2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,6}，B={5,6,7,8}，则A∪B=( )
A. {1,5,6,7,8}B. {1,5,6,8}C. {6,6}D. {6}
2.函数y=2x−1的零点是( )
A. 0B. (0,−1)C. 12D. (12,0)
3.已知a∈R，则a>6是a2>36的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P(2,y)，且sinα=− 55，则y=( )
A. 1B. −1C. ±1D. 2
5.已知0A. B. C. D.
6.已知正数x，y满足x2+y=1，则1x+2y的最小值为( )
A. 5B. 92C. 4D. 72
7.若函数f(x)=ax,(x>1)(4−a2)x+2,(x≤1)是R上的单调函数，则实数a取值范围为( )
A. (1,+∞)B. (1,8)C. (4,8)D. [4,8)
8.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>3}，则下列结论错误的是( )
A. a<0
B. a+b+c>0
C. cx2−bx+a<0的解集为{x|x<−13或x>1}
D. c>0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各式正确的有( )
A. ln(lg10)=0B. lg2+lg5=1
C. 若10=lgx，则x=10D. 若lg25x=12，则x=5
10.下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是( )
A. y=|csx|B. y=sin2xC. y=sin(2x+π2)D. y=cs12x
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2<−1”
B. 函数f(x)=2lg4x与g(x)=2x的图象关于y=x对称
C. f(x)=ln(1−x1+x)为奇函数
D. 函数f(x)=x2−2|x|+5单调递增区间为[−1,0]，[1,+∞)
12.已知函数f(x)=2x1+|x|+1(x∈R)，则下述结论正确的是( )
A. f(x)为奇函数
B. f(x)的图象关于(0,1)对称
C. f(x)在R内是单调增函数
D. 关于x的不等式f(x)+f(x−2)>2的解集为(1,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.cs(−17π3)=______.
14.若不等式−x2+ax+4a≤0在R上恒成立，则实数a的取值范围是______.
15.当a>0且a≠1时，函数y=ax−2+4的图象一定经过定点__________.
16.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB=2π3，OA=3OC=3，则扇面(曲边四边形ABDC)的面积是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算下列各式的值：
(1)3(−4)3−(12)0+0.2512×(−1 2)−1；
(2)lg52+2lg2−lg24+eln2.
18.(本小题12分)
集合A={x||2x−1|≤7}，B={x|2k−2(1)当k=2时，求：A∪B；
(2)已知A∪B=A，求k的取值范围.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 32sin2x+12cs2x+1.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.
20.(本小题12分)
为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为x米，如图所示．
(1)将两个养殖池的总面积y表示为x的函数，并写出定义域；
(2)当温室的边长x取何值时，总面积y最大？最大值是多少？
21.(本小题12分)
如图，AB为半圆的直径，AB=2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP=θ，0∘<θ<90∘，将射线OP绕O逆时针旋转90∘到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N.
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
(Ⅱ)求四边形PQNM的面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=b⋅ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24).
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若不等式(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={1,6}，B={5,6,7,8}，
则A∪B={1,5,6,7,8}.
故选：A.
由集合并集的定义：A∪B={x|x∈A或x∈B}可得答案．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：令y=2x−1=0，解得x=12，∴12是函数的零点．
故选：C.
令2x−1=0解出x即为函数的零点．
本题考查了函数零点的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．
求解a2>36，得出a>6或a<−6，根据充分必要的定义判断即可得出答案．
【解答】解：①先看充分性：
∵a>6，
∴a2>36，
∴充分性成立，
②再看必要性：
∵a2>36，
∴a>6或a<−6，
∴必要性不成立，
∴a>6是a2>36的充分不必要条件，
故选：A.
4.【答案】B
【解析】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若角α终边有一点P(2,y)，且sinα=− 55，
即y 22+y2=− 55，解得y=−1.
故选：B.
由题意，根据正弦定义即可得到方程，解出即可．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：当0f(x)=a−x=(1a)x在R上单调递增，
∴对应的图形为D，
故选：D.
根据指数函数和对数函数的单调性和a的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用指数函数和对数函数单调性的性质是解决本题的关键，比较基础．
6.【答案】B
【解析】解：因为x2+y=1，
则(1x+2y)(x2+y)=52+yx+xy≥52+2 yx⋅xy=92，
当且仅当yx=xy，即x=y=23时取等号．
故选：B.
