湖南省长沙市长沙县2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析

这是一份湖南省长沙市长沙县2023_2024学年高一数学上学期期末检测试卷含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合,,则（）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的补集运算计算即可.
【详解】因为集合，
所以.
故选:A.
2. 函数的零点所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断单调性,再根据零点存在定理将端点值代入,即可判断零点所在区间.
【详解】解:由题知,
由于均为单调递增,
所以随着的增大也增大,故在单调递增,
,
根据零点存在定理,
零点在区间内.
故选:C
3. “”是“”的 （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：，故正确答案是充分不必要条件，故选B.
考点：充分必要条件.
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定义即可得到方程，解出即可.
【详解】由题意得，解得，
故选：B.
5. 已知正数满足，则的最小值为（）
A. 5B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先乘以，然后根据基本不等式求解；
【详解】因为，
则，
当且仅当，即时取等号,
故选：．
6. 已知不等式的解集为或，则下列结论错误的是（）
A. B.
C. D. 的解集为或
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次不等式的解集可得对应二次函数的开口，即可判断A；由已知可得，可判断BC；根据二次不等式可得对应方程的根，利用韦达定理可解的解集，判断D.
【详解】不等式的解集为或，则函数开口向下，故，A正确；
不等式的解集为或，则对于函数，有，，B，C正确；
不等式的解集为或，即方程的解为，
则，且，
即为，
，解得，故D错误.
故选：D.
7. 已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据的解析式判断出在上为减函数，从而得，求解即可．
【详解】解：因为当时，为减函数，
又因为在上为单调函数，
所以只能为单调递减函数，
当时，一次函数单调递减，
当时，指数函数，
所以将代入得：，
又因为在上为单调递减函数，
所以，
解得：，
故选：D．
8. 设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰好有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知及奇偶性求的周期和解析式，根据指对数性质画出与在内的图像，由交点情况确定参数范围.
【详解】∵对都有，
∴，即的周期为4，
∵当时，，
∴当时，则，
∵是偶函数，
∴当时，
∵，
∴，
∴作出在区间内的图像如下：
∵在内关于的方程恰好有三个不同的实数根，
∴与在内有三个不同的交点，
∴只需满足在的下方，过或在其上方，即，
∴.
故选：D
二、多选题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的a的值为（）
A. 1B. C. 3D. 2
【答案】AC
【解析】
【分析】根据幂函数的性质分析可得.
【详解】因为的值域为R，所以，
又因为为奇函数，所以.
故选：AC
10. 设a，bR，则下列结论正确的是（）
A. 若a＞b＞0，则B. 若a＜b＜0，则
C. 若a＋b＝2，则≥4D. 若，则a＞b
【答案】AC
【解析】
【分析】
由不等式的性质可得A正确，通过举反例可得BD错误，利用基本不等式可得C正确.
【详解】选项A显然正确；
选项B，a＝﹣2，b＝﹣1代入即可验证，不等式不成立，故B错误；
选项C，，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”，故C正确；
选项D，a＝﹣1，b＝满足，不符合a＞b，故D错误.
故选：AC
11. 下列说法正确的是（）
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数与的图象关于对称
C. 为奇函数
D. 函数单调递增区间为，
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可；
【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；
函数与互为反函数，
故其图象关于对称，故B正确；
因为，可求得定义域为关于原点对称，
又，故函数为奇函数，故C正确；
因为，
所以函数的单调递增区间为，和，故D正确．
故选：BCD．
12. 若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意x，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有 ，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是（ ）
AB.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据“理想函数”的定义可判断出函数应具有的性质，即为奇函数且在定义域上单调递减，由此一一判断各选项中的函数是否具有这两个性质，即可得答案.
