（模块化思维提升）专题14-周期性问题-小升初数学思维拓展典型应用题专项讲义（通用版）

这是一份（模块化思维提升）专题14-周期性问题-小升初数学思维拓展典型应用题专项讲义（通用版），共15页。
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、周期性问题。
在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现．如：人的12生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期有七天等等．像这些问题，我们称为“简单周期问题”。
2、周期性问题解决方法。
这一类问题一般要利用余数的知识来解答。
这就要求我们对题目要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。
【典例一】蜗牛从一个枯井往上爬，白天向上爬110厘米，夜里向下滑40厘米，若要第五天的白天爬到井口，这口井至少深（ ）厘米．
【解答】解：（110-40）×3+110+1
=210+110+1
=321（厘米）
故答案为：321．
【典例二】体育课上，50名同学排成一排，按“1，2，3，1，2，3，1，”的顺序报数。
（1）最后一名同学应该报几？
（2）老师请报“1”的同学向前走一步，报“3”的同学向后退一步，各站成一排，那么这两排各有多少人？
【解答】解：（1）（组（个
答：最后一名同学应该报“2”。
（2）由50除以3的结果可知，共有16组，
则报“3”的同学有（人
报“1”的同学有（人
答：报“1”的同学有17人，报“3”的同学有16人。
【典例三】分别将红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色的卡片排成一排，颜色卡片下面是自然数卡片，按下列方式依次排列：
那么，自然数2018对应在哪种颜色下面？在第几行？
【解答】解：2018是图形中出现的第2019个数，而，
说明2018在（行，具体位置为从左起第2个，对应颜色是黄色。
答：2018在黄色下面，在第311行。
一．选择题（共8小题）
1．某年的8月1日是星期一，那么这一年的9月1日是
A．星期日B．星期三C．星期四D．星期五
2．如图是两个连接在一起的正方形，边长都是。一个微型机器人由点开始，按的顺序，沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了时，它停在
A．点处B．点处C．点处D．点处
3．暑假期间，乐乐每3天去一次游泳馆，佳佳每4天去一次游泳馆。7月31日两人在游泳馆相遇，他们 又再次相遇。
A．8月7日B．8月12日C．8月13日D．8月31日
4．启天小学每天早晨正式上课，每节课40分钟，课间休息10分钟，上午共上三节课，不论是上课还是下课都会响铃。下面的时间中，不会响铃的是
A．B．C．D．
5．同学们站成一排上体育课，老师让他们按1、2、3、4、5，1、2、3、4、的规律报数，最后一个同学报的数是4，这一排的人数是
A．26人B．27人C．28人D．29人
6．观察下面的句子：
每经过一分钟，每一个单词最前面的字母将会移到这个一个单词的最右端．请问经过 分钟后，原来的句子才会重复出现．
A．880B．1264C．1800D．1980
E．2100
7．一个循环小数本来有两个循环点，聪聪不小心擦掉了其中一个循环点，变成了，原来循环小数的小数点后第21位上的数字是5，那么这个循环小数的另一个循环点在数字 上．
A．5B．6C．7D．8
8．某一年是闰年，当且仅当年份数能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）。闰年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天，2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日。狄更斯的出生日是
A．星期五B．星期六C．星期天D．星期一
二．填空题（共8小题）
9．某年的7月1日是星期六，那么这一年的9月1日是星期 。
10．某地新冠疫情自3月8日发现第一例阳性病例开始，到5月16日实现社会面清零结束（头、尾都算），前后经过了 天；若3月8日是星期二，那么5月16日星期 。
11．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，本届冬奥会一共经过了 天，开幕式那天是星期五，闭幕式那天是星期 。