利用“1”的代换思想，根据基本不等式求解即可．
本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的单调性问题，分段函数的单调性必须先保证每段函数单调，同时端点处的函数值也存在对应的大小关系．
要使函数f(x)R上的单调函数，则必须保证分段函数分别单调，对于端点处的函数值存在一定的大小关系．
【解答】
解：①若函数f(x)单调性递增，
则满足{a>14−a2>0a⩾4−a2+2,即{a>1a<8a⩾4，解得4≤a<8.
②若函数f(x)单调性递减，
则满足{08a⩽4，此时无解．
综上实数a取值范围为：4≤a<8.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】解：由题意知，−1和3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，
∴−1+3=−ba，(−1)×3=ca，
∴b=−2a，c=−3a，
∵a<0，∴b>0，c>0，即选项A和D正确；
∵1∉{x|x<−1或x>3}，
∴a+b+c>0，即选项B正确；
不等式cx2−bx+a<0可化为a(3x+1)(x−1)>0，
∵a<0，∴−13故选：C.
由题意知，−1和3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，再利用韦达定理，得出b=−2a，c=−3a，从而判断选项A和D；由1∉{x|x<−1或x>3}，可判断选项B；将b=−2a，c=−3a代入不等式cx2−bx+a<0，解之，可判断选项C.
本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由于ln(lg10)=ln1=0，故A正确；
lg2+lg5=lg10=1，B正确；
若10=lgx，则x=1010，则C不正确；
若lg25x=12，则x=5，故D正确．
故选：ABD.
根据对数的运算性质即可求出．
本题考查了对数的运算性质，考查了运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，定义域为R，因为f(−x)=|cs(−x)|=|csx|=f(x)，
所以函数为偶函数，因为y=|csx|的图像是由y=csx的图像在x轴下方的关于x轴对称后与x轴上方的图像共同组成，
所以y=|csx|的最小正周期为π，所以A正确，
对于B，定义域为R，因为f(−x)=sin(−2x)=−sin2x=−f(x)，
所以函数为奇函数，所以B错误，
对于C，定义域为R,f(x)=sin(2x+π2)=cs2x，最小正周期为π，
因为f(−x)=cs(−2x)=cs2x=f(x)，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于D，定义域为R，最小正周期为2π12=4π，所以D错误，
故选：AC.
直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可．
本题考查三角函数的周期，考查学生的运算能力及分析能力，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：因为命题“∀x∈R，x2>−1”的否定是“∃x∈R，x2≤−1”，故A错误；
函数f(x)=2lg4x=lg2x与g(x)=2x互为反函数，
故其图象关于y=x对称，故B正确；
因为f(x)=ln(1−x1+x)，可求得定义域为(−1,1)关于原点对称，
又f(−x)=ln(1+x1−x)=−ln(1−x1+x)=−f(x)，故函数为奇函数，故C正确；
因为f(x)=x2−2|x|+5=x2−2x+5,x≥0x2+2x+5,x<0，
所以函数的单调递增区间为[−1,0]，和[1,+∞),故D正确．
故选：BCD.
对于A，根据命题与命题的否定直接判断即可；对于B，根据互为反函数的两个函数图象关于原点对称判断即可；对于C，根据奇函数定义判断即可；对于D，根据二次函数单调性判断即可；
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：f(−1)=0，f(1)=2，显然不满足f(−1)=−f(1)，即f(x)不是奇函数，A错误；
因为f(x)+f(−x)=−2x1+|−x|+1+2x1+|x|+1=2，
故函数f(x)的图象关于(0,1)对称；B正确；
当x≥0时，f(x)=2x1+x+1=3−2x+1单调递增，根据函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，C正确；
由f(x)+f(x−2)>2可得f(x−2)>2−f(x)=f(−x)，
所以x−2>−x，
解得x>1，D正确．
故选：BCD.
由已知结合函数的奇偶性，对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性，对称性的判断及应用，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】解：cs(−17π3)=cs17π3=cs(6π−π3)=csπ3=12.
故答案为：12.
直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可．
本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力．
14.【答案】{a|−16≤a≤0}
【解析】解：根据条件−x2+ax+4a≤0可以转化为x2−ax−4a≥0，
不等式−x2+ax+4≤0在R上恒成立，等价于x2−ax−4a≥0在R上恒成立，
只需满足，Δ=a2−4×(−4a)≤0，解得−16≤a≤0，
综上可得，a的取值范围为{a|−16≤a≤0}.
故答案为：{a|−16≤a≤0}.
