广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份广东省深圳市聚龙科学中学教育集团2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 若，，则
D. 向量与向量的长度相等
【答案】D
【解析】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.
当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.
比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.
因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，
因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选：D.
2. 若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】由于为纯虚数，
所以且，
解得.
故选：C.
3. 下列各式中不能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A：，不符合题意；
B：因为，，
若，即，可得，
即点与点重合，显然这不一定成立，
所以与不一定相等，符合题意；
C：，不符合题意；
D：，不符合题意.
故选：B.
4. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】，，对应点为.
故选：B．
5. 已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，
若点三点共线，则点不能构成三角形，
即，解得：，所以的值为.
故选：B.
6. 已知平面向量满足，且，则（ ）
A. 2B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由，得，则，
由，得，因此，
所以.
故选：A.
7. 设非零向量满足，，则四边形ABCD形状（ ）
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
根据平行四边形法则，所以四边形ABCD是菱形，
又因为，所以，所以四边形ABCD是正方形.
故选：C.
8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.）
9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题是（ ）
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为
【答案】ABCD
【解析】，
，故A正确；
，故B正确；
的共轭复数为，故C正确；
的虚部为，故D正确.
故选：ABCD.
10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 若，则D. 存在，使得
【答案】ACD
【解析】对于A，由题可知，故A项正确；
对于B，，故与的夹角为，故B项错误；
对于C，若，则，故C项正确；
对于D，若，则，则当时，可以使，故D正确.
故选：ACD.
11. 在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 存在t，使得D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则由题意，故，
对于A，当时，则由可知，
所以，又，
故，故A正确；
对于B，当时，则由可知，
所以，，
所以，
故B错误；
对于C，由可得，故，，
则，
故不存在t，使得，故C错误；
对于D，由C得，
故，
又，故当时，取得最小值为，故D正确.
故选：BC.
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为____________.
【答案】
【解析】因为向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，
所以，
当时，，解得，
所以若，则，即的取值范围为.
13. 已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______．
【答案】
【解析】设点为坐标原点，
点在线段的延长线上，且，，
即，．
点的坐标为．
14. 在山脚A测得山顶P的仰角，沿倾斜角的公路向上走600m到达B处，在B处测得山顶P的仰角，如图，若在山高的处的点S位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为______m.
【答案】
【解析】过B作，垂足为，
因为，
在中，可得，
在中，则，
由正弦定理可得，
在中，可得，
则山的高度，所以索道离地面的高度为（m）.
四、解答题（共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值.
解：（1）由，
得，
，
所以，且有公共点B，所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，即，
又是不共线的两个非零向量，因此，
解得，或，实数k的值是.
当时，与反向共线.
16. 已知向量与夹角，且，．
（1）求，，在上的投影向量；
（2）求向量与夹角的余弦值．
解：（1），所以，
，所以，
在上的投影向量为：
（2），
设向量与夹角为，则.
17. 在中，角的对边分别是，已知.
（1）求；
（2）若，且周长为，求.
解：（1）在中，由及正弦定理得，而，
则，又，所以或.
（2）由的周长为，，得，
在中，由余弦定理得，即，
则，当时，，
于是，，此方程无解；
当时，，于是，解得或，
所以当时，无解；当时，或.
18. 在中，角 的对边分别是，．
（1）求C；
（2）若，的面积是，求的周长．
解：（1）由题意在中，，
即，故，由于，所以.
（2）由题意的面积是，，即，
由，得，
故的周长为.
19. 如图，已知中，，D是边BC上一点，且．
（1）设，，试用，表示．
（2）若，求的大小．
解：（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，，
由余弦定理得，
因为，所以，
，
在中，，所以，
则，所以，
又因为为锐角，所以的大小为.