2023届上海市川沙中学高三上学期9月月考数学试题（解析版）

2023届上海市川沙中学高三上学期9月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则________

【答案】

【解析】直接根据交集的概念运算即可.

【详解】解：因为集合，，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.

2．函数的导数______.

【答案】

【分析】由基本初等函数的导数公式求解即可.

【详解】∵，

∴由基本初等函数的导数公式.

故答案为：.

3．函数的单调减区间是______．

【答案】

【分析】先判断其奇偶性，再结合幂函数的性质得出其单调减区间.

【详解】令，其定义域为

因为，所以为偶函数

因为在上单调递增，所以在上单调递减

故答案为：

4．在的二项展开式中，项的系数是______（用数值表示）.

【答案】160

【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.

【详解】由题意可得的二项展开式的通项公式为：，，

当时，展开式中含有，故的系数为 ，

故答案为：160.

5．方程的解为______.

【答案】

【分析】利用对数的运算性质得出，然后将对数式化为指数式，结合真数大于零可解出的值.

【详解】，

所以，，解得.

因此，方程的解为.

故答案为.

【点睛】本题考查对数方程的解，解题时要充分利用对数的运算性质，还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题.

6．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】是的必要条件，即，分，两种情况讨论分析，即得解

【详解】设或，或

若是的必要条件，则

（1）当时，即，此时，成立；

（2）当时，即，若，此时，无解.

综上：

故答案为：

7．已知定义在上且周期为的函数，且满足.且当时，，则______.

【答案】

【分析】结合已知条件分析出函数的对称轴，再利用函数的周期及时的函数解析式，转化即可得到答案.

【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，

又因为函数是周期为的周期函数，且当时，，

所以

故答案为：.

8．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是_______（结构用最简分数表示）.

【答案】

【详解】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．

【解析】古典概型．

9．函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.

【详解】依题意，函数的图象与轴有公共点，

，，

由于，当且仅当时等号成立，

所以，即的取值范围是.

故答案为：

10．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.

【答案】

【解析】判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解.

【详解】由f(x)＝ln(1＋|x|)－，

且其定义域为，故f(x)为上的偶函数，

于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).

当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，

在均是单调增函数，

所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，

则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，

两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.

故答案为：

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.

11．函数的图象绕着坐标原点旋转弧度，若仍是函数图象，则可取值的集合为________

【答案】

【解析】以对勾函数的渐近线为参照并结合其为奇函数，利用数形结合即可得到时，绕着坐标原点旋转弧度时，可取值的集合.

【详解】根据对勾函数的性质可知函数的渐近线方程为和，

若仍是函数图像，则函数的图象与垂直于轴的直线仅有一个交点，结合图象可知

两条渐近线的夹角为，以两条渐近线为参照，结合函数为奇函数，可知时逆时针旋转时，仍为函数.

故答案为：

【点睛】本题主要考查对勾函数的性质，函数的概念及函数的奇偶性，属于中档题.

12．已知集合，集合P的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果P的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么___________________．

【答案】

【分析】由题可得函数的展开式中所有项数之和减去1即为所求.

【详解】集合所有子集的“乘积”之和为函数展开式中所有项数之和；

因为，

所以．

故答案为：5.

【点睛】关键点点晴：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数，把问题转化为求展开式项系数和．

二、单选题

13．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.

【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；

对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；

对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；

对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.

故选：A.

14．不等式的解集为，则函数的图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据不等式的解集为，求出，可得与的解析式，根据解析式可得图象.

【详解】因为不等式的解集为，

所以，且和是一元二次方程的两个实根，

所以，解得，

所以，，其图象开口向下，零点为和，所以图象为.

故选：B

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

15．如果函数图象上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是（    ）

A．是区间上的减函数，且

B．是区间上的增函数，且

C．是区间上的减函数，且

D．是区间上的减函数，且

【答案】C

【分析】由给出的方程得到函数图象上任意一点的横纵坐标的关系式，利用基本不等式求出的范围，整理出，可得函数在上的增减性，二者结合可得正确答案．

【详解】    

（当且仅当时取等号）    ，解得：

由得：

当时，为减函数    在上为减函数

故选

【点睛】本题考查了函数单调性的判断，利用基本不等式求最值等知识，关键是能利用对数方程得到真数之间的关系，属于基础题．

16．关于函数的周期有如下三个命题：

甲：已知函数和定义域均为，最小正周期分别为、，如果，则函数一定是周期函数；

乙：不是周期函数，一定不是周期函数；

丙：函数在上是周期函数，则函数在上也是周期函数.

