2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数2i1−i(i是虚数单位)的虚部是( )
A. 1B. −iC. 2D. −2i
2.已知向量a=(−5,5)，b=(0,−3)，则a与b的夹角为( )
A. π4B. π3C. 2π3D. 3π4
3.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=23，φ=−π6
B. ω=23，φ=π6
C. ω=43，φ=−π6
D. ω=43，φ=π6
4.已知csα=45，α∈(3π2,2π)，则sinα2等于( )
A. − 1010B. 1010C. 310 3D. −35
5.若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)在区间[−π4,π4]上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,103]B. (0,23]C. [23,103]D. [103,+∞)
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为32，且sinA+sinC=2sinB，则b的值为( )
A. 4+2 3B. 4−2 3C. 3−1D. 3+1
7.若x，y∈R，则“lgx+lg(y−1)=0”是“x(y−1)=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8.为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为( )
A. 40%B. 50%C. 60%D. 65%
9.“α+β=π2+2kπ，k∈Z”是“sinα=csβ”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.在△ABC中，csB=−12，AB=BC=2，已知点P满足AP=λAB+(1−λ)AC，且AB⋅AP=92，则λ=( )
A. 14B. 13C. 12D. 34
二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
11.已知复数z满足|z|=1，|z−i|=1，则z的虚部为______．
12.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是______．
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，sinA=2sinC，B=π3，则△ABC的面积为______．
14.如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为______海里．
15.边长为2的等边△ABC中，|BD|=1，CE=EA，则AD⋅BE的最小值为______．
16.如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论：
①函数f(x)=2x存在“线性覆盖函数”；
②对于给定的函数f(x)，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；
③g(x)=12x+12为函数f(x)= x的一个“线性覆盖函数”；
④若g(x)=2x+b为函数f(x)=−x2的一个“线性覆盖函数”，则b>1
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
已知函数f(x)=asinxcsx+cs(2x+π6)，且f(π4)=32．
(1)求a的值和f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间．
18.(本小题16分)
已知A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，向量m=(sinA,sinB)，n=(csB,csA)，且m⋅n=sin2C．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA⋅(AB−AC)=18，求边c的长．
19.(本小题16分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=2,sinA+sinBsinB+sinC=ca−2．
(1)求角A．
(2)从以下三个条件中任选一个，求△ABC的面积．
①边BC上的中线AD=1；②sinB=13；③角A的平分线AD=1，点D在线段BC上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.(本小题16分)
对于函数f(x)，g(x)，若存在实数m，n，使得函数ℎ(x)=mf(x)+ng(x)，则称ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”．
(1)已知f(x)=x−3，g(x)=3−2x，试判断ℎ(x)=x−6是否为f(x)，g(x)的“合成函数”？若是，求实数m，n的值；若不是，说明理由；
(2)已知f(x)=sin(x−π4)，g(x)=csx，ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”，且m=1，n= 2，若关于x的方程f(x+π4)⋅g(x)+kℎ(x)=0在x∈[0,π2]上有解，求实数k的取值范围；