12．今年的“六一”儿童节是星期三，那么今年的7月25日是星期 。
13．今年年）的1月、2月和3月一共 天。7月29日是星期四，那么8月1日是星期 ，9月1日是星期 。
14．新年快到了，学校用39面彩旗布置长廊，彩旗按“红，绿，蓝，黄，红，绿，蓝，黄”的顺序排列，第24面是 旗，最后一面是 旗．
15．□△〇〇□△〇〇□△〇〇按照这样的规律排列，第26个图形是 ，第60个图形是 ．
16．在循环小数中，小数点后第2018位上的数字是 ；若将“1”上面的循环点移动到新的位置，使新的循环小数的小数点后第2018位上的数字是6，则新的循环小数是 ．
三．应用题
17．小兔子梦奇的饮食非常有规律，5天一次循环，通常第一天吃胡萝卜，第2天和第3天吃苹果，第4天吃白菜，第5天吃香蕉，请问第164天梦奇应该吃什么？这164天梦奇总共吃了多少个苹果？
18．小白熊的饭店门前有一串彩灯，每串彩灯都是按4个红灯、2个黄、3个蓝、灯的规律排列，请你算一算，第39盏彩灯是什么颜色？这39盏灯中红灯有几盏？黄灯有几盏？蓝灯有几盏？
19．国庆节，新兴街在街道的两边挂上了彩灯。聪聪站在新兴街路口，向右看去，发现这一边的彩灯是按一红二绿三黄的规律排列的那么新兴街这一边从这个路口开始的第123盏灯是什么颜色的（把你的想法写一写、算一算或者画一画）？
20．信合医院是1路和3路公交车的起点站。1路公交车每8分钟发一辆，3路公交车每5分钟发一辆，两路公交车同时从信合医院发车，下一次同时发车是什么时间？
21．小亮有红、黄、蓝、绿四种颜色的气球若干个，请你设计一种排列方案，使得第100个气球是蓝色．（四种颜色必须全用，画出这样的两组，并用算式说明）
22．某人打工共挣得1200元．星期一到星期五全天工作，日工资20元；星期六加班工作，日工资40元；星期日不上班，无工资．他从3月下旬的一个周五开始工作，3月1日是周日，问：打工第一天是几日，最后一天是几月几日？
23．200个学生排成一圈，依次按顺时针方向给学生编上号，然后按顺时针方向从1号开始，按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，按这个规律报下去，直至当队伍只剩下一人为止，最后留下的这个人原来的号码是多少？
24．大家都听说过“蜗牛爬墙”的故事：一只地面上的蜗牛要爬上高9尺的一堵光滑的墙，它很懒惰，每爬1小时后要休息1小时，向上爬时每小时可前进3尺，由于墙壁很滑，休息时要自然下滑2尺，这只蜗牛需多少小时才能爬到墙顶？现在蜗牛想从墙顶爬到地面上，又需要多少小时？（假设蜗牛笔直前进）
25．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格。格线上依次标着，指针一次跳过2个格（例如从4跳到：第二只钟一圈有7个格。格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格。开始时两个指针都指向0。如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是哪个数字？
26．12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．
（1）从1号同学开始，顺时针传100次，手绢应在谁手中？
（2）从1号同学开始，逆时针传100次，手绢又在谁手中？
（3）从1号同学开始，先顺时针传156次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？
27．一个数按的规律排列，那么从左向右数，第41个数字是几？第52个数字是几？第24个数字是几？
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【答案】
【分析】先计算出从8月1日到9月1日有多少天，再求这些天里有几周，还余几天，再根据余数判断。
【解答】解：（天
（周（天
星期一向后推算3天是星期四。
答：这一年的9月1日是星期四。
故选：。
【点评】解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算。
2．【答案】
【分析】移动一圈的路程为，用2021除以8，余数是几就落在从开始所走的距离，然后即可找出最后停的点。
【解答】解：机器人移动一圈是，
（圈
转了252圈，再走正好到达点。
故选：。
