专题27 概率（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 列举法求概率
1.（2024•东营）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A．B．C．D．
2.（2024•济南）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．
►考向二 树状图、列表法求概率
1.（2024•德州）衣中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱中各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是 ．
2.（2024•济南）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
3.（2024•泰安）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ．
4. （2024•潍坊）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ．
5.（2024•山东）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A．B．C．D．
►考向三 公平性问题
1.（2024•青岛）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
►考向四 统计与概率的综合
1.（2024•东营）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率．
2.（2024•济宁）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
(1)请补全条形统计图：
(2)填空：______，______；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
3.（2024•日照）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表：
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
．甲、乙两班五个单项得分折线图：
．丙班五个单项得分表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
4.（2024•烟台）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)请补全条形统计图；
(2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；
(3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
5.（2024•淄博）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
(1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度；
(2)补全周家务劳动时间的频数直方图：
(3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
(4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率．
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东东营·期末）下列事件为必然事件的个数有（ ）
（1）在百分制测试中，小明的测试成绩为128分；（2）抛一枚硬币，落下后正面朝上；（3）边长为的长方形面积为；（4）367人中必有两人的生日在同一天．
A．4个B．3个C．1个D．2个
2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在两个全等的正方形纸片上，分别绘有大小不等的圆，其中正方形甲中圆的直径与正方形的边长相等，正方形乙中的四个圆互不重叠，其直径均为正方形边长的一半，所有圆均在相应正方形的内部．若向每个正方形中随机投掷一个点，在甲、乙两个正方形中点落在阴影部分的概率分别为、，则（ ）
A．B．
C．D．与正方形的边长有关，无法判断
3．（23-24七年级下·山东烟台·期末）某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（ ）
A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3
B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数
C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K
D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率
4．（2024·山东·模拟预测）小莹和小亮玩“抓纸牌”的游戏．在一个不透明的盒子里，有8张红桃、4张黑桃、a张方块．每张牌质地、大小都相同，一人摸牌，一人记录．经过多次的试验、数据的记录、平均值的计算，小莹和小亮发现摸出方块的频率越来越接近．请你估计a的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）在下面（ ）盒子中，摸到红球的可能性最大．
A．B．
C．D．
6．（2025·山东临沂·一模）生物课上学习了淀粉遇碘变蓝知识，为探究生活中常见蔬菜是否含有淀粉，甲、乙两名同学同时从土豆、玉米、黄瓜、芹菜四种蔬菜中随机抽取两种进行实验，则同时能观察到变蓝现象的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25九年级上·山东济南·期中）10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23九年级下·山东日照·开学考试）抛掷一枚质地均匀的图钉，图钉落地后，可能针尖朝上，也可能针尖朝下数学小组的同学进行抛掷图钉实验，得到如表实验数据，下列说法错误的（ ）
A．投掷次针尖朝上的次数是
B．投掷次的针尖朝上的频率是
C．任意投掷一枚图钉，针尖朝上的概率是
D．投掷2000次图钉，针尖朝上的次数大约有1100次
二、解答题
9．（24-25九年级上·山东威海·期末）商场举行促销活动，顾客购买满200元的商品后便可任选如下一种方案进行抽奖．
方案A：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中，随机摸出1个球后放回袋中，然后再随机摸出1个球，若两次均摸到红球，则获奖；
方案B：从装有2个红球、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中，随机摸出1个球后不放回袋中，然后再随机摸出1个球，若两次均摸到红球，则获奖．
作为顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？利用列表法或画树状图法说明理由．
10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）小颖为学校联欢会设计了一个“摸牌”游戏，游戏规则如下：准备，两组相同的牌，每组四张且大小一样，四张牌的牌面数字分别是，，，．将两组牌分别洗均后，牌面朝下放在不透明的桌面上，游戏者从，两组牌中各摸出一张牌，将组牌的牌面数字作为十位数字，组牌的牌面数字作为个位数字组成一个两位数，若这个两位数是偶数，则游戏者获胜．请运用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率．
11．（24-25九年级上·山东济南·期中）2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表．
一分钟跳绳成绩统计表
请根据以上信息，完成下列问题．
(1)随机抽取的学生人数为 人，统计表中的 ，统计图中B等级对应扇形的圆心角为 度；
(2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人?
