2025年中考数学压轴模拟检测试卷（含答案）

这是一份2025年中考数学压轴模拟检测试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题4分，共24分）
1．如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
3. 关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）
及方差如下表所示：
若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
5. 中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆与圆相交 B．圆与圆外切
C．圆与圆外切 D．圆与圆外离
6. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，
连接交于点M，连接，若，，则下列结论：
①，；②；③四边形是菱形；④.
其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 计算： ．
8. 计算： ．
9. 已知关于的方程，则
10. 今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示为 ．
11. 若一次函数的图象经过点和，则y随x的增大而 ．
12. 如图，点是菱形的边上一点，且，则 ．

某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．
沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，
可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，
每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据：
本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，
当精密电子秤的读数为72克时的时间是 ．

一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，
从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为，则盒子中的白色棋子共有 颗．
如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设，，
那么＝ （结果用、表示）．

某校有600名七年级学生共同参加每分钟跳绳次数测试，并随机抽取若干名学生成绩统计成频数分布
直方图（如图）．若每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生成绩为“合格”，
则参加测试的学生成绩为“合格”的人数约为 ．

17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，
若BC＝，CD＝，则cs∠CBD＝ ．

定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．
若是“和谐点”，则
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19. 计算：．
20. 解方程组：
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，
反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
22.综合与实践
问题情景：
在中，，，直角三角板中，，
将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，
三角板的两边，分别与边，交于点，．

猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，
试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
（3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ．
23. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上，．

求证：．
若，则______．
如图1，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

求抛物线M的函数表达式；
(2) 如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：；
(3) 记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，
使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E，F分别为AD，BC边上的点，
将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边的点G处，点B落在点H处，AG与EF交于点O．
（1）如图①，求证：以A，F，G，E为顶点的四边形是菱形；
（2）如图②，当△ABG的外接圆与CD相切于点P时，求证：点P是CD的中点；
（3）如图②，在（2）的条件下，求的值．

2025年中考数学压轴模拟检测试卷·教师版
考试时间100分钟，满分150分 ．
一、选择题（每题4分，共24分）
1．如果，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合不等式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】∵
∴，，即选项B错误；
∴，，即选项A正确，选项C错误；
根据题意，无法推导得，故选项D不正确；
故选：A．
2. 函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
，
故选：A．
3. 关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】求出一元二次方程的判别式，根据判别式即可得到答案，此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数关系是解题的关键．
【详解】解：对于x的一元二次方程来说，
∵，
∴一元二次方程有两个相等实数根，
故选：B．
某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）
及方差如下表所示：
若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【分析】先比较平均数得到丙和甲的产量较好，然后比较方差得到丙品种既高产又稳定．
【详解】解：在四个品种中甲、丙的平均数大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差，
∴丙品种的苹果树的产量高又稳定．
故选：C．
5. 中，已知，，，以点、、为圆心的圆分别记作圆、圆、圆，这三个圆的半径长都是2，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．圆与圆相交 B．圆与圆外切
C．圆与圆外切 D．圆与圆外离
【答案】D
【分析】本题主要考查圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．根据已知条件画出图形即可得出三个圆的位置关系．
【详解】解：根据题意作图如下：
圆与圆外切，圆与圆外离，圆与圆相交，
故选：．
6. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，
连接交于点M，连接，若，，则下列结论：
①，；②；③四边形是菱形；④.
其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③；
根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④．
【详解】解：四边形是矩形，O为的中点，
，
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
故①正确；
,
，
，
，
，，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故③正确；
，
无法证明，
故②错误；
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
故正确的为①③④，为3个，
故选：C．
二、填空题（每题4分，共48分）
7. 计算： ．
【答案】
【分析】根据积的乘方及幂的乘方运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
8. 计算： ．
【答案】
【分析】直接利用平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
9. 已知关于的方程，则
【答案】
【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．
【详解】解：根据题意得，，即，
，
等式两边分别平方，
移项，，符合题意，
故答案为：．
10. 今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 若一次函数的图象经过点和，则y随x的增大而 ．
【答案】减小
【分析】首先能够根据待定系数法正确求出直线的解析式．首先用待定系数法确定直线的解析式，再根据的符号即知道随的增大而减小．
【详解】解：根据题意，把代入
得：，
解得．
，
随的增大而减小．
故答案为：减小．
12. 如图，点是菱形的边上一点，且，则 ．

