北京市中关村中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市中关村中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线过点A(1,0)，B(0,− 3)，则直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π4D. 2π3
2.圆心为(−1,2)且过原点的圆的方程是( )
A. (x+1)2+(y−2)2=5B. (x−1)2+(y+2)2=5
C. (x−1)2+(y−2)2=5D. (x+1)2+(y+2)2=5
3.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是( )
A. x2=8yB. x2=4yC. y2=4xD. y2=8x
4.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=2 2，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
5.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线经过点A，那么双曲线的离心率e为( )
A. 2 3B. 12C. 62D. 32
7.已知圆(x−2)2+(y+1)2=9，直线x+y+m=0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则m可以是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，则数列{1anan+1}的前2025项的和为( )
A. 20242025B. 40504051C. 20254051D. 20254053
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a7=13，则S10=( )
A. 13B. 45C. 65D. 130
10.已知数列{an}的通项公式an=n2−2an，则根据下列说法选出正确答案是( )
①若a=−12，则数列{1an}的前n项和Sn=1−1n+1；
②若a=12，数列{an}的前n项和为Tn，则Tn是递增数列；
③若数列{an}是递增数列，则a∈(−∞,1].
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.双曲线C：x24−y25=1的焦点到顶点的最小距离是______.
12.经过点P(1,0)，且与直线l：y=2x−1平行的直线方程是______.
13.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F(1,0)的距离等于3，则点M的坐标为______.
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，a3+a4=−3，则an=______；Sn的最小值为______.
15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.曲线C：4−|x|= 4−y2，下面是关于曲线C的四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C上点的横坐标取值范围是[−4,4]；
③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；
④若直线y=kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是(−∞,− 33)∪( 33,+∞).
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．求证：
(Ⅰ)BD//平面AEF；
(Ⅱ)EF⊥平面ACC1A1.
17.(本小题12分)
已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG//平面PAB.
(Ⅰ)证明：G为BC的中点；
(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(i)A到平面EFG的距离；
(ii)二面角G−OE−C的余弦值.
条件①：PC=4 2；
条件②：CD⊥平面PAD.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.(本小题8分)
已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N.
(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为 22，求直线l的方程；
(Ⅱ)若弦长MN= 3，求k的值.
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,−2)，离心率为 22.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及焦点的坐标；
(Ⅱ)若直线y=kx+4与椭圆E交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：kAN=kAG.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：直线过点A(1,0)，B(0,− 3)，则可得直线AB的斜率k=− 3−00−1= 3，
设直线的倾斜角为θ，θ∈[0,π),
可得θ=π3.
故选：B.
由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而可得直线的倾斜角．
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意可知，该圆的圆心为 (−1−0)2+(2−0)2= 5，
故圆心为(−1,2)且过原点的圆的方程是(x+1)2+(y−2)2=5.
故选：A.
结合两点之间的距离公式，求出圆的半径，即可求解．
本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：焦点为(0,2)的抛物线标准方程是：x2=8y.
故选：A.
通过抛物线的焦点坐标求解标准方程即可．
本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，DA、DC、DD1两两互相垂直，可得DA⋅DC=DA⋅DD1=DC⋅DD1=0，
因为DB1=DA+AB+BB1=DA+DC+DD1，
所以DB12=(DA+DC+DD1)2=|DA|2+|DC|2+|DD1|2+2DA⋅DC+2DA⋅DD1+2DC⋅DD1
=|DA|2+|DC|2+|DD1|2=4+8+4=16，可得|DB1|= DB12=4，
DB1⋅AA1=DA⋅AA1+DC⋅AA1+DD1⋅AA1=DD1⋅AA1=|AA1|2=4.
设异面直线DB1与AA1所成角为α，
则csα=|cs|=DB1⋅AA1|DB1|⋅|AA1|=44×2=12，结合0∘0，所以{an}单调递增，
数列{an}的前n项和为Tn，
则Tn+1−Tn=an+1=n(n+1)>0，所以Tn是递增数列，故②正确；
对于③：若数列{an}是单调递增数列，则an+1>an，即(n+1)2−2a(n+1)>n2−2an，
所以2n+1>2a，所以aan，即可得到a0，
解得k20，解得：k2>32，
则xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
则MB的方程为：y=kxM+6xMx−2，
令y=1，解可得x=3xMkxM+6，则G(3xMkxM+6,1)，
则AG=(3xMkxM+6,−1)，AN=(xN,kxN+2)
欲证kAN=kAG，即A，G，N三点共线，只需证明AG//AN即可，
只需证明3xMkxM+6×(kxN+2)=−xN成立即可，
只需证明(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)即可，
又由xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
代入(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)，易得该式成立，
故kAN=kAG.
【解析】(1)根据题意，先分析b的值，结合椭圆的离心率求出a的值，即可得答案；
(2)根据题意，将直线方程代入椭圆方程化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0，设M(xM,kxM+4)，N(xN,kxN+4)，G(xG,1)，结合韦达定理可得xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，求出直线MB的方程，可得G的坐标，用分析法证明AG//AN，即可得结论．
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，属于中档题．