谐共生的景象．小力和小旺约定本周日从学校出发，骑行去长春北湖湿地公园游玩．已知从学校到长春北湖湿地公园的骑行路线有A、B、C三条，小力和小旺各自随机选择一条骑行路线，求两人恰好选择同一条路线的概率．
​
18．（本题7分）某人从吉林驱车赶往长春共用2小时，吉林至长春全程为，全程分为公路和市区道路两部分，在公路上行驶的平均速度为 ，在市区道路上行驶的平均速度为．根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组一部分如下：
甲： 乙：
(1)请你在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组；
(2)求这个人在公路上驱车行驶的时间．
19．（本题7分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法．
(1)在图①中以线段为边画一个平行四边形．
(2)在图②中以线段为边画一个正方形．
(3)在图③中以线段为边画一个菱形．
20．（本题7分）某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100分）分别是95分，94分，88分．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲同学打分的条形统计图：
信息二：评委给乙、丙两位同学打分的折线统计图：
信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： 分， 分；
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙、丙三位同学中，评委对 的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
(3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学．
21．（本题8分）【问题背景】
小明家最近购入一辆新能源汽车，为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，小明和爸爸妈妈做了两组实验．
实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量（%）与时间（分钟）的关系，数据记录如表1：
实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如图2：
【建立模型】观察表1、图2发现都是一次函数模型，请结合表1、图2的数据，
（1）关于的函数表达式为____________；
（2）当汽车充满电的情况下，行驶180千米，此时仪表盘显示的电量是多少?
【解决问题】
（3）小明家自驾新能源汽车从长春出发去沈阳的辽宁体育馆观看联赛，全程400千米，汽车在充满电量的状态下出发，若电动汽车行驶240千米后，在途中的铁岭服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后新能源汽车仪表盘显示电量，则新能源汽车在服务区充电______分钟．
22．（本题9分）小明在学习《图形的平移与旋转》时，认识了共顶点的两个等腰三角形特性，并发现它在中考中的重要应用，请你与小明一起完成下面练习．
【问题呈现】
如图1，在中，，，点在线段上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，．
【问题分析】
（1）如图1，小明通过审题发现和为共顶点A的等腰三角形，这是老师经常提及的，由可得，因为，，可证明：，利用角的等量关系进一步推导出：_______（用含的式子表示）
【灵活应用】
小明发现利用上述结论可将题目中分散的条件集中到某一处，从而快速找到解决问题的线索．
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A0,3在y轴上，以为边向右侧作等边，点为轴正半轴的动点，以为边向右侧作等边，直线交y轴于点F．当点D在x轴的正半轴运动时，点F的坐标是否变化．若不变，请求出点F的坐标；若变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在菱形中，，点P在线段的延长线上，以为边作等边（A、P、E三个顶点按照逆时针排列），连接，若，，求以A，P，E，D为顶点的四边形的面积．
23．（本题10分）如图①，矩形与叠放在一起（点，分别与点，重合，点落在对角线BD上），已知，，．如图②，从图①的位置出发，沿DB方向匀速运动，速度为；动点同时从点出发，沿AD方向匀速运动，速度为；设它们的运动时间为（）（），连接．解答下列问题：
(1)求EG的长；
(2)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
(3)是否存在某一时刻，使得的面积是矩形面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图③，点是点关于BD的对称点，连接，，当为何值时，的值最小？
24．（本题12分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点．
(1)求的面积；
(2)当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
(3)当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
同学
面试成绩
评委打分的中位数
评委打分的众数
甲
78
8
n
乙
86
9
10
丙
87
m
8
电池充电状态
时间（分钟）
0
10
30
60
增加的电量（%）
0
10
30
60