专题02 整式及因式分解（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 幂的运算
1.（2024•德州）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
2.（2024•东营）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
3.（2024•济南）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、，选项运算错误，不符合题意；
D、，选项运算正确，符合题意；
故选：D．
4.（2024•泰安）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
►考向二 整式的概念
1.（2024•泰安）单项式的次数是 ．
【答案】
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【详解】解：单项式中，的指数是，的指数是，
∴此单项式的次数为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键．
►考向三 整式的运算
1.（2024•德州）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、同底数幂乘法、完全平方公式等知识，根据运算法则进行计算即可作出判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
2.（2024•东营）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，负整数幂，根据相关运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
3.（2024•济南）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、，选项运算错误，不符合题意；
C、，选项运算错误，不符合题意；
D、，选项运算正确，符合题意；
故选：D．
4.（2024•泰安）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并同类项，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
►考向四 整式的化简求值
1.（2024•济宁）已知，则的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到，代入进而即可求解
【详解】解：，
，
故答案为：2
2.（2024•济宁）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】
【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果．
此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
►考向五 代数式中的规律
1.（2024•泰安）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
►考向一 因式分解
1.（2024•德州）分解因式∶ ．
【答案】/
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
，用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
2.（2024•泰安）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
►考向二 完全平方式
1.（2024•德州）把多项式进行配方，结果为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
根据利用完全平方公式的特征求解即可；
【详解】解：
故选B．
2.（2024•淄博）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解，
，
，
故答案为：．
一、单选题
1．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）已知某游乐场过山车单次载客量为人，单日运行次，每日载客量为人．用含的代数式表示，如果过山车一日运行40次，每日载客量是（ ）人．
A．600B．800C．1000D．1200
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式及求代数式的值，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．根据某游乐场过山车单次载客量为人，单日运行次，列出代数式，把代入求解即可．
【详解】解：由题意得每日载客量为，
当时，（人），
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道：
小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（ ）
A．B．C．5D．13
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式的应用，将化为，即可求解．
【详解】解：
，
∵
∴，即的最大值为
故选：D．
二、多选题
3．（24-25七年级上·山东青岛·期中）（多选）下列说法中，不正确的是（ ）
A．多项式是五次三项式
B．都是代数式
C．x的次数是0
D．在中，整式共有4个
【答案】ACD
【分析】此题主要考查了代数式、多项式以及单项式．利用单项式的次数与系数的确定方法以及多项式的次数与系数的确定方法解答即可．
【详解】解：A、多项式是三次三项式，原说法错误，故此选项符合题意；
B、原说法正确，故此选项不符合题意；
C、x的次数是1，原说法错误，故此选项符合题意；
D、在中，，，不是整式，整式共有3个，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：ACD．
三、填空题
4．（24-25七年级上·山东济南·期中）将有理数x按照以下步骤进行计算：
第一步：代入多项式求值；
第二步：比较所求值与的大小；
第三步：如果所求值小于，那么直接输出结果，否则回到第一步．
当时，最后输出的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用操作步骤将代入进行运算，直到计算结果小于即可．