【答案】/15度
【分析】根据题意可得：，在中，得到，又因为，所以，，代入即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：
某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．
该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．
沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，
可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，
每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据：
本次实验开始记录的时间是上午，由表中数据推测，
当精密电子秤的读数为72克时的时间是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数 ，然后令时，解得的值，然后结合起始时间是上午即可获得答案．
【详解】解：根据表格中的数据可知，当沉沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12，
∴电子秤读数为沉沙时间的一次函数，
设电子秤读数为y（克），沉沙时间为x（小时），一次函数表达式为：，将点代入解析式中，
可得，
解得，
∴函数表达式为：；
把代入得：，
解得：，
∵起始时间是上午，
∴经过11小时的漏沙时间为．
故答案为：．
一个围棋盒子里装有若干颗黑、白围棋子，其中黑色棋子15颗，
从中摸出一颗棋子是黑色棋子的概率为，则盒子中的白色棋子共有 颗．
【答案】45
【分析】可设盒子有白色棋子x颗，根据围棋盒中有15颗黑色棋子和若干颗白色棋子，故棋子的总颗数为颗，再根据黑色棋子的概率，结合概率公式列式解答即可．
【详解】解：设盒子有白色棋子x颗，依题意有：
，
解得，
经检验是分式方程的解．
故答案为：45．
如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设，，
那么＝ （结果用、表示）．

【答案】
【分析】由题意，可求得，又在平行四边形ABCD中，，求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【详解】解：∵AB＝3EB，，
∴，
∵平行四边形ABCD中，，
∴，
∴，
故答案为：．
某校有600名七年级学生共同参加每分钟跳绳次数测试，并随机抽取若干名学生成绩统计成频数分布
直方图（如图）．若每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生成绩为“合格”，
则参加测试的学生成绩为“合格”的人数约为 ．

【答案】400
【分析】根据跳绳次数分组的中间值，确定分组的临界值，进而得出每分钟跳绳次数达到100次以上人数即可．
【详解】解：根据频数分布直方图中每分钟跳绳次数的中间值，可得各组的临界值及其频数分布如下：
所以样本中，每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生占调查人数的＝，
因此全校600名七年级学生中每分钟跳绳次数达到100次以上（包括100次）的学生有600×＝400（人），
故答案为：400．
17. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，
若BC＝，CD＝，则cs∠CBD＝ ．

【答案】
【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝2∠CBD，
∴∠CDB＝2∠CBD，
∵DM＝DC，
∴∠DCM＝∠M，
∴∠CDB＝2∠M，
∴∠CBD＝∠M，
∴CB＝CM，
∵CQ⊥BD，
∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（AAS），
∴BP＝DQ，
∴PQ＝CD＝，
设BP＝DQ＝x，
∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，
∴﹣（x+）2＝（）2﹣x2，
解得x＝，
，
，
∴cs∠CBD＝＝．
故答案为：．
定义： 若x， y满足 ，且（t为常数），则称点为“和谐点”．
若是“和谐点”，则
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质等知识， 读懂题意，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据“和谐点”的定义得到，，整理得到，解得，（不合题意，舍去），即可得到答案
【详解】若是“和谐点”，则，
则，，
∴，
即，解得，（不合题意，舍去），
∴，
故答案为：．
三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）
19. 计算：．
【答案】
【分析】
本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、零次幂、余弦值，分母有理化，再运算乘法正，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
20. 解方程组：
【答案】或
【分析】本题考查了二元二次方程组解法，由①可得，，将③代入②得，求出，，然后代入求解即可．
【详解】
由①可得，
将③代入②得，
整理得，
或
解得，
将代入③得，；
将代入③得，．
∴方程组的解为或．
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，
反比例函数的图象经过的中点，且与相交于点．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由C为OA的中点可表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上可得出关于k、m的二元一次方程租，解方程组即可得出结论；
（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，从而得出△OAB为等腰直角三角形，最后得出结果．
【详解】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为．
点为线段的中点，点的坐标为．
点均在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
（2），
点的坐标为，
，
∴△OAB是等腰直角三角形，
．
22.综合与实践
问题情景：
在中，，，直角三角板中，，
将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，
三角板的两边，分别与边，交于点，．