(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”(其中m>0，n>0)，ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，当且仅当x=3时，ℎ(x)取得最小值6.若对任意正实数x1，x2，且x1+x2=2，不等式ℎ(x1)+ℎ(x2)≥p恒成立，求实数p的最大值．
参考答案
1.A
2.D
3.A
4.B
5.B
6.D
7.A
8.C
9.A
10.D
11.12
12.π3
13.6 3
14.10 6
15.− 3−3
16.②③
17.解：(1)因为f(π4)=32，所以f(π4)=asinπ4csπ4+cs(π2+π6)=32，
即12a−12=32，解得a=4，
所以f(x)=4sinxcsx+cs(2x+π6)=2sin2x+ 32cs2x−12sin2x
=32sin2x+ 32cs2x= 3sin(2x+π6)，
所以f(x)的最小正周期为2π2=π．
(2)由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，
所以f(x)在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6],[2π3,π]．
18.解：(1)由m=(sinA,sinB)，n=(csB,csA)，
得m⋅n=sinAcsB+csAsinB=sin(A+B)=sinC，
又m⋅n=sin2C，∴sin2C=2sinCcsC=sinC，
∵0(2)∵sinA+sinB=2sinC，∴2c=a+b，
又CA⋅(AB−AC)=18，∴CA⋅CB=18，即abcsC=18，
∴abcsπ3=12ab=18，得ab=36．
由余弦定理得c= a2+b2−2abcsC= (a+b)2−3ab= 4c2−3×36，
解得c=6．
19.解：(1)由题意sinA+sinBsinB+sinC=ca−2，
由正弦定理可得a+bb+c=ca−2，即a+22+c=ca−2，
则a2−c2=2c+4，
由余弦定理得a2=4+c2−4ccsA，所以a2−c2=4−4ccsA，
所以2c+4=4−4ccsA，所以csA=−12，
又因为0(2)若选①：由边BC边上的中线AD=1，如图，

所以AD=12(AB+AC)，即12=14(c2+4−2c)，
即c2−2c=0，又因为c>0，所以c=2，
由(1)知csA=−12，所以sinA= 32，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×2× 32= 3；
若选②：当sinB=13，由csA=−12，所以sinA= 32，
由正弦定理：asinA=bsinB，即a 32=213，解得a=3 3，
由(1)可得a2−c2=2c+4，即c2+2c−23=0，
解得：c=2 6−1或c=−1−2 6(舍)，
所以S△ABC=12bcsinA=12×2×(2 6−1)× 32=3 2− 32；
若选③：角A的平分线AD=1，则∠DAC=π3，又因为b=2，
在△ADC中由余弦定理可得CD2=b2+AD2−2b⋅ADcs∠DAC=4+1−4csπ3，
所以CD= 3，此时AD2+CD2=AC2，所以∠ADC=π2，所以AD⊥BC，
所以可得△ABC为等腰三角形，所以c=b=2，
所以S△ABC=12×BC×AD=12×2 3×1= 3．
20.解：(1)假设ℎ(x)=x−6为f(x)，g(x)的“合成函数”，
则ℎ(x)=x−6=m(x−3)+n(3−2x)=(m−2n)x+3(n−m)，
所以m−2n=13(n−m)=−6，解得m=3，n=1，
所以ℎ(x)=x−6为f(x)，g(x)的“合成函数”，且m=3，n=1；
(2)因为f(x)=sin(x−π4)，且m=1，n= 2，
所以ℎ(x)=sin(x−π4)+ 2csx= 22(sinx+csx)，
由f(x+π4)⋅g(x)+kℎ(x)=0，
得sinxcsx+ 22k(sinx+csx)=0(∗)，
令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
则t2=(sinx+csx)2=1+2sinxcsx，所以sinxcsx=t2−12，
因为x∈[0,π2]，所以x+π4∈[π4,3π4]，故t∈[1, 2]，
所以方程(∗)为t2−12+ 22kt=0在t∈[1, 2]上有解，
所以 2k=1t−t，
因为函数y=1t,y=−t在t∈[1, 2]上都是减函数，
所以函数y=1t−t在t∈[1, 2]上是减函数，
所以 2k=1t−t∈[ 22− 2,0]，
所以k∈[−12,0]；
(3)由题意ℎ(x)=mx+3nx,m>0,n>0,x∈(0,+∞)，
得ℎ(x)=mx+3nx≥2 3mn，
当且仅当mx=3nx，即x= 3nm时取等号，
所以m>0n>0 3nm=32 3mn=6，解得m=1n=3，
所以ℎ(x)=x+9x,x∈(0,+∞)，
则ℎ(x1)+ℎ(x2)=x1+x2+9x1+9x2≥p恒成立，
因为x1+x2=2，所以ℎ(x1)+ℎ(x2)=x1+x2+9x1+9x2=2+18x1x2≥p，
又x1x2≤(x1+x2)24=1，当且仅当x1=x2=1时取等号，
所以ℎ(x1)+ℎ(x2)=2+18x1x2≥20，
所以p≤20，
所以实数p的最大值为20．