【详解】由题意知对于定义域内的任意x，有，则为奇函数；
对于定义域内的任意，当时，有，为定义域内的减函数；
对于A，的定义域为R，函数为偶函数，不符合题意；
对于B，的定义域为R，函数为奇函数，在R上单调递减，符合题意；
对于C，定义域为，
在上均单调递增，
函数图象在处是不连续的，故在定义域上函数不是减函数，不符合题意；
对于D，，作出其图象如图示：
可知该函数在定义域上为奇函数，且单调递减，符合题意，
故选：BD
第Ⅱ卷非选择题（共 90 分）
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．
13. _____________．
【答案】
【解析】
【分析】由于，进而结合诱导公式求解即可.
【详解】由诱导公式可得．
故答案为：.
14. 当且时，函数的图象一定经过定点___________
【答案】
【解析】
【分析】令可求出定点.
【详解】令，可得当时，，所以图象一定经过定点.
故答案为：.
15. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可.
【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是，
扇形COD的面积是．
则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．
故答案为：
16. 函数的图象如图，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据图象可确定最小正周期，由此可得，由此可求得结果.
【详解】由图象可知：最小正周期，，
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算性质化简可得结果；
（2）利用对数的运算性质化简可得结果.
【小问1详解】
解：原式.
【小问2详解】
解：原式.
18. 集合.
（1）当时，求；
（2）问题：已知______，求的取值范围.
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
①；②；③.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先解得，再根据集合的并集计算即可；（2）分，两种情况解决即可.
【小问1详解】
由题知，，
因为，解得，
所以，
当时，，
所以.
【小问2详解】
选①或②，由题知，
由（1）得，，
由题得，，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，或.
选③，
当时，，解得，
当时，，或，解得，或，
综上，或.
19. 已知函数（为常数）.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在上有最小值1，求的值.
【答案】（1）最小正周期，单调增区间：（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得的单调递增区间，利用周期公式可得最小正周期；
（2）根据上，求出的范围，结合三角函数的性质可得最小值，即可求解的值．
详解】解：已知函数，
则，
化简可得：，
（1）最小正周期为：，
由，，
解得：，，
单调增区间，；
（2）由题意：时，，
，
当时，最小值为，
解得：，
故在上有最小值1，的值为2．
【点睛】本题考查根据三角函数的图象和性质求出函数的单调性和最值，涉及利用二倍角正弦公式和余弦公式、以及辅助角公式进行化简，考查运算能力．
20. 2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出问题，在谈到环境保护问题时，他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山．”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，n（且）年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第n（且）年年底，该项目的纯利润（纯利润＝累计收入－累计维修保养费－投资成本）为万元．已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元．
（1）求实数k的值．并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
（2）到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润＝纯利润÷年数）最大？并求出最大值．
【答案】（1）8，第4年；
（2）到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元.
【解析】
【分析】（1）由题可得，再结合条件即得；
（2）由题可求年平均利润为，然后利用对勾函数的性质即得.
【小问1详解】
依题意可得，，
∵已知，
∴，
∴（且）．
令，解得．
∵，
∴该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元．
【小问2详解】
年平均利润为，
令（且），
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又∵，，
∴．
∴到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元．
21. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过分别作于，于.
（1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示两点的坐标；
（2）求四边形的面积的最大值.
【答案】（1）建系答案见解析，点坐标为，点的坐标为；（2）最大值为.
【解析】
【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标；
（2）把四边形的面积表示出的函数，利用三角函数求最值即可.
【详解】解：（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，
，圆的半径为，
点坐标为，
点的坐标为，
坐标为.
（2）四边形的面积
，
当时，即时，，
四边形的面积的最大值为.
22. 若对定义域内任意，都有，则称函数为“隔断”增函数，称隔断距离.
（1）若是“隔断”增函数，求隔断距离的取值范围；
（2）若，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为2，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意转化为一元二次不等式恒成立问题，利用根的判别式进行求解；（2）根据题意转化为，分与讨论得到答案.
【小问1详解】
，因为是“隔断”增函数，
所以恒成立，由，所以；
所以隔断距离的取值范围是；
【小问2详解】
因为，其中，且为“隔断”增函数，隔断距离为2，即时，
恒成立，所以，
当时，即，
当时，，所以，