上海市川沙中学2025届高三下学期3月份月考数学试卷（含答案）

这是一份上海市川沙中学2025届高三下学期3月份月考数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=0,1,2,3,4,5，A=0,1,2，B=1,2,3,5，则∁UA∪B=
2.函数y=lg2x2−x的定义域为 ．
3.已知向量a=m,−1，b=2,m−1，若a⊥b，则实数m=
4.在二项式2x−16的展开式中，含x3项的系数是 . (用数值作答)
5.已知函数y=f(x)的表达式为f(x)=x12,x≥01,x0,f(x)=2sinωx，且函数y=f(x)的最小正周期为π，则当x∈0,2π时，曲线y=f(x)与曲线y=csx的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,AD=2,AA1=6,P为长方体ABCD−A1B1C1D1表面上一动点，则PA⋅PC1的值可能是( )
A. −15B. −10C. −5D. 2
16.已知正项等比数列{an}的前n项的积为Tn，m，n，p是互不相等的正整数，给出下列命题：①若aman=ap2，则m+n=2p；②若Tm=Tn，则Tm+n=1.则而列判断正确的是( )
A. ①②均为真命题.B. ①是真命题，②是假命题：
C. ①是假命题，②是真命题.D. ①②均为假命题．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，O分别是CC1,A1C1上的一点，且EC1=2EC，OC1=2OA1.

(1)求证：OE//平面A1B1CD;
(2)若AA1⊥平面A1B1C1D1，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为6，且A1C1=6，求锐二面角E−AB1−B的大小．
18.已知f(x)=x3+(2a−1)x+bx+a(a,b∈R).
(1)当a=0时，判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)若函数y=f(x)的图像经过点1,2，且函数y=f(x)−x2在0,2上有两个不相等的零点，求实数b的值以及实数a的取值范围．
19.截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%.某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下：
(1)请根据所给数据，完成上面的2×2列联表；
(2)判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关；
(3)用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查.抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中 n=a+b+c+d,Pχ2≥10.828≈0.001.
20.设O为坐标原点，点P−2,−1，A、B为椭圆C:x24+y2=1上的点，直线PO经过▵PAB的重心．
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)若点A的坐标为1,− 32,求点B的坐标；
(3)▵PAB的边PA、PB与椭圆C分别交于M、N两点，点O在四边形ABNM内，求证：▵OAM和▵OBN的面积相等．
21.定义域为D的函数y=f(x)存在导函数y′=f′(x)，如果对于定义域D上的任意实数x，不等式f(x+T)≥(T+1)f′(x)恒成立，则称函数y=fx具有“T性质”，其中TT∈R为常数．
(1)若f(x)=x2+x，判断函数y=f(x)是否具有“2性质”，并说明理由；
(2)若gx=ex+mx，函数y=g(x)的定义域为D=1,+∞且具有“1性质”，求实数m的取值范围；
(3)已知定义域为0,2的函数y=ℎ(x)的表达式为ℎ(x)=x2−ax，该函数具有“2性质”，证明：存在实数a，对任意x1,x2∈[1,2]，当x1≠x2时，不等式ℎ(x1)−ℎ(x2)lnx1−lnx2>6恒成立．
参考答案
1. 4
2.0,2
3.−1
4.−160
5.−∞,4
6.−1
7.9π5
8.1200
9.65
10.−815
11.119
12.−6,6∪−7
13.C
14.B
15.BC
16.C
17.解：(1)连接A1C，因为A1B1//AB,AB//CD，所以A1B1//CD，所以A1,B1,C,D共面，
又E，O分别是CC1,A1C1上的一点，且EC1=2EC，OC1=2OA1，即EC1EC=OC1OA1，
所以OE//A1C，
又OE⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，
所以OE//平面A1B1CD．

(2)取A1B1的中点F，连接C1F，因为平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为6，且A1C1=6，
所以▵A1B1C1为等边三角形，所以A1B1⊥C1F，C1F= 62−32=3 3，
取AB的中点G，连接FG，则FG//AA1．
因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以FG⊥平面A1B1C1D1，
所以FB1，FC1，FG两两互相垂直，
分别以直线FB1，FC1，FG为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则B13,0,0，A−3,0,6，E0,3 3,4，F0,0,0，
所以AB1=6,0,−6，B1E=−3,3 3,4．
平面AB1B的一个法向量n1=0,1,0，
设平面AB1E的法向量为n2=a,b,c，
所以n2⋅AB1=6a−6c=0n2⋅B1E=−3a+3 3b+4c=0，令a=−3 3，解得b=1，c=−3 3，
所以平面AB1E的一个法向量n2=−3 3,1,−3 3，
设锐二面角E−AB1−B为θ，
则csθ=n1⋅n2n1n2=11× 55= 5555，所以θ=arccs 5555，
即锐二面角E−AB1−B的大小为arccs 5555．

18.解：(1)当a=0时，f(x)=x3−x+bx=x2+bx−1，
因为f(−x)=x2−bx−1≠fx≠−fx，
所以函数y=f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)因为函数y=f(x)的图像经过点1,2，
所以2=1+2a−1+b1+a，则b=2，且a≠−1，
所以f(x)=x3+(2a−1)x+2x+a，
令gx=fx−x2=−x−2ax+1x+a=0，
则x−2ax+1=0，
因为函数y=f(x)−x2在0,2上有两个不相等的零点，
所以a≠0且00，解得0