(3)该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率．
12．（24-25九年级上·山东青岛·期中）“回文”是指正读反读都能读通的句子，是古今中外都有的一种修辞手法和文字游戏．例如“处处飞花飞处处，潺潺碧水碧潺潺”等．在数学中，如果一个正整数从左往右读与从右往左读都一样，那我们称之为回文数，例如11，22，121…都是回文数．
将牌面数字分别为0，1，2，3四张纸牌（除牌面数字外，其余均相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽取一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机抽取一张．将小明、小红抽取的数字分别作为一个四位数（该四位数的千位数字和个位数字均为2）的百位和十位数字．请用列表或画树状图的方法求组成的四位数是回文数的概率．
13．（21-22九年级·山东枣庄·自主招生）2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》（称为“双减”政策），该政策于2021年9月1日正式实施．为落实“双减”政策，学校开展了一系列校本课程兴趣活动．为了解学生参加“绘画”“思维训练”“乐器”“英语演讲”四类校本课程的情况，在全校进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了如下两幅统计图（图1、图2，信息尚不完整），请根据图中提供的信息，解答下面的问题．
(1)此次共调查了多少名学生？
(2)将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“英语演讲”部分所占的圆心角的度数．
(3)如果该校共有1800名学生，请估计参加思维训练课程的人数．
(4)李明、王丽两名同学都想从“绘画”“乐器”“思维训练”三类校本课程中选一类，请用列表或画树状图的方法求出两名同学恰好选择同一类校本课程的概率．
14．（2024·山东临沂·模拟预测）新春佳节，临沂琅琊古城吸引了众多外地市民前来寻找年味，快乐过节．作为山东文旅开年的扛鼎之作，琅琊古城自年月日起正式开城迎客，为临沂市再添文旅新地标．某学习小组对景点演出中的校场演兵、国秀琅琊、扶摇云裳、只此琅琊，这四个节目开展我最喜欢的演出节目调查．随机调查了部分游客，每位游客必须且只能选择这四个节目中的一个，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
(1)本次共调查了______名游客；并将条形统计图补充完整；
(2)组所对应的扇形圆心角为______度；
(3)若某天游客达到万人次，则该天喜欢国秀琅琊表演的旅客人数约为多少人？
(4)若某游客从中任选两个表演节目来观看，恰好选到国秀琅琊和只此琅琊的概率为多少？
15．（2024·山东青岛·模拟预测）周末，小军与小凯出去游玩，小军选择海滨公园，小凯选择海上游乐场．为统一意见，他俩决定通过游戏选择游玩目的地．游戏方法是：把除了标号不同，其他完全相同的标有1、2、3、4、5、6数字的六张卡片分成两组，数字朝下扣在桌面上，两组标号分别为1、3、4和2、5、6．然后小军从任意一组抽取一张，小凯从另外一组中抽取一张，如果两张卡片数字之和能被3整除，按小军意见选择，如果两张卡片数字之和能被2整除，则按小凯意见选择．请用树状图或表格法分析这个游戏是否公平？说明理由．课标要求
考点
考向
1．能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定随机事件发生的所有可能结果，了解随机事件的概率。
2. 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率。
概率
考向一 列举法求概率
考向二 树状图、列表法求概率
考向三 公平性问题
考向四 统计与概率的综合
考点 概率
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
调查目的
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式
随机问卷调查
调查对象
部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内）
调查内容
（1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤
（2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E．陶艺
调查结果

实验次数
针尖朝上次数
针尖朝上频率
成绩等级
一分钟跳绳次数
频数