湖南省长沙市2023_2024学年高一数学上学期期末考试题含解析

这是一份湖南省长沙市2023_2024学年高一数学上学期期末考试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故选：C.
2. 函数定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式和偶次根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果.
【详解】由题意得：得：且，定义域为.
故选：C.
3. 将化为的形式是（）
AB.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由终边相同的角的概念求解即可.
【详解】由知.
故选：B.
4. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式性质，结合特殊值法，即可判断选项正误.
【详解】A中，有，错误；
B中，时，成立，正确；
C中，时，，错误；
D中，由题设，当时，，错误；
故选：B
5. 函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，，D. ，，，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
6. 若角，均为锐角，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及差角的正弦公式计算作答.
【详解】角，均为锐角，即，而，则，又，则，
所以，.
故选：B
7. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，若P点坐标为（0，1），则（）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出和g(x)=x﹣1的图象，所有交点从左到右依次记为A1，A2，A3，A4，A5根据为的一个对称点，得到关于对称，关于对称，再用中点坐标公式得到求解.
【详解】由题意作出图象如图，共得5个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，
和，和关于对称，，
，
∴.
故选：A.
8. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，由单调性的定义可判断得在上单调递增，再将题设不等式转化为，利用的单调性即可求解.
【详解】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果．
【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，
∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4，
∴实数a的值可以是4，5，6．
故选：BCD．
10. 若，，，，则下列各式中，恒等的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对数的运算法则、换底公式逐一判断得解.
【详解】因为，，，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，当时，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：BD
11. 下列说法正确的是（）
A. 向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B. 若，则存在唯一实数使得
C. 已知，则与的夹角为锐角的充要条件是
D. 在△ABC中，D为BC的中点，若，则是在上的投影向量
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量共线和必要不充分条件定义可判断A；根据向量共线的充要条件可判断B；根据向量夹角的坐标运算可判断C；由平面向量加法和的平分线表示的向量平行的向量可得为的平分线，又因为为的中线可判断 D.
【详解】对于A选项：A，B，C，D四点共线向量与共线，反之不成立，所以A正确；
对于B选项：当，时，不存在实数使得，当，时，存在无数个实数使得，故B错误；
对于C选项：因为，，所以，则与的夹角为锐角的充要条件是且与不同向共线，
即，且，
解得，则实数取值范围是，故C正确；
对于D选项：由平面向量加法可知：为“与的平分线表示的向量平行的向量”因为，所以为的平分线，又因为为的中线，所以，所以是在的投影向量，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 函数的图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）
A. 函数的最大值为3B. 函数关于点对称
C. 函数在上单调递减D. 函数的最小正周期为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象求出函数，进而求出，再借助余弦函数的图象和性质，逐项判断即可.
【详解】观察图象知，，函数的周期有，，即，则，
显然，则，即，
因此，，
函数的最大值为3，A正确；
，B错误；
，，函数在上单调递增，C错误；
函数的最小正周期为，D正确.
故选：AD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 命题“，”否定是_________.
【答案】，.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定写出结论即得.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”否定是：，.
故答案为：，.
14. 若是R上的减函数，则实数a的取值范围为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】分段函数单调递减，则每一段均为递减函数，且在分段处，左边的函数值大于等于右边的函数值，从而得到不等式组，求出实数a的取值范围.
【详解】由题意得：，解得：，
故实数a的取值范围为.
故答案为：.
15. 把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.
【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，
可得的图象，再向左平移个单位，
所得图象的解析式为，
即.
故答案为：
16. 若，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用齐次式法列式，求解方程即得.
【详解】由，得，即，整理得，
所以或.
故答案为：或
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，.
（1）当时，求与；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入求出集合，再利用交集、并集的定义求解即得.
（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得.
【小问1详解】
当时，，而，
所以，.
【小问2详解】
由，得，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的最大值与最小值．
【答案】（1），
（2）最大值，最小值-2，
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式化简，利用整体换元法即可求解增区间，
（2）由二倍角公式和辅助角公式化简，由整体法即可求解最值.
【小问1详解】
由于,故，解得，,故函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
当时，，故当时，取最小值-2，当时，取最大值.
19. 已知函数（）是奇函数,是偶函数.
（1）求;
（2）判断函数在上的单调性并说明理由;
（3）若函数满足不等式,求出的范围.
【答案】（1）3;（2）单调递增,理由见解析;
（3）.
【解析】
【分析】(1)根据奇偶性的定义将点代入求出即可;
(2)先判断单调性,再用单调性定义证明,注意变形时需要变到几个因式乘积;
(3) 根据的奇偶性,将不等式化为,再根据的单调性及定义域写出范围解出即可.
【小问1详解】
解:由题知（）是奇函数,
,
是偶函数,
,
,
,
故;
【小问2详解】
在上的单调递增,理由如下:
由(1)知,
任取,
,
,
,
故在上的单调递增;
【小问3详解】
由(1)(2)知是奇函数且在上的单调递增,
,
,
,
故.
20. 某科技企业决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本（万元），当年产量不足80台时，，当年产量不小于80台时，，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润.
【答案】20. ；
21. 90台，1500万元.
【解析】
【分析】（1）考虑和两种情况，根据计算得到答案.
（2）利用二次函数性质和均值不等式依次计算分段函数的最值，比较得到答案.
【小问1详解】
当，时，
；
当，时，，
所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式是.
【小问2详解】
当，时，，当时，最大值为；
当，时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以当时，有最大值为.
21. 已知向量，，函数
，.
（1）若的最小值为-1，求实数的值；
（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用向量数量积的公式化简函数即可．
（2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．
试题解析：
（1）∵，
，
∴，
∵∴，
，令，
∴∵，对称轴为，
①当即时，当时，∴舍，
②当即时，当时，∴，
③当即是，当时，∴舍，
综上，.
（2）令，即，
∴或，∵，有四个不同的零点，
∴方程和在上共有四个不同的实根，
∴∴∴.
22. 已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，所以，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，∴，即，所以，
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；