中考数学一轮复习备考专题5：一次方程（组）综合测试(含答案)

这是一份中考数学一轮复习备考专题5：一次方程（组）综合测试(含答案)，共21页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.根据等式的性质，若等式可以变形得到，则a，b应满足的条件是( )
A.a、b互为相反数B.a、b互为倒数C.D.
2.已知是关于x的一元一次方程的解，则关于y的一元一次方程的解是( )
A.B.C.D.
3.下列方程变形中，正确的是( )
A.方程，移项得，；
B.方程，去括号得，；
C.方程，系数化为1得，；
D.方程，去分母得，.
4.某同学去面包店买面包，面包有A，B两种包装，每个面包品质相同，且只能整盒购买，商品信息如下：
若该同学正好买了40个面包，则他最少需要花费( )
A.50元B.49元C.52元D.51元
5.我们定义一种运算：.例如，，.按照这种定义的运算，当时，( )
A.B.C.D.
6.某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学,花费48元钱购买了甲、乙两种奖品,每种奖品至少购买1件,其中甲种奖品每件4元,乙种奖品每件3元,则购买方案种类有( )
A.1种B.2种C.3种D.4种
7.某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每时走4.5千米.一列火车以每时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒.如果队伍长150米，那么火车长( )
A.150米B.215米C.265米D.310米
8.如图，若三角形面积为1，，，求阴影四边形的面积( )
A.B.C.D.
9.某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本(三种图书都要买),此次采购的方案有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
10.若x、y是两个实数，且，则等于( )
A.B.C.D.
11.将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列.图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是( )
A.22B.70C.182D.206
12.对x,y定义一种新运算T,规定：(其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算.例如：,若,则下列结论正确的有( )
①,；
②若,则；
③若,则m,n有且仅有2组整数解；
④若无论k取何值时,的值均不变,则；
⑤若对任意有理数x,y都成立,则.
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利30%，若该书的进价为40元，则标价为____元.
14.古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等于16两）.今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则原有生丝___________斤.
15.已知关于x的方程的解是，那么关于y的一元一次方程的解是_________.
16.是关于x,y的二元一次方程组,则的值为______.
17.我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差,则称M为“智慧数”.例如：因为,所以1000是“智慧数”.按照这个规定,1002______“智慧数”(填“是”或者“不是”).若智慧数M是偶数,,,且满足两位数与两位数的和为完全平方数,则满足条件的正整数M的值为____________.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值.
19.（8分）阅读以下内容：
已知实数m，n满足，且求k的值，
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于m，n的方程组，再求k的值、
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学：先解方程组，再求k的值
(1)试选择其中一名同学的思路，解答此题
(2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变.
20.（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽气车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元.
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少方元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案
21.（10分）如图,长方形在平面直角坐标系中,其中,,点E是的中点,动点P从O点出发,以每秒的速度沿运动,最终到达点E,若点P运动的时间为x秒.
(1)当秒时,求的面积；
(2)当的面积等于时,求P点坐标.
(3)当为等腰三角形时,求x的值.
22.（12分）已知：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且.
(1)若，，c的相反数是30，求a、b、c的值；
(2)在(1)的条件下，a、b、c分别是A、B、C点在数轴上所对应的数，
①线段AC的长是________，将数轴折叠使得点A和点C重合，则折痕处在数轴上表示的数是__________
②数轴上是否存在一点P，使得P点到C点的距离加上P点到A点的距离减去P点到B点的距离为50，即?若存在，求出P点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由；
③点C，B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点A以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由.
23.（13分）规定：关于，y的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题：
(1)已知，，，则是“关联线”的“坐标点”的________；
(2)若，是“关联线”的“坐标点”，求，b的值；
(3)已如m，是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与m之间的关系，并求出的最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：且，
，
即，
a与b互为相反数，
故选：A.
2.答案：B
解析：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴关于y的一元一次方程的解是，解得：.
故选：B.
