浙教版（2024）八年级下册一元二次方程习题

这是一份浙教版（2024）八年级下册一元二次方程习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知关于x的一元二次方程 (a−1)x2−2x+a2−1=0 有一个根为 x=0 ，则a的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．−1
2．一元二次方程 x2−4x−8=0 的解是（ ）
A．x1=−2+23 ， x2=−2−23B．x1=2+23 ， x2=2−23
C．x1=2+22 ， x2=2−22D．x1=23 ， x2=−23
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣1B．（x﹣2）2＝0
C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝2
4．关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（ ）
A．2或4B．0或4C．﹣2或0D．﹣2或2
5．关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．用配方法解方程 x2+8x+9=0 ，变形后的结果正确的是（ ）
A．(x+4)2=−9B．(x+4)2=−7C．(x+4)2=25D．(x+4)2=7
7．规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．m＜14B．m＞14C．m＞14且m≠0D．m＜14且m≠0
8．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．x·60−x2=864B．x（60+x）＝864
C．x（60﹣x）＝864D．x（30﹣x）＝864
9．关于x的一元二次方程3x2−2x+m=0有两根，其中一根为x=1，则这两根之积为（ ）
A．13B．23C．1D．−13
10．小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（ ）
A．x2+6x+5=0B．x2−7x+10=0
C．x2−5x+2=0D．x2−6x−10=0
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知a是一元二次方程x2−x−1=0的一个解，则代数式a2−a+a2−1a的值是 ．
12．一元二次方程 x2−4x+3=0 配方为 (x−2)2=k ，则k的值是 .
13．若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，则c= .
14． 定义新运算：a⊗b=a2−b(a≤0)−a+b(a>0)例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为 ．
15．已知x1，x2是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则(x1−x2)2+3x1x2的值是 ．
16．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．
三、解答题（共10题，共72分）
17．（20分）解方程：
（1）. x2−2x−3=0 . （2）.(2x+3)2=(3x+2)2
（3）. x2−x−2=0 （4）.解方程 x2+4x−1=0
18．（6分）已知关于 x 的一元二次方程 x2−4mx+3m2=0 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 m>0 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 m 的值．
19．（8分）关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 ．
（1）当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ， b 的值，并求此时方程的根．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且x2x1+x1x2=−52，求m的值．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2−(m+2)x+m−1=0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22−x1x2=9，求m的值.
22．（10分）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
23．（12分）阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．
材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，
∴m+n=1，mn=−1．
则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= ；
（2）类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，2t2+3t−1=0且s≠t，求1s−1t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 (a−1)x2−2x+a2−1=0 有一个根为 x=0 ，
∴a2−1=0 ， a−1≠0 ，
则a的值为： a=−1 ．
故答案为：D．
【分析】将x=0代入方程可得a2-1=0，由一元二次方程的定义，可得a-1≠0，从而求出a的值.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵x2−4x−8=0 中，
a=1，b=-4，c=-8，
∴△=16-4×1×（-8）=48＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x= 4±432=2±23 ，
即 x1=2+23 ， x2=2−23 ，
故答案为：B.
【分析】得出方程各项系数，再利用公式法求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵(x-2)2=-1＜0，∴该方程无实数根，此选项不符合题意；
B、∵(x-2)2=0，∴x-2=0，解得x1=x2=2，故该方程有两个相等的实数根，此选项符合题意；
C、∵(x-2)2=1，∴x-2=±1，解得x1=3，x2=1，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
D、∵(x-2)2=2，∴x-2=±2，解得x1=2+2，x2=2−2，故该方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据偶数次幂的非负性可判断A选项；利用直接开平方法求出B、C、D三个方程的根，即可判断得出答案.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得到： 2k2−8k+4=4 ，
解关于k的一元二次方程得：k=0或4，
故答案为：B．
【分析】先求出 2k2−8k+4=4 ，再计算求解即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∆=b2−4ac=k2+8≥8，
∴∆>0，
故一元二次方程x2+kx−2=0有两个不相等的实数根，
故选：A.
【分析】由含参数k的方程代入判别式中，利用非负性判断得出结论.
6．【答案】D
【解析】【解答】解： x2+8x+9=0 ，
x2+8x=−9 ，
x2+8x+42=−9+42 ，
所以 (x+4)2=7。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得【x，x+1】 ★ (mx)=mx2+x+1=0，
∵关于x的方程【x，x+1】 ★ (mx)=0有两个不相等的实数根，
∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，
解得：m0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范围.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设长为x步，则宽为60−x步，
x60−x=864，
故答案为：C.
【分析】设长为x步，则宽为60−x步，进而根据矩形的面积计算公式即可得到方程为x60−x=864，据此即可求解.
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2−2x+m=0有两根，其中一根为x=1，
设另一根为x2，则x+x2=23，
∴x2=−13，
∴xx2=−13.
故答案为：D.
【分析】设另一根为x2，根据根与系数的关系可得1+x2=−ba=23，求出x2，然后根据有理数的乘法法则进行计算.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：设一元二次方程为x2+bx+c=0
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：x2−7x+10=0
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：x1+x2=−ba,x1·x2=ca，根据韦达定理即可解决问题.
