专题03 分式及分式方程（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 分式值为0或有意义
1.（2024•济南）若分式的值为0，则的值是 ．
2.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
►考向二 分式的化简计算
1.（2024•德州）化简：
2.（2024•东营）计算：．
3.（2024•泰安）化简：．
4.（2024•泰安）计算： ．
►考向三 分式化简求值
1.（2024•青岛）先化简，再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
2.（2024•日照）先化简，再求值：，其中x满足．
3.（2024•潍坊）先化简，再求值：，其中．
4.（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
5.（2024•淄博）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）

►考向一 解分式方程
1.（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
►考向二 分式方程的实际应用
1.（2024•东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的．小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少．设该市去年居民用水价格为，则可列分式方程为 ．
2.（2024•泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
3.（2024•泰安）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
►考向三 分式方程与一次函数的综合应用
1.（2024•德州）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
2.（2024•青岛）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
1. （2024•日照）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
一、单选题
1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是分式
B．对于任意实数，总有意义
C．将式子写成分式的形式是
D．分式的分子为0，则分式的值为0
2．（2024·山东临沂·模拟预测）当比多1时，（ ）
A．4B．6C．D．
二、多选题
3．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）将分式进行变形，变形1是将分式的分子和分母都缩小为原来的，变形2是将分子和分母中x、y的值都扩大到原来的3倍，则关于两种变形说法错误的是（ ）
A．变形2的结果是原来的3倍B．变形1的结果缩小为原来的
C．变形1和变形2的结果相等D．变形2的结果是变形1结果的12倍
4．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）下面说法中正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
C．若a，b满足，且恰好是等腰两条边的长，则的周长为12或15
D．若关于的分式方程会产生增根，则k的值是5
三、填空题
5．（2024八年级·竞赛）已知的小数部分为a．则 ．
6．（24-25八年级上·山东济南·期中）阅读下列材料：
我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是“假分式”；再如，这样的分式就是“真分式”．“假分式”也可以化为“带分式”．如：．
解决问题：分式是 （填“真分式”“假分式”），“假分式”化为“带分式”为 ．
四、解答题
7．（24-25八年级上·山东烟台·期中）“一题多解”能够培养和锻炼发散思维，在我们解决问题时思路会朝着各种可能的方向扩散，从而灵活的得到创新性的方法．先阅读下列解法，再解答后面的问题：
已知：，求、的值
解法一：
右边整理为：
所以可得：，即，解之得：
解法二：
当时，原等式整理为：，即：
当时，原等式整理为：，即：
所以：即，解之得：
请认真学习材料中的方法，解决下列两个问题．要求两个解法都要用到：若（1）题用解法一，那么（2）题要用解法二；或者（1）题用解法二，那么（2）题要用解法一．
(1)若：，请求出：、的值；
(2)若：，请求出：、的值
8．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：．
9．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）化简：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
10．（2024·山东滨州·一模）（1）先化简，再求值：，从中选出合适的的整数值代入求值．
（2）①作图题：（尺规作图，保留作图痕迹．）
已知：在中，，，．

求作：点，使点在内部，且，．
②在①的条件下，______．
11．（2024·山东潍坊·一模）先化简再求值：，已知．
12．（24-25八年级上·山东淄博·期中）某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金相同．已知每间房屋的租金第二年比第一年多元，所有房屋出租的租金第一年为万元，第二年为万元．请根据上述情景，提出一个问题，并尝试用分式方程的知识加以解决．
13．（24-25八年级上·山东泰安·期中） 近两年来，中国电动汽车因节能省钱优势，市场占有率和销量连续上升．下图中 分别是某汽车品牌制造企业对公司生产的燃油汽车和电动汽车使用费用y(单位：元)与行驶路程x(单位：百千米)的关系．已知燃油车每百千米所需费用是纯电动汽车每百千米所需费用的5倍还多5 元．请你根据信息计算纯电动汽车每百千米耗电费用是多少元．
14．（24-25八年级上·阶段练习）《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案：
(1)任务一中横线①处应填________，横线②处应填________．
(2)完成任务二．
15．（2024·山东聊城·三模）某便利店采购 A，B两种商品的总金额分别是7200元和3200元，A商品比B商品多进了40件，同时A商品进价比B商品进价每件高出
(1)求A，B两种商品的进价分别是多少？
(2)在A，B两种商品的进价不变的条件下，若A的售价为85元/件，B的售价为55元/件， 便利店购进A，B商品共200件，要使总利润不低于4500元的情况下，A商品最少购进多少件？
课标要求
考点
考向
了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分;能对简单的分式进行加、减、乘、除运算．
能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程; 能解一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程.
分式
考向一 分式值为0或有意义
考向二 分式的化简计算
考向三 分式化简求值
分式方程
考向四 解分式方程
考向五 分式方程的实际应用
考向六 分式方程与函数、方程的综合应用
考点一 分式
易错易混
若，应同时满足 .
易错易混
（1）代入的值，应使得本题算式有意义，而不是只看化简后的式子有意义.
（2）有时结合整体的思想，代入求值时更简单.
考点二 分式方程
易错易混
求出解后不要忘记检验是否为增根.
项目情景
国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国母亲生日献礼．同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆栽等任务
素材一
采购小组到市场上了解到每枝种花卉比每枝种花卉便宜3元，用600元购买的种花卉数量为用240元购买的种花卉数量的2倍
任务一
小组成员甲设用240元购买的种花卉的数量为，由题意得方程： ① ；
小组成员乙设 ② ，由题意得方程：
素材二
插花时，技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二
求的值