湖南省桃源县第一中学2025届高三一模数学试卷（含答案）

这是一份湖南省桃源县第一中学2025届高三一模数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角θ 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P1,2 ，则sinπ−θsinθ+csθ 的值为( )
A. −13B. 13C. −23D. 23
2.在x3−i2x+i x5(其中i是虚数单位)的展开式中，x12的系数为( )
A. −39−iB. −39iC. −40+iD. −40
3.已知圆内接四边形ABCD中，AD=2,∠ADB=π4,BD是圆的直径，AC⋅BD=2，则∠ADC=( )
A. 5π12B. π2C. 7π12D. 2π3
4.已知a=ln1.1，b=e0.1−1，c=sin0.1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>b>a
5.已知函数f(x)=xlnx+x(x−a)2(a∈R).若存在x∈12,2，使得fx>xf′x成立，则实数a的取值范围是( )
A. 94,+∞B. 32,+∞C. ( 2,+∞)D. (3,+∞)
6.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1−2 3,0，F22 3,0，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2 =π2，若e1= 63，则双曲线C2的方程为( )
A. x29−y23=1B. x23−y29=1C. x22−y210=1D. x26−y26=1
7.已知公差不为零的等差数列an满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，设数列bn满足bn=1anan+1n∈N∗，则数列bn的前n项和Sn为( )
A. 1−12n+1=2n2n+1B. 1+12n+1=2n+22n+1
C. 121−12n+1=n2n+1D. 121+12n+1=n+12n+1
8.如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0,1,2,⋯,10，用X表示小球最后落入格子的号码，若PX=k≤PX=k0，则k0=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=sinωx− 3csωx+1ω>0的最小正周期为π，则下列结论中正确的是( )
A. fx的图像关于点π6,0对称B. fx的图像关于直线x=5π12对称
C. fx在0,1上单调递增D. fx在区间π12,π2上的值域为0,3
10.已知圆C:x+22+y2=4，直线l:m+1x+2y−1+m=0m∈R，则( )
A. 直线l 恒过定点−1,1
B. 当m=0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C. 直线l与圆C可能相切
D. 若圆C与圆x2+y2−2x+8y+a=0恰有三条公切线，则a=8
11.四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA与底面垂直，PA=2，AB=1，动点M在线段PC上，则( )
A. 不存在点M，使得AC⊥BM
B. MB+MD的最小值为 303
C. 四棱锥P−ABCD的外接球表面积为5π
D. 点M到直线AB的距离的最小值为2 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列an中，数列an的前n项和为Sn，S7=28，a1+a4=5，若4an+am=a17(m,n∈N∗)，则n2+m2的最小值为 ．
13.对∀x∈R，都有fx=x4−4x3+m+5x2−2m+4x+m+4≥0恒成立，那么m的取值范围是 ．
14.已知函数fx=x3+2x，若m>0，n>0，且f2m+fn−1=f0，则1m+2n的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA−bsinB=csinA−B．
(1)求a的值；
(2)若▵ABC的面积为 3b2+c2−a24，求▵ABC周长的取值范围．
16.(本小题12分)
设函数fx=−x2+ax+lnxa∈R．
(1)若a=1，求函数fx的单调区间；
(2)设函数fx在1e,e上有两个零点，求实数a的取值范围．(其中e是自然对数的底数)
17.(本小题12分)
已知数列an满足a1=a(a∈R,a≠−12)，an=2an−1+1n+1n(n+1)(n∈N,n≥2).又数列bn满足bn=an+1n+1．
(1)求证：数列bn是等比数列；
(2)若数列an是严格增数列，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BC//AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2．
(1)若F为线段PE中点，求证：BF//平面PCD．
(2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
(1)若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为样本平均数的估计值，σ=11.5，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数；
(2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为34，后两题每题能答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分(含20分)的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大?
附：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则：P(μ−σ