猜想证明：
如图，在三角板旋转过程中，当为边的中点时，
试判断四边形的形状，并说明理由；
问题解决：
（2）如图，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；
（3）如图，在三角板旋转过程中，当时，请直接写出线段的长为______ ．
【答案】（1）四边形是矩形；
（2）；
（3）
【分析】（1）由三角形中位线定理可得，可证，即可求解；
（2）由勾股定理可求的长，由中点的性质可得的长，由锐角三角函数可求解；
（3）由，推导出，用（2）的方法解答即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，理由如下：
点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
如图，过点作于，

，，，
，
点是的中点，
，
，
，
又，
，
，
，
；
如图，过点作于，

，，，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
．
23. 如图，在矩形中，点E、F分别在边上，．

求证：．
若，则______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质以及，可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质，可得，从而得到，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：在矩形中，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：
如图1，抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点．

求抛物线M的函数表达式；
(2) 如图2，抛物线M的顶点为D，连接，，，，求证：；
(3) 记抛物线M位于x轴上方的部分为，将向下平移个单位，
使平移后的与的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解抛物线解析式，求解抛物线与坐标轴的交点，抛物线的平移，相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键．
（1）采用待定系数法即可求解；
（2）先求出顶点坐标，分别计算出，，，的长，利用三边对应成比例的两个三角形相似即可判定；
（3）先求出直线的解析式，根据题意可知，求出平移后的解析式，将交点问题转化为方程，解方程后根据解的情况求解即可．
【详解】（1）解：把、分别代入，
得：，
解得：，
抛物线M的函数表达式为；
（2）证明，
点，
令，
解得：，，
点B的坐标为，
、，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
（3）解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的解析式为，
如图，
，
当与没有交点时，
没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，如图，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
h的取值范围为．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E，F分别为AD，BC边上的点，
将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边的点G处，点B落在点H处，AG与EF交于点O．
（1）如图①，求证：以A，F，G，E为顶点的四边形是菱形；
（2）如图②，当△ABG的外接圆与CD相切于点P时，求证：点P是CD的中点；
（3）如图②，在（2）的条件下，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接AF，利用AAS证明△AEO≌△GFO，得到EA=FG，即可得到结论；
（2）如解图，连接OP，证明，得到，根据OE=OF推出PD=PC，即可得到点P是CD的中点；
（3）如解图（2），延长PO交AB于点Q，得到AQ=QB=AB=2，∠AQO=90°，设⊙O的半径为x，则OG=OA=OP=x，OQ=8-x，利用，求出，得到，证明△AQO∽△FOG，得到，求出EF= ，即可得到答案.
【详解】（1）证明：如解图（1），连接AF，
由折叠性质可知，OA=OG，EA=EG，FA=FG，∠AOE=∠GOF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠AEO=∠GFO，
在△AEO和△GFO中，，
∴ △AEO≌△GFO（AAS），
∴EA=FG，
∴EA=EG=FA=FG，
∴四边形AFGE是菱形；
（2）如解图，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵OA=OG，
∴点O是Rt△ABG的外接圆圆心，
∵⊙O与CD相切于点P，
∴OP⊥CD，
∴，
∴，
∵△AEO≌△GFO，
∴OE=OF，
∴PD=PC，即点P是CD的中点；
（3）如解图（2），延长PO交AB于点Q，
则AQ=QB=AB=2，∠AQO=90°，
设⊙O的半径为x，则OG=OA=OP=x，OQ=8-x，
在Rt△AQO中，
∵，
∴，
解得，
∴，
∵OP//FC，
∴∠AOQ=∠FGO，
又∠AQO=∠FOG=90°，
∴△AQO∽△FOG，
∴，
∴，
解得OF= ，
∴EF= ，
∴.
甲
乙
丙
丁
26
25
26
23
1.7
1.2
1.6
1.6
沉沙时间（小时）
0
2
4
6
8
电子秤读数（克）
6
18
30
42
54
甲
乙
丙
丁
26
25
26
23
1.7
1.2
1.6
1.6
沉沙时间（小时）
0
2
4
6
8
电子秤读数（克）
6
18
30
42
54
每分钟跳绳次数
50≤x