吉林省长春市宽城区2023-2024学年九年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市宽城区2023-2024学年九年级（上）期末数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，数轴上点A表示的数是2023，，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．C．D．
2．“争创全国文明典范城市，让文明成为长春人民的内在气质和城市的亮丽名片”.一个写有相关宣传标语的正方体的表面展开图如图所示，把展开图折叠成正方体后，“范”字对面的字是（ ）
A．文B．明C．城D．市
3．2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果．科学家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是亿年，数据亿年用科学记数法表示为（ ）

A．年B．年C．年D．年
4．如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（ ）

A．B．C．D．
6．我国汉代数学家赵爽在注解《周解算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，．若．则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图．在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点．点是轴负半轴上一点．点关于点的对称点恰好落在抛物线上．过点作轴的平行线交抛物线于另一点．若点的横坐标为2，则的长为（ ）
A．4B．5C．6D．8
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
9．分解因式： ．
10．中性笔每支元，铅笔每支元，买5支中性笔和3支铅笔共需 元．（用含x、y的代数式表示）
11．若关于x的方程有实数根，则的值可以是 .（写出一个即可）
12．如图，在中，，，，则的值是 ．

13．如图，内接于．若的半径为3，，则弦的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点．矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
16．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”“飞英雄”“探秘太空”三个模块中各随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A、B、C．请用画树状图（或列表）的方法，求小明和小亮选择相同模块的概率．
17．图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中的线段上找一点，连结，使．
(2)在图②中的线段上找一点，连结，使．
(3)在图③中的内部找一点，连结、，使．
18．某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下：
a．每天在校体育锻炼时间分布情况：
b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是：
80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中______，______；
(2)若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数；
(3)该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______．
19．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点出发，途经点后到达山顶，其中米，米，且段的运行路线与水平方向的夹角为，段的运行路线与水平方向的夹角为，求垂直高度．（结果精确到米，参考数据：，，）

20．如图，是等腰直角三角形．，点为的中点，与相切于点，连接交于点．
(1)判断所在直线与的位置关系，并说明理由．
(2)若的半径为2，求的长．（结果保留）
21．已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为．
(1)从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系．
与的几组数据如下表所示：
根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式．
(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上．
22．三角形的中位线是非常重要的数学概念，其性质及应用蕴含着丰富的数学思想方法，可以解决诸多数学问题．

图① 图② 图③
(1)如图①，在中，点D、E分别为、的中点．连结，则线段与的位置关系与数量关系分别为_____，_____．
(2)如图②，在四边形中，点E、F、G、H分别为、、、的中点．连结、，且，求四边形的周长．
(3)如图③，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，点是坐标平面内一点，且．点是线段的中点，连结，则线段长度的最大值为_______．
23．如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形．设．
(1)的长为_____________．
(2)求线段的长．（用含x的代数式表示）
(3)当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围．
(4)连结，当所在直线将正方形的面积分成1：2两部分时，直接写出的值．
24．在平面直角坐标系中，二次函数（b、c为常数）的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，求的取值范围．
(3)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式．
(4)点在直线上运动，若在坐标平面内有且只有两个点使为直角三角形，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，，
∴，
∴点B表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
2．A
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
根据正方体的平面展开图的特点进行判断作答即．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
∴“范”字对面的字是“文”，
故答案为：文．
3．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：亿年年年，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案．
【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形，
∴（米），
∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】根据位似的性质，连接并延长，观察交点即可求解．
【详解】解：如图所示，连接并延长，