【详解】解：当时，原式；
继续输入，
原式，
∴最后输出的结果为．
故答案为：．
5．（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
四、解答题
6．（24-25七年级上·山东济南·期中）从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程叫做归纳．它是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略．
【问题】
在网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形．格点多边形的面积S与内部的格点数a和边上的格点数b（含顶点）是否存在一定的数量关系？
【特例感知】
小明利用归纳的策略完成以下探究．在正方形网格纸中（其中每一个小正方形的面积为1），绘制了以下几种简单的情形，分别为图1至图3．

以上情形的数据如下：
①处应填 ，②处应填 ；
由此发现规律：格点多边形的面积 ；（用含a，b的代数式表示），老师肯定了此规律的正确性．
【问题解决】
在任意格点多边形中，如果，，那么格点多边形的面积 ；
【联系拓广】
如图4，在等边三角形网格纸中（其中每一个小等边三角形的面积为1），格点多边形的面积S与多边形内部的点数a和多边形边上的点数b有新的数量关系．小明按照以上的归纳策略继续探究，得到图4中阴影三角形的面积为 ．
【答案】特例感知：9，10，；问题解决：16.5；联系拓广：10
【分析】此题考查的是格点多边形的面积问题，解决本题的关键是关键由特殊找出规律得出结论．
特例感知：观察图中特例计算出对应的数据，再由特殊情况计算找出规律即可得出结论；
问题解决：由特殊情况计算找出规律即可得出结论；
联系拓广：由特殊情况计算找出规律即可得出结论，再将图4中的a和b代入即可得解；
【详解】解：特例感知：
图2的面积，故①处应填9；
图3边上的格点数，②处应填10；
观察图1至图3数据可得；
故答案为：9，10，；
问题解决：
当，时，，
故答案为：16.5；
联系拓广：如图5、图6
图5、图6中正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，数据如下表：
观察表格数据可得：，
图4中，，，故，
故答案为：10．
7．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）（1）若多项式中不含项，求的值．
（2）若的小数部分是，若的小数部分是，求的平方根．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题主要考查多项式的无关项、估算无理数的大小、平方根等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）先将多项式整理，然后令项的系数为求解即可；
（2）先估算出的范围，进而可得，，求出，的值，然后代入求平方根即可．
【详解】解：（1），
由于多项式不含项，故，解得：．
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
8．（23-24七年级下·山东聊城·期末）（1）计算：；
（2）已知与的积与是同类项．
①求，的值；
②先化简，再求值：．
【答案】（1）；（2）①，；②，
【分析】本题主要考查整式的运算，同类项的定义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据整式除法的运算法则进行计算即可；
（2）①根据同类项的定义即可求出答案；②根据乘法公式化简求值．
【详解】解：（1）
；
（2）①.
因为与是同类项，
所以，，
所以，；
②
.
当，时，
原式．
9．（23-24七年级下·山东济南·期中）（1）计算：_______________________________；
（2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式：
图2：________________________________；
图3：________________________________；
（3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系；
做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即．
（4）如图5，在中，，是边上高，，求的长度．
【答案】（1）；（2），；（3）见解析；（4）
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，勾股定理的证明以及应用．
（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据图形的两种面积计算方法即可得出答案；
（3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证；
（4）先利用勾股定理求出，再根据等面积法即可求得．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）图二：；
图三：；
故答案为：，；
（3）证明：在图4中，
大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简得：．
（4）在中，
，
∴由勾股定理，得：，
，
，
，
．
10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）计算：
(1)
(2)
简便运算：
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算、乘法公式、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用幂的乘方、积的乘方、单项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式去括号，再计算整式加减即可
（3）提取公因式，再进行计算即可；
（4）利用完全平方公式因式分解即可计算．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
；
（3），
，
，
；
（4），
，
，
，
．
11．（23-24七年级下·山东淄博·期末）（1）化简：
①，
②．
（2）求下列各式的值：
①，其中，；
②，其中，．
【答案】（1）①；②；（2）①，；②；
【分析】本题考查整式乘法的混合运算以及化简求值．
（1）①根据平方差公式和积的乘方进行计算，再合并同类项即可；②根据完全平方公式展开，再进行单项式乘多项式和去括号，最后合并同类项即可；
