2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年重庆市巴蜀中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线y= 3x+1的倾斜角为( )
A. 60°B. 30°C. 45°D. 120°
2.已知直线l1：x+y+5=0，l2：x+y+1=0，则l1与l2的距离为( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
3.已知A(−1,0)、B(3,6)，则以AB为直径的圆的一般方程为( )
A. x2+y2−2x−6y+3=0B. x2+y2−2x−6y−3=0
C. x2+y2+2x−6y+3=0D. x2+y2+2x−6y−3=0
4.已知直线l1：ax+y+1=0，l2：2x+(1−a)y−3=0，若l1⊥l2，则实数a=( )
A. 1+ 52B. 1− 52C. −1D. −2
5.已知动点P在椭圆C：y24+x23=1上，F(0,−1)，D(3,−3)，则|PD|−|PF|的最小值为( )
A. 5B. 13C. 2D. 1
6.已知直线l：y=12x+1与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A、B，且AB的中点为M(−1,12)，则椭圆C的离心率为( )
A. 33B. 32C. 22D. 12
7.已知点A、B在圆O：x2+y2=16上，且AB的中点M在圆C：(x−2)2+y2=1上，则弦长|AB|的最小值为( )
A. 2 3B. 2 7C. 4 2D. 2 15
8.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，若直线kx−3y+(k+8)c=0恒与椭圆Γ有两个不同的公共点，则椭圆Γ的离心率范围为( )
A. (0,13)B. (0,12)C. (13,1)D. (12,1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知△ABC的三个顶点A(2,−1)，B(−2,7)，C(−2,1)，则下列描述正确的有( )
A. 直线BC的倾斜角不存在
B. 直线AB的斜率为−2
C. 边AB上的高所在直线的方程为x−2y+4=0
D. 边AB上的中线所在直线的方程为x−y+3=0
10.已知动点P在直线l：x+y−6=0上，动点Q在圆C：(x−1)2+(y−1)2=4上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，则下列描述正确的有( )
A. 直线l与圆C相交B. |PQ|的最小值为2 2−2
C. 四边形PACB面积的最小值为4D. 存在P点，使得∠APB=120°
11.已知椭圆C：x24+y2b2=1(2>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为B，动点P在椭圆C上，则下列描述正确的有( )
A. 若△PF1F2的周长为6，则b= 3
B. 若当∠F1PF2=π3时，△PF1F2的内切圆半径为 33，则b= 3
C. 若存在P点，使得PF1⊥PF2，则b∈[ 2,2)
D. 若|PB|的最大值为2b，则b∈[ 2,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.焦点在x轴的椭圆C，长轴长为10，离心率为35，则椭圆C的标准方程为______．
13.经过点O(0,0)作直线l，若直线l与连接A(1,−1)，B(2,2)两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为______．
14.已知点A(0,1)，B(0,−1)，C(0,−2)，动点P满足：|PA|+|PB|=10，且|PC||PA|≥2，则点P的轨迹长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知点P(2,−1)，直线l：2x+y+2=0．
(1)求点P到直线l的距离；
(2)求点P关于直线l的对称点Q的坐标．
16.(本小题16分)
已知A(1,2)、B(3,6)，动点P满足PA⋅PB=−4，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程；
(2)求过点A(1,2)且与曲线C相切的直线的方程．
17.(本小题14分)
已知直线y=kx+2与椭圆x23+y2=1相交于不同的两点P，Q．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若OP⊥OQ，其中O为坐标原点，求实数k的值．
18.(本小题15分)
已知圆Γ：x2+y2=4，点Q在圆Γ上，过Q作y轴的垂线，垂足为Q′，动点P满足Q′Q=23Q′P，设动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率存在且不过B(0,2)的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为209．
①证明：直线l过定点；
②求△BMN面积的最大值．
19.(本小题18分)
如图1，已知圆心C在x轴的圆C经过点D(3,0)和E(2, 3).过原点且不与x铀重合的直线l与圆C交于A、B两点(A在x轴上方)．

(1)求圆C的标准方程；
(2)若△ABD的面积为 11，求直线l的方程；
(3)将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AOD)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BOD)互相垂直，如图2，求折叠后|AB|的范围．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.D
6.B
7.B
8.A
9.BCD
10.BC
11.ABD
12.x225+y216=1
13.[−1,1]
14.0
15.解：(1)已知点P(2,−1)，直线l：2x+y+2=0，
可得点P到直线l的距离为|2×2−1+2| 2=5 22；
(2)设点P(2,−1)关于直线l：2x+y+2=0对称的点Q的坐标为(x,y)，
则PQ中点的坐标为(x+22,y−12)，又直线l：2x+y+2=0的斜率为−2，
可得y+1x−2×(−2)=−12×x+22+y−12+2=0，解得x=−2y=−3，即Q(−2,−3)．
点P关于直线l的对称点Q的坐标Q(−2,−3)．
16.解：(1)设P(x,y)，由A(1,2)、B(3,6)，
得PA=(1−x,2−y)，PB=(3−x,6−y)，
由PA⋅PB=(1−x)(3−x)+(2−y)(6−y)=−4，得(x−2)2+(y−4)2=1，
可得曲线C的标准方程为(x−2)2+(y−4)2=1；