其中正确的命题的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】根据周期的定义，依次判断即可.

【详解】对甲：设，，则，设，对于任意的，则

，故甲说法正确；

对乙：不是周期函数，但是周期函数，故乙说法错误；

对丙：函数在上是周期函数，则存在非零常数，对任意都有，故当时，也有，

即仍是周期为的函数，故丙说法正确.

故选：C

【点睛】本题主要考查对周期的定义的运用，属于中档题.

三、解答题

17．设全集为，集合，.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）先解不等式求出和，再求出，即可出；

（2）求出在不同的取值范围内的集合，再根据，即可求得的取值范围.

【详解】（1）不等式，

∴，

不等式，

∴，

∴，

∵，

∴或.

（2）不等式，

①当时，，不等式，解集为，

∴，此时成立，满足题意；

②当时，，或，

∴或，

∵或

∴若，则有，解得，

∴此时，的取值范围是；

③当时，，或，

∴或，

∵或

∴若，则有，解得，

∴此时，的取值范围是，

综上所述，实数的取值范围是.

18．已知函数（）.

(1)若函数为偶函数，求实数的值；

(2)若对任意的，都有，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由算出答案即可；

（2）分2种情况进行讨论：以及，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得的值，进而综合2种情况，可得答案．

【详解】（1）若函数为偶函数，

则，

所以，，

所以；

（2）由可得：，即，

因为当时，函数 单调递减，其最大值为1，

所以，即，

由可得，即，

当时，单调递减，且无限趋近于0，

所以，即

综合可得：．

19．住宅小区为了使居民有一个优雅､舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200的十字形区域.现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/，在四个相同的矩形上（阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/.

（1）设总造价为S元，AD的边长为，试建立S关于的函数关系式；

（2）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区？

【答案】（1）S=4000x2++38000，( )；

（2）至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区.

【解析】(1)根据由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM的函数表达式，最后建立建立S与x的函数关系即得；

(2)利用基本不等式求出(1)中函数S的最小值，并求得当x取何值时，函数S的最小值即可．

【详解】(1)由题意，可得AM=，由，可得 ；

则S=4200x2+210(200-x2)+80×2×；

S=4200x2+42000-210x2+=4000x2++38000；

∴S关于x的函数关系式：

S=4000x2++38000，( )；

(2)S=4000x2++38000≥2+38000=118000；

当且仅当4000x2=时，即x=时，∈(0，10)，S有最小值；

∴当x=米时，Smin=118000元．

故计划至少要投入118000元，才能建造这个休闲小区．

20．设函数，且对任意恒成立.

(1)求的值；

(2)求函数在上的最值；

(3)设实数且，证明：.

【答案】(1)1；

(2)函数在上的最大值为4，最小值为-16；

(3)证明见解析.

【分析】（1）令代入，即可求解；（2）求出导函数，研究单调性求出最值；（3）先证明出，分别把，代入，相加后整理即可证明.

【详解】（1）因为函数，且对任意恒成立

所以当时，有，即,解得：.

（2）因为,故,.

令，解得：；令，解得：或；

所以函数在上单增，在上单减.

因为，，，

所以函数在上的最大值为4，最小值为-16.

（3）由（1）知,故.

由（2）知，当时，.

所以.

当实数且，有.

所以，，，

相加得：.

即证.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；

（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；

（4）利用导数证明不等式．

21．已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．

(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)求证：是的“4重覆盖函数”；

(3)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．

【答案】(1)不是的“2重覆盖函数”理由见解析；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；

（2）：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；

（3）：将题转化为对任意，有2个实根，根据的性质即可求解．

【详解】（1）由可知：，函数的图像如图所示：

当时， ，

当时，解得，

所以不是的“2重覆盖函数”；

（2）证明：因为，

所以，

又因为，

又因为，

所以，

所以，

又因为，

所以，

又因，可得为奇函数且单调递增，

作出两函数的内的大致图像，如图所示：

，

而函数在上单调递增，且，所以，

由此可知在内有4个解．

所以是在的“4重覆盖函数”；

（3）可得的定义域为，

即对任意，存在2个不同的实数，使得（其中），

∵，∴，

所以，

所以，

即，

即对任意，有2个实根，

当时，已有一个根，故只需时，仅有1个根，

当时，，符合题意，

当时，则需满足，解得，

当时，抛物线开口向下，有最大值，不能满足对任意，仅有1个根，故不成立．

综上，实数a的取值范围是．

【点睛】在处理两函数图像交点问题时，可通过分离变量交点问题转化为与两个函数的图像交点情况.