广东省深圳市龙华中学2024−2025学年高二下学期3月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市龙华中学2024−2025学年高二下学期3月期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．过点和点的直线倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知非零向量和互相垂直，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．若直线与直线平行，则（ ）
A．1B．C．3D．
4．已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．13B．45C．104D．130
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．下列求导运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个B．60个C．72个D．120个
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若（为的离心率），则（ ）
A．B．的虚轴长为
C．D．的一条渐近线的斜率为
10．函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A．当 时， 的极小值为
B． 为奇函数
C．当 时， 一定有三个零点
D．若直线 与 有三个交点 ，则
11．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．常数项为
D．展开式中系数最大项为第3项和第4项
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项积为，若，则 .
13．设函数的导数为，若，则 .
14．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
16．已知椭圆的下焦点为，其离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值.
17．已知数列满足，
(1)请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列前项的和．
18．名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
(1)从中选出名男生和名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
19．设函数，.
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围；
(3)设的两个不同的极值点为，证明：.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为.
故选B
2．【答案】C
【详解】由可得，
解得.
故选C．
3．【答案】B
【详解】因为，所以，所以或．
当时，重合；
当时，，，符合题意．
综上.
故选B.
4．【答案】B
【详解】点的坐标为，动点满足，
故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
圆的方程为，
圆心与原点的距离为，
则的最大值为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为等差数列的前项和为，且，
则.
故选C.
6．【答案】A
【详解】由，则，而，
所以点处的切线方程为，即.
故选A.
7．【答案】D
【详解】因为所以A选项错误；
因为，所以B选项错误；
因为，所以C选项错误；
因为，所以D选项正确.
故选D.
8．【答案】B
【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故选B.
9．【答案】AB
【详解】由，知，，，
由，得，即，，
所以的虚轴长为，故A，B正确，C错误；
由的渐近线方程为，得两条渐近线的斜率分别为，，故D错误．
故选AB．
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当时，，求导得，
当时，，当时，，为极大值，A错误；
对于B，令，则，
函数是奇函数，B正确；
对于C，，当时，令的二根，
，当或时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，
由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确；
对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称，
因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称，
其交点的横坐标满足，D正确.
故选BCD.
11．【答案】ABD
【详解】展开式的通项为，
则前3项的系数分别为，
对于A，由题意可得，
即，解得或（舍去），
所以，故A正确；
对于B，展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；
对于C，展开式的通项为，
令，则，
所以展开式中常数项为，故C错误；
对于D，设展开式中第项的系数最大项，
则有，解得或，
所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由题意得，，
∵，
∴，
∴.
13．【答案】/
【详解】.
14．【答案】
【详解】先分类讨论人员分组情况：
当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法．
再将三组人员分配到三个镇：
因为这三组分配到三个地区有种方法，
所以安排方法总数为．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又分别是棱，，的中点，，．
所以,
所以有：，
设平面的法向量为，则有
所以，令，有，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）因为，由（1）有平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：.
16．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，
解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
，则，
由，得，且，
则，
易知直线与的斜率均存在，
则直线的方程为①，
直线的方程为②，
联立①②消去得，
，
故点的纵坐标为定值.
17．【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，则，
又，因此是以为首项，为公比的等比数列，
由，得到．
（2）由（1）知，，
所以①，
则②，
由①②得到，
所以，
故．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法，
（2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
19．【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，当时，，
令，得或，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
（2），不妨设在上有两个不同的极值点，
即方程有两个不同的正根，则有
，解得，
所以的取值范围为.
（3），
设，则，
则在上单调递增，所以，
故.