【点评】本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论。
3．【答案】
【分析】每相邻两次相遇之间相隔的时间应是3和4的最小公倍数12天，据此推算即可。
【解答】解：7月31日天月12日
答：他们8月12日又再次相遇。
故选：。
【点评】此题的关键是明确每12天相遇一次，然后再进一步解答。
4．【答案】
【分析】上第一节课开始时刻加上每节课的时间，就是第一节下课时刻；再加上10分钟就是第二节上课时刻，再加上40分就是第二节下课时刻，依次推出第三节课的时刻，分与分相加，满60要向时进1，然后进行选择即可。
【解答】解：8时20分分钟时
9时分钟时10分
9时10分分钟时50分
9时50分分钟时
10时分钟时40分
不会响铃的是。
故选：。
5．【分析】把1、2、3、4、5，这5个数看成一组，最后一个报的数是4，这一排的人数就是除以5，余数是2的数．
【解答】解：；
；
；
；
这一排可能的人数是29人．
故选：．
【点评】解答本题关键是先找到规律，再根据规律求解．
6．【分析】 要经过4分钟，这个单词才会出现一次；要经过2分钟，这个单词才会出现一次；要经过3分钟，这个单词才会出现一次；要经过5分钟，这个单词才会出现一次；要经过9分钟，这个单词才会出现一次；要经过2分钟，这个单词才会出现一次；要经过11分钟，这个单词才会出现一次．因此只要求出这几个数的最小公倍数即可．
【解答】解：
4是2的倍数，9是3的倍数，所以只要求出4、5、9、11的最小公倍数．
，
，
，
故选：．
【点评】求多个数的最小公倍数，可以先求出两个数的最小公倍数，再与其他的数依次求出最小公倍数．
7．【分析】由于0.987654321现有9个小数，5处于倒数第五个数，又小数点后的第21位上的数字是5，设循环节内共有位小数，根据循环小数的意义可知，，21位上是5，则第25位上是1，由此可得，即，所以只能为8．
【解答】解：设循环节内小数共有位，由题意可知，
，21位上是5，则第25位上是1，
由此可得，
即，是正整数，
，
由于循环节最小是5位，所以不能是，
所以只能是
所以只能为8．
即这个循环小数是．
答：这个循环小数的另一个循环点在数字8上．故选：．
8．【答案】
【分析】由题意，这210年有52个闰年，158个平年，从而计算出总天数，再根据一周有7天，利用周期性即可求解解。
【解答】解：因为2022年2月7日星期一是小说家狄更斯诞辰210周年纪念日，所以小说家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年为闰年，1900不是闰年，又，所以这210年有52个闰年，158个平年，所以共有天，
因为，所以狄更斯的出生日是星期五。故选：。
二．填空题（共8小题）
9．【答案】五。
【分析】先求出7月1日到9月1日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。
【解答】解：（天
（周（天
星期六向后推6天是星期五。
答：这一年的9月1日是星期五。故答案为：五。
10．【答案】70，二。
【分析】用每个月结束的日期减去开始的日期，求出经过的天数，每月的天数相加之后再加上开头的一天，计算即可。天数除以7求出经过了多少周，若有余数再根据余数推算。
【解答】解：
（天
（周
答：前后经过了70天；若3月8日是星期二，那么5月16日星期二。故答案为：70，二。
11．【答案】17，日。
【分析】开幕和闭幕都算作经过的天数，用结束的日期减去开始的日期，求出经过的天数，再加上开头的一天。
先求出经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。
【解答】解：
（天
（天
（周（天
星期五向后推2天是星期日。
答：本届冬奥会一共经过了17天，开幕式那天是星期五，闭幕式那天是星期日。故答案为：17，日。
12．【答案】一。
【分析】先求出6月1日到7月25日经过了多少天，天数除以7求出经过了多少周，再根据余数推算。
【解答】解：（天
（周（天
星期三向后推5天是星期一。
答：今年的7月25日是星期一。
故答案为：一。
13．【答案】90，日，三。
【分析】今年是2021年，是4的倍数的年份（整百年份是400的倍数）就是闰年，不是4的倍数年份就是平年。平年2月有28天，闰年2月有29天，1月和3月都是大月，有31天。据此计算；
7月29日是星期四，7月有31天，那么7月29日向后推算3天可知8月1日是星期日。8月有31天，用求出经过的天数里面有几周，再根据余数推算。
【解答】解：
