2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（下）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线过点A(1,0)，B(0,− 3)，则直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. π4D. 2π3
2.圆心为(−1,2)且过原点的圆的方程是( )
A. (x+1)2+(y−2)2=5B. (x−1)2+(y+2)2=5
C. (x−1)2+(y−2)2=5D. (x+1)2+(y+2)2=5
3.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是( )
A. x2=8yB. x2=4yC. y2=4xD. y2=8x
4.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=2 2，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
5.已知α，β是两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.已知椭圆x22+y2=1上一点A和焦点F，AF⊥x轴，若双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线经过点A，那么双曲线的离心率e为( )
A. 2 3B. 12C. 62D. 32
7.已知圆(x−2)2+(y+1)2=9，直线x+y+m=0，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则m可以是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，则数列{1anan+1}的前2025项的和为( )
A. 20242025B. 40504051C. 20254051D. 20254053
9.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4+a7=13，则S10=( )
A. 13B. 45C. 65D. 130
10.已知数列{an}的通项公式an=n2−2an，则根据下列说法选出正确答案是( )
①若a=−12，则数列{1an}的前n项和Sn=1−1n+1；
②若a=12，数列{an}的前n项和为Tn，则Tn是递增数列；
③若数列{an}是递增数列，则a∈(−∞,1]．
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.双曲线C：x24−y25=1的焦点到顶点的最小距离是______．
12.经过点P(1,0)，且与直线l：y=2x−1平行的直线方程是______．
13.抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F(1,0)的距离等于3，则点M的坐标为______．
14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，a3+a4=−3，则an= ______；Sn的最小值为______．
15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美.曲线C：4−|x|= 4−y2，下面是关于曲线C的四个结论：
①曲线C关于原点中心对称；
②曲线C上点的横坐标取值范围是[−4,4]；
③曲线C上任一点到坐标原点的最小距离为2；
④若直线y=kx与曲线C无交点，则实数k的取值范围是(−∞,− 33)∪( 33,+∞)．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点．求证：
(Ⅰ)BD//平面AEF；
(Ⅱ)EF⊥平面ACC1A1．
17.(本小题12分)
已知在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F分别为PC、PD的中点，过EF的平面EFG交BC于点G，平面EFG/​/平面PAB．
(Ⅰ)证明：G为BC的中点；
(Ⅱ)取AD的中点O，连接OC，OE，OG，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(i)A到平面EFG的距离；
(ii)二面角G−OE−C的余弦值．
条件①：PC=4 2；
条件②：CD⊥平面PAD．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题8分)
已知直线l过点P(3,0)，且与椭圆x24+y2=1相交于不同的两点M，N．
(Ⅰ)若M，N中点的纵坐标为 22，求直线l的方程；
(Ⅱ)若弦长MN= 3，求k的值．
19.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴的两个端点分别为A(0,2)，B(0,−2)，离心率为 22．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程及焦点的坐标；
(Ⅱ)若直线y=kx+4与椭圆E交于不同的两点M，N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：kAN=kAG．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.A
6.C
7.D
8.C
9.C
10.A
11.1
12.y=2x−2
13.(2,±2 2)
14.n−5 −10
15.①③④
16.证明：(Ⅰ)∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1的中点，
∴BE/​/DF，BE=DF，
∴四边形BEFD为平行四边形，
∴BD//EF，
又BD⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴BD/​/平面AEF．
(Ⅱ)∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴AA1⊥BD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
由(I)知BD/​/EF，
∴EF⊥AA1，EF⊥AC，
又AC∩AA1=A，AC⊂面ACC1A1，AA1⊂面ACC1A1，
∴EF⊥平面ACC1A1．
17.(Ⅰ)证明：因为平面EFG/​/平面PAB，平面PBC∩平面EFG=EG，平面PBC∩平面PAB=PB，
所以EG/​/PB，
又E是PC的中点，
所以G为BC的中点．
(Ⅱ)解：选择条件①：
因为PC=4 2，PD=CD=4，所以PD2+CD2=PC2，即PD⊥CD，
因为正方形ABCD，所以AD⊥CD，
又PD∩AD=D，PD、AD⊂平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，
所以OG⊥平面PAD，
因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(−1,0, 3)，E(−1,2, 3)，G(0,4,0)，C(−2,4,0)，
(i)EF=(0,−2,0)，EG=(1,2,− 3)，AG=(−2,4,0)，
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2y=0m⋅EG=x+2y− 3z=0，
取z=1，则x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距离为|AG⋅m||m|=|−2 3|2= 3．
(ii)OE=(−1,2, 3)，OC=(−2,4,0)，
设平面OEC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅OE=−a+2b+ 3c=0n⋅OC=−2a+4b=0，
取b=1，则a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因为EF//CD//OG，所以O，G，E，F四点共面，
所以平面OEG的法向量为m=( 3,0,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 32× 5= 155，
由图知，二面角G−OE−C为锐角，
所以二面角G−OE−C的余弦值为 155．
选择条件②：
因为O，G分别为AD，BC的中点，所以OG/​/CD，
又CD⊥平面PAD，所以OG⊥平面PAD，
因为△PAD是正三角形，且O为AD的中点，所以OP⊥AD，
故以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，F(−1,0, 3)，E(−1,2, 3)，G(0,4,0)，C(−2,4,0)，
(i)EF=(0,−2,0)，EG=(1,2,− 3)，AG=(−2,4,0)，
设平面EFG的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅EF=−2y=0m⋅EG=x+2y− 3z=0，
取z=1，则x= 3，y=0，所以m=( 3,0,1)，
所以A到平面EFG的距离为|AG⋅m||m|=|−2 3|2= 3．
(ii)OE=(−1,2, 3)，OC=(−2,4,0)，
设平面OEC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅OE=−a+2b+ 3c=0n⋅OC=−2a+4b=0，
取b=1，则a=2，c=0，所以n=(2,1,0)，
因为EF//CD//OG，所以O，G，E，F四点共面，
所以平面OEG的法向量为m=( 3,0,1)，
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 32× 5= 155，
由图知，二面角G−OE−C为锐角，
所以二面角G−OE−C的余弦值为 155．
18.解：(Ⅰ)易知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=k(x−3)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=k(x−3)x24+y2=1，消去y并整理得(1+4k2)x2−24k2x+36k2−4=0，
此时Δ=(−24k2)2−4(1+4k2)(36k2−4)>0，
解得k20，解得：k2>32，
则xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
则MB的方程为：y=kxM+6xMx−2，
令y=1，解可得x=3xMkxM+6，则G(3xMkxM+6,1)，
则AG=(3xMkxM+6,−1)，AN=(xN,kxN+2)
欲证kAN=kAG，即A，G，N三点共线，只需证明AG//AN即可，
只需证明3xMkxM+6×(kxN+2)=−xN成立即可，
只需证明(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)即可，
又由xM+xN=−16k2k2+1，xMxN=242k2+1，
代入(3k+k)xMxn=−6(xM+xN)，易得该式成立，
故kAN=kAG．