湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三上学期8月模块考试 数学试题（含解析）

这是一份湖南省桃源县第一中学2024-2025学年高三上学期8月模块考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．求值：（ ）
A．B．C．D．
3．复数满足：（其中是虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A．21B．19C．13D．11
6．函数的图象大致为 （ ）
A．B．
C．D．
7．函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（ ）
A．0B．1C．112D．113
8．已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题；每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
11．定义：为集合相对常数的“余弦方差”，若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数在处的切线方程为 ．
13．已知向量，，若，则 ．
14．若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
16．设函数．
(1)求函数的最小正周期T和单调递减区间．
(2)在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，求的取值范围．
17．如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值，
18．如图，在四边形ABCD中，，，，．

(1)求的大小；
(2)求的面积的最大值
(3)若，求的面积．
19．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”
(1)若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；
(2)若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：
(3)若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
1．C
【分析】由分式不等式和对数的运算解出集合，再求交集即可；
【详解】由集合可得，
解得或，
所以，
故选：C.
2．A
【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性化简求值即可.
【详解】
，
故选：A
3．D
【分析】先由求出复数，再求出其共轭复数，从而可判断其在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由，
得，
则在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
4．D
【分析】由终边上点的坐标求出，由的范围及求得，最后由公式求值即可.
【详解】由点为角终边上一点得，，
，又，，∴，∴，
∴.
故选：D
5．B
【分析】由已知可得，即可解得，进而求出.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：B.
6．D
【解析】排除法，求出函数的定义域可排除A、B，函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，利用导数研究函数的单调性，从而可得出结论．
【详解】解：由得且，即且，
∴函数的定义域为，
故A、B错；
又函数的图象可由函数的图象向左平移一个单位得到，
∵时，，，
由得，令，
∵，，
∴存在实数，使得，
又函数在0,+∞上单调递增，
∴当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增；
∴函数在0,+∞上的单调性应是先递减后递增，
故C错，D对；
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的性质与图象，考查利用导数研究函数的单调性，属于难题．
7．B
【分析】由可得的周期，再由奇函数及时，可以化简函数值，进而求解.
【详解】因为，
所以的周期为4，
因为时，，
所以，
因为是R上的奇函数，
所以，
又，
所以，
所以，
，
，
所以，
所以，
故选：B.
8．B
【分析】根据选项合理构造函数，利用导函数判断函数单调性，得出函数的最值，从而判断不等式是否成立.
【详解】对于A选项：令，，
，令 ，令，则，
即时，ℎ′x0，ℎx单调递增，f′x单调递增，
f′x有最小值，
所以在0,+∞单调递增，故，
所以即，故A选项错误；
对于B选项：由A可知：，
要证，即需要证明：，即，
即，，
令，
，令
，令，则，
即时，，单调递减，单调递减，
即时，，单调递增，单调递增，
所以有最小值，
所以ℎx在0,+∞单调递增，故，
所以成立，故B选项正确；
对于C选项：由得，
因为，所以，
所以，故C选项错误，
对于D选项：令，因为，
所以在0,+∞上单调递增，所以，
所以存在x∈0,+∞使得，即，
故D选项错误；
故选：B.
9．AC
【分析】对A，B利用诱导公式可判断正误.对C利用降幂公式判断正误；对D利用和差公式展开判断正误.
【详解】对A：由诱导公式知，故A正确；
对B：由诱导公式知，故B错误；
对C：因为，所以，故C正确；
对D：

，故D错误.
故选：AC
10．AD
【解析】根据图像变换法则可求得的解析式，利用其为偶函数求出，又由三角函数的性质可求得，对进行赋值，与选项对比即可得出答案.
【详解】由，
得，
因为偶函数，则，
所以，即
当时，；当时，.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数的性质和函数的奇偶性，得出，，进而判断选项.
11．BC
【分析】根据题意，化简得到，结合，求得，进而得到，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，可得
，
因为，可得，所以，
所以，结合选项BC符合题意.
故选：BC.
12．
【分析】根据求导公式和求导法则，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】由题意得，，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
13．
【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，进而求出，可求.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解.
【详解】由得，
由题意知在区间上单调递增.
①时，在区间上单调递增，符合题意；
②时，在区间上单调递增，
若在区间上单调递增，则，即对恒成立，
所以成立，故，即；
③时，对恒成立，此时，
函数由，复合而成，在上单调递增且，
而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
若在上单调递增，则，即.
综合①②③可知a的取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解.
15．(1)；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
16．(1)π；；
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化简，再利用周期公式可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入，解不等式即可得解；
（2）利用正弦定理边化角求出，再利用三角形的内角和性质求出的范围，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期为，
令，得，，
所以函数的单调递减区间是.
（2）由，得，即得，
又在锐角中，所以，
，解得，
，
，
所以的取值范围是.
17．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由正方形的性质及平面平面，可得平面，即，取的中点，连接，可证得，即可求证；
（2）以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由（1）可得为平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，求解即可.
【详解】（1）在正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
取的中点，连接，由，，，
所以四边形为正方形，则，，即，
又是平面内两条相交直线，
所以平面.
（2），，
，又平面，
易得两两互相垂直，
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，
由（1）知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则，得，令，解得，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)的面积的最大值为3
(3)
【分析】（1）利用正弦定理得出，再根据，即可得出；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出，最后由三角形的面积公式得出面积的最大值.
（3）利用两角和的正弦公式可求得，再利用正弦定理可求得，可求的面积.
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以；
（2）在中，，
由余弦定理可得
，即，当且仅当时取等号，
所以，
故的面积的最大值为；
（3）因为，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，即，
所以，
所以，
所以的面积为.
19．(1)
(2)或.
(3)
【分析】（1）根据函数解析式计算，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的取值范围；
（2）若函数是“2跃点”函数，则方程有解，即有解，结合二次函数的性质和“2跃点”函数的定义求解即可；
（3）将题意转化为方程，即有一个不同的实数根，令，对求导，求出的单调性和最值，结合图象即可得出答案.
【详解】（1）函数的导函数为，
若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
又因为，故，即.
（2）因为，所以，
若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，
即有解，
由因式分解可得，
当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，②，
当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，
此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；
当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；
当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，
则其中一个是实数根为，则，解得：.
综上：的值为或.
（3）函数，，
若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，
即，，
令，解得：；令，解得：且，
故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.
且，
当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，
的图象如下图：

故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以b的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.