(2)曲线C是以(2,4)为圆心，1为半径的圆，
当过点A(1,2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=1，满足与圆C相切；
当过点A(1,2)的切线斜率存在时，设切线方程为y−2=k(x−1)，即kx−y+2−k=0，
则d=|2k−4+2−k| k2+1=1，解得k=34，可得切线方程为3x−4y+5=0．
综上所述，所求切线方程为x=1或3x−4y+5=0．
17.解：(1)联立y=kx+2x23+y2=1，消y得到(1+3k2)x2+12kx+9=0，
则Δ=(12k)2−36(1+3k2)>0，整理得到k2−1>0，解得k<−1或k>1，
所以实数k的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞)．
(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
由(1)可得x1+x2=−12k1+3k2,x1x2=91+3k2，
所以y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=9k21+3k2−24k21+3k2+4=4−3k21+3k2，
又OP⊥OQ，所以OP⊥OQ，得到OP⋅OQ=0，
又OP=(x1,y1),OQ=(x2,y2)，
所以OP⋅OQ=x1x2+y1y2=91+3k2+4−3k21+3k2=0，
整理得到k2=133，解得k= 393或k=− 393，
所以实数k的值为 393或− 393．

18.(1)解：已知圆Γ：x2+y2=4，点Q在圆Γ上，过Q作y轴的垂线，垂足为Q′，动点P满足Q′Q=23Q′P，
设P(x,y)，Q(x0,y0)，
则Q′(0,y0)，

因为Q′Q=23Q′P，
所以(x0,0)=23(x,y−y0)，
则x0=23x0=23(y−y0)，
解得x0=23xy=y0，
因为Q(x0,y0)在圆Γ：x2+y2=4上，
则(23x)2+y2=4，
即x29+y24=1，
所以曲线C的方程为x29+y24=1．
(2)证明：①依题意，设直线l的方程为y=kx+b，b≠2，

联立y=kx+bx29+y24=1，
消去y得(9k2+4)x2+18bkx+9b2−36=0，
则Δ=(18bk)2−4(9k2+4)(9b2−36)=144(9k2+4−b2)>0，①
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
所以x1+x2=−18bk9k2+4,x1x2=9b2−369k2+4，
则kBM⋅kBN=y1−2x1⋅y2−2x2=kx1+b−2x1⋅kx2+b−2x2
=k2⋅x1⋅x2+k⋅(b−2)⋅(x1+x2)+(b−2)2x1x2=209，
则(9k2−20)⋅x1x2+9k⋅(b−2)⋅(x1+x2)+9(b−2)2=0，
则(9k2−20)⋅9b2−369k2+4+9k⋅(b−2)⋅(−18b⋅k9k2+4)+9(b−2)2=0，
整理得b2+b−6=0，
解得b=−3，
所以直线l过定点T(0,−3)；
②解：由①得，x1+x2=54k9k2+4,x1x2=459k2+4，
则|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= (54k9k2+4)2−4×459k2+4=12 9k2−59k2+4，
所以S△BMN=12|BT|⋅|x1−x2|=52×12 9k2−59k2+4=30× 9k2−59k2+4，
令 9k2−5=t(t>0)，
则9k2=t2+5，
则S△BMN=30×tt2+5+4=30tt2+9=30t+9t≤302 t⋅9t=5，
当且仅当t=9t，即t=3，k=± 143时，等号成立，
满足①，
所以△BMN面积的最大值为5．
19.解：(1)由题意，设圆心C(a,0)，半径为r(r>0)
因为圆C经过点D(3,0)和E(2, 3)，可得|CD|=|CE|，
即 (a−2)2+( 3)2=|a−3|，解得a=1，所以r=|CE|=2，
所以圆C的方程为(x−1)2+y2=4．
(2)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x=0，可得|AB|=2 3，
此时△ABD的面积为S△ABD=12×2 3×3=3 3，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，其中k≠0，即kx−y=0，
可得圆心C(1,0)到直线l的距离为d1=|k| k2+1，
由圆的弦长公式，可得|AB|=2 r2−d12=2 4−(|k| k2+1)2=2 3k2+4k2+1，
又由|OD|=3|OC|，设D(3,0)到直线l的距离为d2=3d1=3|k| k2+1，
所以△ABD的面积为S△ABD=12×2 3k2+4k2+1×3|k| k2+1= 11，
整理得16k4+14k2−11=0，解得k2=12或k2=−118(舍去)，
所以k=± 22，所以直线l的方程为y=± 22x；
(3)当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x=0，可得A(0, 3),B(0,− 3)，
此时△AOB为等腰直角三角形，可得|AB|= 6；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，k≠0，且A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程组y=kx(x−1)2+y2=4，整理得(k2+1)x2−2x−3=0，
由一元二次方程根与系数的关系可得Δ>0，且x1+x2=2k2+1,x1x2=−3k2+1，
过A作AM⊥x轴，垂足为M，过B作BN⊥x轴，垂足为N，

则|AB|2=|AM|2+|MN|2+|BN|2=(x1−x2)2+y12+y22=(x1−x2)2+k2x12+k2x22
=(k2+1)(x12+x22)−2x1x2=(k2+1)[(x1+x2)2−2x1x2]−2x1x2
=4+3×(2k2+4)k2+1=6k2+16k2+1=6+10k2+1，
因为k2+1>1，所以6+10k2+1∈(6,16)，所以|AB|∈( 6,4)，
综上可得，折叠后|AB|的范围|AB|∈[ 6,4)．