∴的位似图形是．
故选：C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长为5，再求得小正方形边长为1，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案．
【详解】解：∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴大正方形边长为5，小正方形边长为1，
∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为，
∴在一个直角三角形中应用勾股定理：，
解得：，
∴长直角边长为，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】根据题意连接，利用圆周角定理得，再得出，从而判定是等腰三角形，借助条件得，利用内角和定理即可得出的度数．
【详解】解：连接，
，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定及性质，三角形内角和定理，圆内接四边形对角互补．
8．C
【分析】本题考查抛物线与x轴交点．根据题意由点的横坐标为2，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，且的横坐标为0，从而可得的横坐标为．继而可得对称轴是直线，从而的横坐标为，故可得的长．
【详解】解：∵点的横坐标为2，点关于点的对称点恰好落在抛物线上，且的横坐标为0，
∴的横坐标为，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴的横坐标为，
∴，
故选：C．
9．##
【分析】本题考查因式分解．根据题意运用完全平方公式将本题因式分解即可得到本题答案．
【详解】解：，
故答案为：．
10．##
【分析】本题考查了列代数式．理解题意是解题的关键．
分别表示出买5支中性笔和3支铅笔的总价，然后求和即可．
【详解】解：由题意知，买5支中性笔和3支铅笔共需元，
故答案为：．
11．0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有实数根，则是解题的关键．根据，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，，
∴的值可以是0，
故答案为：0．
12．
【分析】先证明，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
13．
【分析】本题考查等腰直角三角形三边关系，圆周角和圆心角关系．根据题意连接，利用在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以得到，再利用等腰直角三角形三边关系即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵的半径为3，即，
∴，
故答案为：．
14．13
【分析】本题考查了二次函数几何综合，数形结合是关键．设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可．
【详解】解：设点，
∴．
又抛物线的对称轴是直线，
∴C的横坐标为．
∴．
∴矩形的周长．
∴当时，周长L有最大值13．
故答案为：13．
15．，
【分析】本题考查解一元二次方程．根据题意利用公式法解方程，即可得到本题答案．
【详解】解：，
，，，
，
，
，．
16．树状图见详解，
【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率．根据题意画出树状图即可得到本题答案．
【详解】解：画树状图如下：
，
设：小明和小亮选择相同模块的事件为A，
由树状图可知，共分为种情况，
选择相同模块的情况为：，共3种情况，
∴，
故答案为：．
17．(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】(1)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则；
(2)取格点，连接交于点，连接，可证明，得，则，所以；
(3)解法一∶取的中点及格点，连接交于点，连接，再取格点，连接，则，所以，则， 所以，则；
解法二∶取格点，连接交于点，连接，再连接，则，所以，得，则，所以．
【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶ 连接，则，．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点D及就是所求的图形；
（2）解：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶ 连接，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点及就是所求的图形；
（3）解：解法一∶ 如图，取的中点及格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由∶
由（1）图知：，
∴，
∴点为格点，
再取格点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴点及就是所求的图形；
解法二：如图，取格点，连接交于点，连接，
，
点及就是所求的图形，
理由：连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点及就是所求的图形．
【点睛】本题考查全等三角形判定及性质，三角形面积公式，相似三角形判定及性质，平行线性质，灵活运用所学知识是关键．
18．(1)，
(2)人
(3)86（答案不唯一）
【分析】（1）根据所有组别的频率之和为1求出m即可；用组别的频数除以频率得到参与调查的学生人数，进而求出n的值即可；
（2）用1000乘以样本中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比即可得到答案；
（3）把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，找到处在第75名和第76名的锻炼时间即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
人，
∴这次参与调查的学生人数为100人，
∴，
故答案为：，；
（2）解：人，
∴估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为人；
（3）解：把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，处在第75名和第76名的锻炼时间分别为，
∵要使的学生得到表扬，
∴，
∴p的值可以为86，
故答案为：86（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了频率与频数分布表，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
19．垂直高度约为米
【分析】过点作于，作于，则四边形为矩形，在中利用正弦函数求出长度，在中，，可以求出长度，即可求出．
【详解】解：过点作于，作于，则四边形为矩形，

，
在中，，，
则（米），
米，
在中，，米，
则米，
米．
答：垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答时需要过点作于，作于，然后根据特殊四边形和直角三角形中的边角关系进行计算．
20．(1)相切，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据题意连接，过点作于点，利用等腰三角形性质及切线性质判定出本题答案；
（2）由（1）得，再利用等腰三角形性质及弧长公式即可得到本题答案．
【详解】（1）解：所在直线与相切，证明如下：
如图，连接，过点作于点，
，
是等腰直角三角形，为的中点，
，
与相切，
，
，
，
所在直线与相切；
（2）解：，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，切线的判定及性质，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式．
21．(1)
(2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量值．
（1）根据题意将代入函数解析式即可得到，再回代函数即可得到本题答案；
（2）根据题意将代入中求得的值，再令求出的值与桌面总长比较即可．
【详解】（1）解：∵乒乓球离桌面竖直高度的最大值为，
∴设：，将代入，
即：，解得，
，
故答案为：；
（2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下：
∵由（1）得
∵离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，
∴将代入中，
即：，解得：（舍去）或，
∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，他的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，
∴令，即，解得：或（舍去），
∵，
乒乓球再次落下时仍落在球桌上，
故答案为：乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
22．(1)，
(2)12
(3)
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可求解；
（2）根据三角形中位线的判定与性质求出，，据此求解即可；
（3）以为圆心，的长为半径作，在点的左侧，取，连接，当三点共线时，应用三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】（1）解：∵点D、E分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：点E、F、G、H分别为、、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∵
∴，，，，
∴四边形的周长，
故答案为：；
（3）解：∵点A、B的坐标分别为，
∴，
以为圆心，的长为半径作，在点的左侧，取，连接，