3.答案：D
解析：A.方程，移项，得，故A选项不符合题意；
B.方程，去括号，得，故B选项不符合题意；
C.方程，系数化为1，得，故C选项不符合题意；
D.方程，去分母得，故D选项符合题意.
故选：D.
4.答案：A
解析：设购买A包装面包x盒，B包装面包y盒.
由题意，得，且x，y均为非负整数，
或或或
当，时，费用为（元）；
当，时，费用为（元）；
当，时，费用为（元）；
当，时，费用为（元）.
，
他最少需要花费50元.
5.答案：A
解析：因为，所以，，所以，解得.故选A.
6.答案：C
解析：设：购买甲种奖品x件,乙种奖品y件,
,解得,
∵,且x,y都是正整数,
∴y是4的整数倍,
∴时,,
时,,
时,,
时,,不符合题意,
故有3种购买方案,
故选：C.
7.答案：C
解析：12秒时，150米千米.设火车长x千米.根据题意得，解得，0.265千米米.故火车长265米.故选C.
8.答案：C
解析：如图，设与交于N，与交于P，连接，，，，设的面积为x，的面积为y，则有的面积为2x，的面积为2y，
面积为1，，，
、的面积是，的面积是，
，解得，
的面积是，
设的面积为u，的面积为v，，
即，即四边形的面积是，
阴影四边形的面积=.
故选：C.
9.答案：B
解析：设采购A种图书x本,B种图书y本,C种图书z本,其中,,且x,y,z均为整数,根据题意得,
,
整理得,,
①当时,,
∴,
∵,且y,z均为整数,
∴当时,,∴；
当时,,∴；
当时,,∴；
②当时,,
∴,
∵,且y,z均为整数,
∴当时,,∴；
当时,,∴；
当时,,∴；
综上,此次共有6种采购方案,
故选：B.
10.答案：C
解析：当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，解得，；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
当，时，原方程组为：，方程组无解；
综上得，原方程组的解为：，
，
故选：C.
11.答案：D
解析：设T字框内处于中间且靠上方的数为，则框内该数左边的数为，右边的数为，下面的数为，所以T字框内四个数的和为.A选项，令框住的四个数的和为22，则，解得，，故本选项不符合题意.B选项，令框住的四个数的和为70，则，解得，，故本选项不符合题意.C选项，令框住的四个数的和为182，则，解得，，故本选项不符合题意.D选项，令框住的四个数的和为206，则，解得.因为，不能处在T字框内中间且靠上方的位置，所以框住的四个数的和不能为206，故本选项符合题意.
12.答案：C
解析：,
,
解得,故(1)正确；
,
,
,
,
,故(2)正确；
、n均取整数,
,,,
∴,,(舍去),(舍去),(舍去),(舍去)
∴m,n有2组整数解,故(3)正确；
∵,无论k取何值时,的值均不变,
,
∴或,故(4)不正确；
,
,
,
对任意有理数x、y都成立,
,故(5)正确；
综上所述：(1)(2)(3)(5)正确,
故选：C.
13.答案：65
解析：设标价是x元，根据题意有：
，
解得：.
故标价为65元.
故答案为：65.
14.答案：
解析：设原有生丝x斤，3斤12两斤，根据题意，得，解得.
15.答案：45
解析：因为，所以，所以.因为，所以，所以，故答案为45.
16.答案：
解析：,
得：,即：,
将代入①可得：,
所以.
故答案为.