（天
（天
（周（天
今年的1月、2月和3月一共90天。7月29日是星期四，那么8月1日是星期日，9月1日是星期三。
故答案为：90，日，三。
14．【分析】根据题干，这些彩旗的排列规律是4个一个循环周期，分别按照：红，绿，蓝，黄的顺序依次循环排列，计算出第24面、39面彩旗是第几个周期的第几个即可解答．
【解答】解：，所以第24面彩旗是第6个循环周期的最后1面，跟第一个循环周期的最后1面相同，是黄旗；
，所以第39面彩旗是第10个循环周期的第3面，跟第一个循环周期的第3面相同，是蓝旗；
答：第24面是 黄旗，最后一面是 蓝旗．
故答案为：黄，蓝．
15．【分析】观察图形可知：这组图形的排列特点是：4个图形一个循环周期，分别按照□△〇〇依次循环排列，由此计算出第26个图形和第60个图形是第几个周期的第几个；即可解答问题．
【解答】解：这组图形的排列特点是：4个图形一个循环周期，
所以第26个图形是第7周期的第2个图形，是△．
所以第60个图形是第15周期的第4个图形，是〇．
答：第26个图形是△，第60个图形是〇．故答案为：△；〇．
16．【分析】这个小数的循环节是8位小数，用2018除以8，商为循环节的个数，余数是几就是循环节里第几个数字．把循环节“1”上面的点分别移到“2”、“3” “6”各数字的上面，用2018减去不循环小数的位数差除以新循环节的位数，通过计算即可得到答案．
【解答】解：
即小数点后面第2018位是252个循环节零2个数字，也就是循环节的第二个数字，是2；
当把“1”上面的点分别移到“2”上面时，即时
，第一位是2，不合题意
当把“1”上面的点分别移到“3”上面时，即时
（不合题意）
当把“1”上面的点分别移到“4”上面时，即时
（不合题意）
当把“1”上面的点分别移到“5”上面时，即时
，第二位是6，符合题意．
即新循环小数是：．
故答案为：2，．
三．应用题
17．【分析】5天一次循环，求第164天梦奇应该吃什么就是求164里面有几个5，余数是1第164天就吃胡萝卜，余数是2或3第164天就吃苹果，余数是4第164天就吃白菜，没有余数第164天就吃香蕉，
因为一个循环吃2个苹果，这164天一共有32个循环，余数里还有2个苹果，所以总共吃了33个2个苹果，所以用33乘2计算．
【解答】解：
余数是4，余数是4说明第164天就吃白菜．
（个
答：第164天梦奇应该吃白菜，这164天梦奇总共吃了66个苹果．
18．【分析】根据题干分析可得，这串彩灯的排列规律是：9盏彩灯一个循环周期，分别按照4盏红灯、2盏黄灯、3盏蓝灯的顺序循环出现，据此求出第39盏是第几个循环周期的第几个，然后根据周期数和余数求出三种灯各有多少盏即可．
【解答】解：（个
（个（盏
所以第39盏彩灯是第5周期的第3个，是红灯；
有红灯：（盏
黄灯：（盏
蓝灯：（盏答：第39盏彩灯是红灯，这39盏灯中有红灯19盏、黄灯8盏、蓝灯12盏．
19．【答案】绿色。
【分析】根据题干可知，彩灯照颜色特点排列规律是一红二绿三黄，，即6盏一个循环周期，由此用除法计算出第123是第几个周期的第几盏即可。
【解答】解：
（盏
余数是3，按照一红二绿三黄的顺序，第三盏是绿色。
答：第123盏灯是绿色的。
20．【答案】8时50分。
【分析】先求出5、8的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时刻加这个分钟数就是第二次同时发车时间。
【解答】解：（分钟）
8时10分分钟时50分
答：下一次同时发车是8时50分。
21．【分析】根据题干分析可得，，这串气球的排列规律是：4个气球一个循环周期，分别按照红、黄、绿、蓝的顺序依次循环排列即可解答．
【解答】解：
没有余数，所以按照红、黄、绿、蓝的顺序依次循环排列，就能保证第100个气球是蓝色．
22．【答案】3月27日，5月25日。
【分析】确定打工第一天为3月27日，此人工作8周外，还要挣80元，即可得出结论。
【解答】解：因为3月1日周日，所以如图所示：
因为3月下旬的周五开始打工，3月21日以后的周五，只有3月27日，所以打工第一天为3月27日。
每周工资（元，
（周（元，
所以此人工作8周外，还要挣80元。
3月27日、28日工作两天挣（元，从3月30日开始到5月24日工作8周后，挣（元，还要再5月25日工作1天挣20元，共挣（元，因此，5月25日是其工作的最后一天。
答：打工第一天是3月27日，最后一天是5月25日。
23．【分析】因为首先单数离开，也就是剩下的是，为整数即2，4，6，8，，200，其次剩下的是，进一步根据按一、二报数，报一的人离开队伍的规律求解即可．