（2）①先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可；②先去括号整理，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】解：（1）①
②
（2）①
∵，
∴原式
②
∵，．
∴原式
12．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）计算
(1)因式分解：；
(2)因式分解：；
(3)因式分解：；
(4)因式分解：；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了因式分解及分式的混合运算．
（1）利用提公因式法即可得出答案；
（2）先利用提公因式法再利用平方差即可得出答案；
（3）先利用提公因式法再利用因式分解即可得出答案；
（4）先利用平方差再利用因式分解即可得出答案；
【详解】（1）解：，
．
（2）解：，
，
，
．
（3）解：，
，
．
（4）解：，
，
，
．
13．（23-24八年级上·山东济宁·期末）观察下面因式分解的过程：
上面因式分解过程的第一步把拆成了，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．
（1）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将拆成，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，是某小区的一块空地，现要加以绿化，其中点O是空地内安装喷泉的位置，它到三边的距离相等，即．a，b，c为的三边，，的长，现测得米，米，米，米．
(1)这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为___________．
(2)利用因式分解求这块空地的面积．
【答案】(1)；
(2)424平方米．
【分析】本题考查列代数式，因式分解的应用：
（1）根据，列出表达式即可；
（2）提公因式法进行因式分解，再代值计算即可．
【详解】（1）解：∵点O到三边的距离为、、，
∴，，．
∵，
∴，，．
∵，
∴．
（2），
将米、米、米、米代入上式，
得：（平方米）．
答：这块空地的面积为424平方米．
15．（23-24八年级下·山东青岛·期末）类比推理是一种特殊的归纳推理，人们在探讨一些尚未观察到的事物性质时，以某些事物、道理之间存在相似性质为依据，推断出该事物可能与其他事物有着相似的性质，它是人类试图理解世界和做出决策的最常用方法之一．在日常数学学习中，我们常常借助类比推理研究新的知识，如：分式的基本性质与运算法则都是通过与分数类比得到的．
小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法：
即，所以．
【初步探究】
小明看到这样一道被墨水污染了无法辨认的因式分解题：，（其中□、☆分别代表被污染的系数和常数），他列出了下列竖式：
通过计算，求得：□所代表的系数是______，☆所代表的常数是______；
【深入探究】
小明用上述方法对多项式进行因式分解，得到：（※）（※代表一个多项式），则※所代表的多项式为______；
【拓展应用】
我们知道，若则或，例如：，则或，由此我们可以求出关于x的方程的一个解为，另一个解为．结合上述信息解答下列问题：
（1）若关于x的方程的一个解为，则另一个解为_____；
（2）若关于x的方程有两个解为，，则第三个解为______．
【答案】初步探究：；深入探究：；拓展应用：（1）；（2）
【分析】本题考查因式分解、二元一次方程组的求解、归纳与类比，会利用类比的方法，关键在于掌握类比推理的思想方法．
初步探究：根据，即可求解；
深入探究：对该多项式列出竖式进行因式分解，即可求解※所代表的多项式；
拓展应用：（1）将方程左边进行因式分解，即可得到另一个解；
（2）将方程左边进行因式分解，即可得到第三个解；
【详解】解：初步探究：根据题意，，，
解得：，；
深入探究：根据题意，列出竖式如下：
则※所代表的多项式为：；
拓展应用：（1）∵关于x的方程的一个解为，
则将方程左边进行因式分解，得到其中一个因式为，列竖式如下图：
则，则另一个解为；
（2）∵关于x的方程有两个解为，，
则将方程左边进行因式分解，得到其中两个因式为，列竖式如下图：
则，则第三个解为．
课标要求
考点
考向
1．借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义．
2．能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示;能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.．
3．会把具体数代入代数式进行计算．
4．了解整数指数幂的意义和基本性质.
5．理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则;能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算(多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)．
6．理解乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，(a士b)2=a2士2ab+b2,了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．
7．能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数为正整数)．
整式
考向一 幂的运算
考向二 整式的概念
考向三 整式的运算
考向四 整式的化简求值
考向五 代数式中的规律
因式分解
考向一 因式分解
考向二 完全平方式
考点一 代数式
解题技巧

易错易混
去括号法则：
（1）括号前是“+”时，去掉括号后，括号中的项不变号。
（2）括号前是“-”时，去掉括号后，括号中的项变号。
解题技巧
有时采用整体代入是思想，会使得做题可能更快、更简单.
考点二 因式分解
解题技巧
（1）因式分解与整式乘法是互逆运算，可以利用整式乘法检查因式分解结果是否正确.
（2）因式分解时，首选提取公因式，提完后，再考虑公式法因式分解.
（3）注意因式分解的结果是否彻底.
形如的式子称为完全平方式
a
b
S
图1
1
6
3
3
图2
6
8
4
①
图3
6
②
5
10
a
b
S
图5
7
3
6
11
图6
8
1
2
8
图n