11．【答案】2
【解析】【解答】解：把x= a代入方程x2−x−1=0得： a2−a−1=0，
∴a2−a=1,a2−1=a,
∴a2−a+a2−1a
=1+aa
=1+1
=2,
故答案为：2.
【分析】把x =a代入方程 x=a x2−x−1=0得a2−a=1,a2−1=a, 整体代入是计算即可.
12．【答案】1
【解析】【解答】解： x2−4x+3=0
x2−4x+4=−3+4
x2−4x+4=1
(x−2)2=1
∴k=1
故答案为：1.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方“4”，将左边写成完全平方式，即可求出k值.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根，
∴∆=b2−4ac=22−4c=0，
解得：c=1.
故答案为：1.
【分析】由一元二次方程根的情况直接利用判别式建立关系解之即可.
14．【答案】74或−12
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=−34，
∴x2=14，
解得x1=12(舍去)，x2=−12；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=−34，
解得x=74，
综上x的值为：74或−12.
故答案为：74或−12.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
15．【答案】14
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=−ba，x1x2=ca求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
16．【答案】(11−2x)(7−2x)=21
【解析】【解答】解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
(11−2x)(7−2x)=21．
故答案为：(11−2x)(7−2x)=21
【分析】根据小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为21cm2的无盖长方体纸盒， 列方程求解即可。
17．（1）.【答案】.解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
（2）.【答案】解：∵(2x+3)2=(3x+2)2
∴2x+3=−3x−2或2x+3=3x+2
解得x1=−1，x2=1．
【解析】【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可。
（3）.【答案】解：由原方程，得：
（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1
【解析】【分析】观察方程的特点：右边为0，左边可以分解因式，因此利用因式分解法求出方程的解.
（4）.【答案】解： x2+4x−1=0 ，
移项得： x2+4x=1 ，
配方得： x2+4x+4=1+4 ，
(x+2)2=5 ，
开方得： x+2=±5 ，
解得， x1=−2+5 或 x2=−2−5 .
【解析】【分析】先把方程移项变形为 x2+4x=1 ，配方得到 (x+2)2=5 ，然后开方求解即可.
18．【答案】（1）证明：由题意得： a=1，b=−4m，c=3m2 ，
∴Δ=b2−4ac=16m2−4×1×3m2=4m2 ，
∵m2≥0 ，
∴Δ=4m2≥0 ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 x 的一元二次方程 x2−4mx+3m2=0 的两实数根为 x1，x2 ，则有： x1+x2=4m，x1⋅x2=3m2 ，
∵|x1−x2|=2 ，
∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=16m2−12m2=4 ，
解得： m=±1 ，
∵m>0 ，
∴m=1 ．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可。
19．【答案】（1）解：由题意： a≠0 ．
∵Δ=b2−4a=(a+2)2−4a=a2+4>0 ，
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）解：答案不唯一，满足 b2−4a=0 （ a≠0 ）即可，例如：
解：令 a=1 ， b=−2 ，则原方程为 x2−2x+1=0 ，
解得： x1=x2=1
【解析】【分析】（1）根据题干此题是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0 ．即可得出二次项系数 a ≠ 0 ．然后根据一元二次方程根的判别式∆=b2-4ac，及 b=a+2算出判别式的值并化简，根据化简的结果及偶次方的非负性得出∆=b2-4ac＞0，从而作出判断；
（2）此题是一个开放性的命题，所写的值只要满足b2-4a=0，且a ≠ 0即可。
20．【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0，
∴a=1，b=−(2m−1)，c=−3m2+m，
∴Δ=b2−4ac=[−(2m−1)]2−4×1×(−3m2+m)=(4m−1)2，
∵(4m−1)2≥0，即Δ≥0，
∴不论m为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x−3m2+m=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m−1，x1x2=−3m2+m，
∵x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=−52，
∴(x1+x2)2x1x2=−12，
∴(2m−1)2−3m2+m=−12，整理，得5m2−7m+2=0，解得m1=25，m2=1，
∴m的值为25或1．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的情况与判别式的关系即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到x1+x2=2m−1，x1x2=−3m2+m，再结合题意即可得到(x1+x2)2x1x2=−12，进而即可得到一个关于m的一元二次方程，进而即可求解。
21．【答案】（1）证明：Δ=[−(m+2)]2−4×1×(m−1)=m2+8，
∵无论m取何值，m2+8>0，恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是方程x2−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，
∴x1+x2=m+2，x1⋅x2=m−1，
∵x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=9，
∴m+22−3(m−1)=9
解得：m1=1或m2=−2.
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系x1+x2=−ba，x1·x2=ca可得x1+x2=m+2，x1⋅x2=m−1，进而将已知等式利用配方法变形为x12+x22−x1x2=(x1+x2)2−3x1x2=9，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
22．【答案】（1）解：设矩形ABCD的边AB=x m，则边BC=70−2x+2=(72−2x)m．
根据题意，得x(72−2x)=640．
化简，得x2−36x+320=0．
解得x1=16，x2=20．
当x=16时，72−2x=72−32=40；
当x=20时，72−2x=72−40=32．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得x(72−2x)=650．
化简，得x2−36x+325=0．
∵Δ=(−36)2−4×325=−4