2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）月考数学试卷（3月份） （含解析），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．函数的最小正周期是 ．
2．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 ．
3．若，则 ．
4．已知，则 ．
5．已知，则 ．
6．在△中，若，，，则△的面积是 ．
7．函数的值域为 ．
8．若函数的图象关于直线对称，则实数 ．
9．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为 ．
10．对于函数，则它的值域为 ．
11．在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是 ．
12．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．函数的奇偶性是
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
14．在中，，，，则的解的个数是
A．0B．1C．2D．无法确定
15．已知△内角、、的对边分别是、、，若，，则的值为
A．B．C．D．
16．已知函数．给出下列结论：
①是周期函数；
②函数图象的对称中心，；
③若，则；
④不等式的解集为，．
则正确结论的序号是
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知．
（1）求的值；
（2）计算及的值．（用反三角表示）
18．在中，角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若，求；
（2）若的面积，求．
19．如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．
20．（16分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对于，，为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，
（1）判断函数在区间，上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间，上具有性质，求的取值范围；
（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且（2），求证：函数在区间，上具有性质（1），
参考答案
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．函数的最小正周期是 ．
解：因为，
所以的最小正周期为．
故答案为：．
2．若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为 ．
解：扇形的圆心角为，半径为2，
扇形的面积为．
故答案为：．
3．若，则 ．
解：由，得，则，
而，则，
所以．
故答案为：．
4．已知，则 ．
解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
5．已知，则 ．
解：因为，
所以．
故答案为：．
6．在△中，若，，，则△的面积是 3 ．
解：在△中，若，，，
则．
故答案为：3．
7．函数的值域为 ， ．
解：令，，则，
易知开口向上，对称轴为，
当时，，
又因为，
所以时，，
所以的值域为．
故答案为：．
8．若函数的图象关于直线对称，则实数 ．
解：函数的图象关于直线对称，
，
即，，
故答案为：．
9．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是，且当时，，则的值为 ．
解：因为既是偶函数，又是周期函数，其最小正周期是，
又当时，，
所以．
故答案为：．
10．对于函数，则它的值域为 ．
解：令，
令，解得，
所以当时，，即，
同理可得时，，
又，
所以当时，，
此时，，即；
当时，，
此时，，即；
综上，．
故答案为：．
11．在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是 ， ．
解：因为，，且三角形为钝角三角形，
则角或为钝角，且，则，
若角为钝角，则，所以由余弦定理可得：，解得，所以；
若角为钝角，则，所以由余弦定理可得：，解得，所以，
综上，边的范围为，．
故答案为：，．
12．已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是 ．
解：函数，
由，可得，解得，
在区间内没有零点，
；
因为；
分别取，1，2，
，，，，，，
在区间内没有零点，
，，．
故答案为：，，．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．函数的奇偶性是
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
解：因为，显然是偶函数．
故选：．
14．在中，，，，则的解的个数是
A．0B．1C．2D．无法确定
解：因为，，，
根据正弦定理得：，
代入得到，由于，
所以或
故选：．
15．已知△内角、、的对边分别是、、，若，，则的值为
A．B．C．D．
解：因为，
所以由正弦定理得，又，
所以，
又，则．
故选：．
16．已知函数．给出下列结论：
①是周期函数；
②函数图象的对称中心，；
③若，则；
④不等式的解集为，．
则正确结论的序号是
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
解：①，是函数的一个周期，即①正确；
②，函数的图象关于对称．
又是函数的周期，区间恰为函数的一个周期区间，
故函数图象的对称中心为，即②正确；
③，
，函数为偶函数，
又函数的周期为，函数关于，对称，
若，则，即③错误；
④当时，，在上单调递减，
由于函数关于和，对称，
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，，．
不等式，等价于，
则，解得，，
故解集为，，即④正确．
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知．
（1）求的值；
（2）计算及的值．（用反三角表示）
解：（1）因为，
所以，
则．
（2）因为，又，
，故．
18．在中，角，，的对边分别为，，，且，．
（1）若，求；
（2）若的面积，求．
解：（1）由，得，
由正弦定理有，，，；
（2）由的面积，，
，，
当，由余弦定理得，，
当，由余弦定理得，，
或．
19．如图，，，三地有直道相通，千米，千米，千米．现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）．甲的路线是，速度为5千米小时，乙的路线是，速度为8千米小时．乙到达地后原地等待．设时乙到达地．
（1）求与的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当时，求的表达式，并判断在，上的最大值是否超过3？说明理由．
解：（1）由题意可得，
设此时甲运动到点，则千米，
千米；
（2）当时，乙在上的点，设甲在点，
，，
，
当时，乙在点不动，设此时甲在点，
当时，，，
故的最大值没有超过3千米．
20．（16分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对于，，为任意实数，关于的方程恰好有两个不等的实根，求实数的值；
（3）在（2）的条件下，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为
，
当时，可得函数，
令，，
得，．
所以函数的单调递增区间为，．
（2）当，时，，其周期，
因为关于的方程恰好有两个不等实根，
即恰好有两个不等实根，
所以区间，的长度恰为的一个周期，
所以，可得．
（3）由（2）中，得，
因为，
所以，
则，
所以的值域为，
不等式可化为，
所以，解得，
即．
21．（18分）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质，
（1）判断函数在区间，上是否具有性质，并说明理由；
（2）若函数在区间，上具有性质，求的取值范围；
（3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且（2），求证：函数在区间，上具有性质（1），
解：（1）函数在，上具有性质，理由如下：
若，则，
因为，且，
所以函数在，上具有性质．
（2）由题意，存在，使得，
得（舍去）或，
则得，，
因为，所以，
又因为且，
所以，
即所求的取值范围是．
（3）证明：设，，，
则有（1），（1）（1）（2），
由（2），得（1），
当，（1）有一个为0时，（1）或（1）（2），
则函数在区间，上具有性质（1）．
当，（1）均不为0时，由于其和为0，
则，（1）必然一正一负，即（1），
由于函数的图像是连续不断的曲线，
由零点存在性定理得存在，使得，
即，
所以函数在区间，上也具有性质（1），
综上所述，函数在区间，上具有性质（1）．
题号
13
14
15
16
答案
B
C
A
D