∵，
∴点在上，
∵，
∴是的中位线，
∴，
当最大时，最大，
当三点共线时，最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了图形与坐标的性质，勾股定理、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质，确定为最大值时点的位置是解题的关键，也是难点．
23．(1)
(2)
(3)和
(4)和
【分析】（1）根据题意在中应用勾股定理即可得到本题答案；
（2）根据题意可知分两种情况讨论，当时和分别求出的长即可；
（3）分别计算和在上时点的值，当正方形与重叠部分的图形为四边形时，存在两种情况，分别根据两种情况可得结论；
（4）分两种情况∶在点的左侧和右侧，①点在边上，此时，根据所在直线将正方形的面积分成两部分列方程可解答；②当在的延长线上时，此时，同理根据面积比列方程可解答．
【详解】（1）解：∵，，，
∴在中应用勾股定理，，
故答案为：；
（2）解：∵点在边上运动，点关于点的对称点为点，，
∴分两种范围：
当时，．
当时，，
故答案为：；
（3）解：当点落在上时，（如图①）
，
，即，解得．
当点落在上时，（如图②）
，
，即，解得．
综上所述，当和时，正方形与重叠部分的图形为四边形；
（4）解：分两种情况：
当点在边上时，如图③：
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵所在直线将正方形的面积分成两部分，
∴或，
∴或，
解得：（舍），，（舍）；
②当在的延长线上时，如图④，
，
由图可知：，，
∵所在直线将正方形的面积分成两部分，
∴或，
∴或，
解得：（舍），，（舍）；
综上所述：当所在直线将正方形的面积分成两部分，的值是和，
故答案为：和．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，三角形和正方形的面积，三角函数等知识，解题的关键是分情况讨论，作出对应的图形方便求解．
24．(1)
(2)
(3)
(4)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下，y的最大值为4，离对称轴越远函数值越小，再分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质求出对应范围内的最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差值为1可得答案；
（3）分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应范围内的最大值和最小值，再用最大值减去对应的最小值即可得到答案；
（4）如图所示，设直线，直线，的中点为C，则，由题意得当点P在直线或在直线上或者在以C为圆心，为直径的圆上时都能保证为直角三角形，由于直线与直线，与直线分别有1个不同的交点，要想保证在坐标平面内有且只有两个点使为直角三角形，则当直线与没有交点时或直线刚好经过点A或点B时满足题意；当直线刚好经过点B时，即此时，此时有，即点P在原点或在点F处时满足题意；当直线刚好经过点A时，即此时，此时有，即点P在或在点处时满足题意；当直线刚好与相切时，先求出，则，可得，进而得到，解得或，故当或时，直线与没有交点，即此时直线只与直线和直线的两个交点符合题意，据此可得答案．
【详解】（1）解：把、代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向下，y的最大值为4，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，则当时，二次函数的最小值为，
∵此时二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴此时二次函数的最大值为4，即此时在对称轴处取值最大值，
∴此种情况不成立；
当时，则，
∴当时二次函数的最大值为4，
∴当时二次函数的最小值为3，
∴，即，
综上所述，；
（3）解：当时，
∴当时，函数有最小值，即，
当时，函数值有最大值4，
∴；
当时，
∴当时，函数有最小值，即，
当时，函数值有最大值4，
∴；
当时，
∴当时，函数有最大值，即，
当时，函数有最小值，即，
∴；
综上所述，
（4）解：如图所示，设直线，直线，的中点为C，
∴，
∵为直角三角形，
∴当点P在直线或在直线上或者在以C为圆心，为直径的圆上时都能保证为直角三角形，
∵点在直线上运动，且在坐标平面内有且只有两个点使为直角三角形，
∴直线与直线，与直线，与的交点个数之和为2，
∵，
∴直线与直线，与直线分别有1个不同的交点，
∴当直线与没有交点时或直线刚好经过点A或点B时满足题意，
当直线刚好经过点B时，即此时，此时有，即点P在原点或在点F处时满足题意；
当直线刚好经过点A时，即此时，此时有，即点P在或在点处时满足题意；
当直线刚好与相切时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴当或时，直线与没有交点，即此时直线只与直线和直线的两个交点符合题意；
综上所述，或或或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
每天在校体育锻炼时间x（）
频数（人）
百分比
14
40
m
35
n
水平距离（cm）
0
40
80
120
160
180
竖直高度（cm）
18
42
50
42
18
0