由题意知x2−ax−4a≥0在R上恒成立，只需Δ≤0，解得a的取值范围．
本题主要考查了由二次不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于基础题．
15.【答案】(2,5)
【解析】【分析】
本题考查指数函数过定点问题，属于基础题．
利用指数函数的性质求解．
【解答】
解：令x−2=0得，x=2，此时y=a0+4=1+4=5，
∴函数y=ax−2+4的图象一定经过定点(2,5)，
故答案为：(2,5).
16.【答案】8π3
【解析】解：扇形AOB的面积S1=12×2π3×32=3π，
扇形COD的面积S2=12×2π3×12=π3；
故扇面(曲边四边形ABDC)的面积S=S1−S2=3π−π3=8π3.
故答案为：8π3.
直接利用扇形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：扇形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=−4−1+12×(− 2)
=−5− 22；
(2)原式=lg52+lg4−2+2=lg10−2+2=1.
【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题知，A={x|2x−1|≤7}，B={x|2k−2因为|2x−1|≤7，
解得−3≤x≤4，
所以A={x|−3≤x≤4}，
当k=2时，B={x|2所以A∪B={x|−3≤x<5}；
(2)由题知B⊆A，
由(1)得，A={x|−3≤x≤4}，B={x|2k−2当B=⌀时，2k−2≥k+3，解得k≥5，
当B≠⌀时，2k−2综上所述，k的取值范围为{k|k≥5或−12≤k≤1}.
【解析】(1)先求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解；
(2)由A∪B=A可得B⊆A，再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论，分别求出k的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由f(x)= 32sin2x+12cs2x+1得f(x)=sin(2x+π6)+1，
所以T=2π2=π；
(2)由(1)知f(x)min=−1+1=0，此时2x+π6=−π2+2kπ，即x=−π3+kπ,k∈Z，
故x的集合为
【解析】(1)利用辅助角公式化简，结合正弦函数的周期公式即可求得答案；
(2)根据正弦函数的性质即可求得答案．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)依题意得温室的另一边长为1500x米．
因此养殖池的总面积y=(x−3)(1500x−5)，
因为x−3>0，1500x−5>0，所以3所以定义域为{x|3(2)y=(x−3)(1500x−5)=1515−(4500x+5x)
≤1515−2 4500x⋅5x
=1515−300=1215，
当且仅当4500x=5x，即x=30时上式等号成立，
当温室的边长x为30米时，总面积y取最大值为1215平方米．
【解析】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．
(1)依题意得温室的另一边长为1500x米．求出养殖池的总面积y=(x−3)(1500x−5)，然后求解函数的定义域即可．
(2)y=(x−3)(1500x−5)=1515−(4500x+5x)，利用基本不等式求解函数的最值即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵∠BOP=θ，圆的半径为1，∴点P坐标为(csθ,sinθ).
∵将射线OP绕O逆时针旋转90∘到OQ，点Q的坐标为(cs(θ+π2),sin(θ+π2))，即Q坐标为(−sinθ,csθ).
(Ⅱ)由题意，MN=OM+ON=csθ+sinθ，MP=sinθ，QN=csθ，
四边形PQNM的面积S=12×MN×(PM+QN)=12(csθ+sinθ)×(csθ+sinθ)=12(1+sin2θ)，
∵0∘<θ<90∘，∴0∘<2θ<180∘，
∴当2θ=90∘时，即θ=45∘时，Smax=1，
∴四边形PQNM的面积的最大值为1.
【解析】(Ⅰ)建立坐标系，由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得P，Q两点的坐标．
(Ⅱ)先求得MN、PM、QN的值，再根据梯形的面积公式，二倍角公式，化简梯形的面积，再根据正弦函数的定义域和值域，求出四边形PQNM的面积的最大值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，梯形的面积公式，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22.【答案】解：(I)由题意得a⋅b=6b⋅a3=24，∴a=2，b=3，…(2分)
∴f(x)=3⋅2x…(4分)
(II)设g(x)=(ab)x=(23)x，则y=g(x)在R上为减函数．…(7分)
∴当x≤1时gmin(x)=g(1)=23，…(9分)
∵(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立，…(10分)
∴g(x)min≥2m+1，…(11分)
∴2m+1≤23，∴m≤−16
∴m的取值范围为：m≤−16.…(12分)
【解析】(I)将点的坐标，代入函数解析式，即可求得f(x)的解析式；
(II)求出g(x)=(ab)x=(23)x在x∈(−∞,1]上的最小值，不等式(ab)x≥2m+1在x∈(−∞,1]上恒成立，转化为g(x)min≥2m+1，从而可求实数m的取值范围．
本题考查函数解析式的确定，考查恒成立问题，求出函数的最值是关键．