17.答案：不是1480
解析：假设1002是“智慧数”,则可设(m、n都是正整数),
∴,
∵,
∴或或或,
解得(舍去)或(舍去)或(舍去)或(舍去),
综上所述,不存在正整数m、n使得,
∴1002不是“智慧数”；
∵,,
∴
,
∵M为偶数,
∴d为偶数,
∴c为偶数且不为0,
当时,,则,
∵是完全平方数,且,
∴当时,是平方数,
∴,
∴此时M表示的数为1480,
∵,
∴此时M是“智慧数”,符合题意；
当时,,则,
∵是完全平方数,且,
∴此时没有满足条件的b；
当时,,则,
∵是完全平方数,且,
∴此时没有满足条件的b；
当时,,则,
∵是完全平方数,且,
∴当时,是平方数,
∴,
∴此时M表示的数为3226；
∵,
∴当时,则或,
解得或,
∴不存在正整数s、t使得成立,
∴3226不是“智慧数”；
综上所述,M的值为1480,
故答案为：1480.
18.答案：1
解析：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
化系数为1，得.
∵的倒数是，
∴将代入方程，
则，
解得.
19.答案：(1)
(2)不论a取什么实数，的值始终不变
解析：(1)，
得到，，
，
，
解得.
(2)
得到：，
，
不论a取什么实数，的值始终不变.
20.答案：（1）A种型号的汽车每辆25万元，B种型号的汽车每辆10万元
（2）有三种购买方案：第一种方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车15辆；第二种方案：购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车10辆；第三种方案：购买A型号的汽车6辆，B型号的汽车5辆
解析：（1）设A种型号的汽车每辆x万元，B种型号的汽车每辆y万元，由题意得：
，
解得，.
答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，由题意得：
，
解得：，
m，n均为正整数，
或或，
因此，共有三种购买方案：
第一种方案：购买A型号的汽车2辆，B型号的汽车15辆；
第二种方案：购买A型号的汽车4辆，B型号的汽车10辆；
第三种方案：购买A型号的汽车6辆，B型号的汽车5辆.
21.答案：(1)
(2)或
(3)6或5或
解析：(1)∵,,
∴,,
∵四边形是长方形,
∴,,
当秒时,,
∴的面积为；
(2)分三种情况讨论,
①如图,
当P在上时,,
∵的面积等于,
∴,
解得,
∴P点坐标为；
①当P在上时,,如图,
∵点E是中点,
∴
∵的面积等于,
∴,
∴,
解得(不符合题意,舍去)；
③当P在上时,,如图,
∴,
解得,
∴,
∴点P的坐标为
综上可知,当的面积等于,P点坐标为或；
(3)由勾股定理,得,
①当时,
连接,
则,
∴P和A重合,
∴；
①当时,此时点P在上,
∴,
③当时,
过E作于H
则,,
∴,
∴,
解得,
综上,当为等腰三角形时,x的值为6或5或.
22.答案：(1)，，
(2)①40，-10
②存在；-90或
(2)存在，定值是390.
解析：(1)，，c的相反数是30
解得或10，，
由数轴可知：，
，，
(2)①根据数轴上两点之间的距离公式：；
若A、C两点重合，则折痕在数轴上所表示的点即为AC的中点，故折痕处在数轴上表示的数是；
②存在，求法如下
假设P点所表示的数为x，
当P在C左侧时，即，如下图所示：
，，
根据，
解得：.
若P在C、A之间时，即，如下图所示：
∴，，
根据
解得：，不符合前提，故舍去；
若P在A、B之间时，即，如下图所示：
∴，，
根据
解得：；
若P在B右侧时，即，如下图所示：
∴，，
根据
解得：，不符合前提，故舍去；
综上所述：P点在数轴上所对应的数是：-90或.
③存在，理由如下：
设运动时间为t，此时C表示的数为：，A表示的数为：，B表示的数为.
，，代入中得：
原式
为定值，即与t值无关，令t的系数为0即可，
，解得：
，代入得：
定值.
23.答案：(1)，
(2)，
(3)，3
解析：(1)依题意，，，
，，
则是“关联线”的“坐标点”的和；
(2)，是“关联线”的“坐标点”
即
由，得，
把代入①，得出
解得；
(3)已如m，是实数，且，
若是“关联线”的一个“坐标点”
则
整理得
则的最小值为3.
A包装
B包装
每盒面包个数
4
6
每盒价格/元
5
8