【解答】解：第一圈剩下的数是：2，4，6，8，10，，200；
第二圈剩下的数是：4，8，12，16，，200；
第三圈剩下的数是：8，16，24，32，40，48，56，64，72，80，88，96，104，112，120，128，136，144，152，160，168，176，184，192，200；
第四圈剩下的数是：16，32，48，64，80，96，112，128，144，160，176，192；
第五圈剩下的数是：16，48，80，112，144，176；
第六圈剩下的数是：16，80，144；
第七圈剩下的数是：16，144；
剩下的数是：144．
答：最后留下的这个人原来的号码是144．
【点评】考查了周期性问题，本题找出每圈留下的学生号码的规律，再根据规律进行求解即可．
24．【答案】这只蜗牛需13小时才能爬到墙顶，蜗牛想从墙顶爬到地面上，需要2小时。
【分析】根据题意可知，向上爬，蜗牛每2小时可前进（尺，需注意在爬上墙的最后1小时蜗牛不再下滑。向下爬，蜗牛每2小时可前进（尺。据此解答即可。
【解答】解：向上爬：
（尺
（尺
（小时）
（小时）
向下爬：
（尺
（尺
答：这只蜗牛需13小时才能爬到墙顶，蜗牛想从墙顶爬到地面上，需要2小时。
25．【答案】6。
【分析】第一只钟的数字是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、规律是6分钟一个循环；第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟，两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，由此解答即可。
【解答】解：第一只钟跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、，每6分钟一个循环；
第二只钟跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、，每7分钟一个循环；
【6，7】
即两个钟循环一次是42分钟。
一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，
所以当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是6。
答：当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着是6。
【点评】此题考查周期问题的应用。
26．【分析】（1）从1号同学开始，顺时针传一次到2号，传两次到3号以此类推，传十二次到1号，然后又从1号开始传递，所以一个周期为12次，，那么传8圈之后，再传4次，手绢在5号手中．（2）从1号同学开始，逆时针传一次到12号，传两次到11号以此类推，传十二次回到1号，然后又从1号开始传递，所以一个周期为12次，，那么传8圈之后，再传4次，手绢在9号手中．
（3）根据第（1）（2）小题的分析，顺时针传156次，，没有余数，刚好13圈，在1号手中；逆时针传143次，，传11圈之后再传11次，传到2号手中；再顺时针传107次，，传8圈之后再传11次，注意是从2号顺时针传11次，最后在1号手中
【解答】（1），在5号手中（2），在9号手中（3），在1号手中；，在2号手中；，最后在1号手中
【点评】本题运用周期解决问题，总数周期数周期个数余数，余几就从周期开始的数，往后数几个
27．【答案】1；4；6。
【分析】观察数列发现，数列按照“1、9、8、4、0、8、6”依次重复出现，说明这组数列的循环周期是8；然后计算、、，求出商与余数，由此即可确定出对应的数字是几。
【解答】解：
故第41个数字是1，第52个数字是4，第24个数字是6。
【点评】这是一道关于周期规律的题目，关键是掌握周期规律类型的题目的解答方法。红
白
黑
黄
绿
蓝
紫
0
1
2
3
4
5
6
12
11
10
9
8
7
13
14
15
16
17
18
19
25
24
23
22
21
20
26
27
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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24
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30
31