专题13 二次函数的综合应用（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 最值问题
1.（2024•德州）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(2)如果当时，的最大值为4，求的值．
2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
3.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式；
4.（2024•威海）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．
(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范围；
(3)当时，最大值与最小值的差为，求b的值．
►考向二 交点问题
1.（2024•德州）已知抛物线，为实数．
(1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标．
(3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围．
2.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）．
(1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
►考向三 线段问题
1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
(1)分别求抛物线和的表达式；
(2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；
2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
3.（2024•东营）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
►考向四 角度问题
1.（2024•烟台）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．
(1)分别求抛物线和的表达式；
(3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2024•淄博）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
►考向五 三角形问题
1.（2024•泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
►考向六 四边形问题
1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
►考向七 面积问题
1.（2024•济南）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
2.（2024•济宁）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2024•青岛）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
4.（2024•日照）已知二次函数（a为常数）．
(3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P．
①求证：点P在一条定直线上；
②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由．
一、解答题
1．（2024·山东潍坊·二模）如图1是一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形，称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径，圆心，抛物线部分的最大值为．
(1)求“蛋圆”中的抛物线的表达式及线段的长．
(2)如图2，连接，点P为线段BD上方“蛋圆”上一点，过点P作交于点E，交于点F，求的最大值．
(3)点Q为“蛋圆”上任意一点，过点Q作交于H，是否存在点Q使得和相似．若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象交x轴于，B4,0两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向终点B运动．当点P运动到线段上时，过点P作轴，交线段于Q，交抛物线于点D，设运动的时间t秒．

(1)求a，b的值．
(2)连接，当t为何值时的值最大，此时的面积为多少？
(3)作线段的垂直平分线交直线于点M，连接，随着点P的运动，当点M在直线的上方且时，求点D的坐标．
3．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为．
(1)求抛物线M的表达式和点A的坐标；
(2)点F是线段上一动点，求周长的最小值；
(3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标．
4．（24-25九年级上·山东济宁·期中）已知：抛物线经过A-2,0，与直线交x轴于点B，交y轴于点C，点P是抛物线对称轴上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的值最小时，求点P的坐标；
(3)在线段下方抛物线上一点F，连接，当面积最大时，求F点坐标及面积最大值．
5．（2024·山东青岛·模拟预测）矩形中，E为中点．点从A点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时点从点出发，同样以每秒1个单位的速度沿向点运动．过作垂直于AD于，过作垂直于于，连接、．两点同时出发，一点到达终点，两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)是否存在某一时刻，使、、三点共线？是否存在某一时刻，？（选作一题）
(2)设的面积为，求与的关系式，并求是否存在某一时刻，面积最大？如果存在，求出面积最大值，如果不存在，说明理由．
(3)是否存在某一时刻，使得位于的垂直平分线上？如果存在，求值；如果不存在，说明理由．
(4)连接，是否存在某一时刻，使平分？是否存在某一时刻，使平分？如果存在，请求出值；如果不存在，说明理由．（选作一题）
6．（2024·山东烟台·一模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，并且经过不同的两点、，当时，总有．直线l经过点B和点C，点D为抛物线的顶点，连接．
(1)求b的值；
(2)请求出四边形的面积；
(3)直线l绕点C逆时针旋转，与直线重合时终止运动，在旋转过程中，直线l与线段交于点P，点P与点A、B不重合，点M为线段的中点．
①过点P作于点E，于点F，连接，在旋转的过程中的大小是否发生变化，若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由；
②在①的条件下，连接，直接写出线段的最小值．
7．（2024·山东济南·模拟预测）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值；
(2)点D是直线下方抛物线L上一动点，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，，垂足为F．证明是直角三角形．
8．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知抛物线的图象是由抛物线的图象平移得到，且与x轴交于A，B两点，C为第四象限抛物线上一动点，连接，作轴于D，设C点横坐标为m．

(1)求A、B两点坐标；
(2)求的最大值；
(3)当时，
①在抛物线上找一点N，使的内心在x轴上，求点N的坐标；
②M是抛物线对称轴上一动点，在①的条件下，是否存在点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
10．（22-23九年级上·山东滨州·期中）如图，抛物线与轴交于、，与轴交于．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，且，求点的坐标；
(3)已知线段DE与线段关于平面内某点成中心对称，其中DE的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，求出落在抛物线上的点的坐标．
参考：若点、，则线段的中点坐标为．
11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线；与x轴交于点A和C，与y轴交于点B．点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交线段于点M，已知点，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求当M是中点时的P点坐标；
(3)作，垂足为N，连接，．
请从下列两个问题中任选一个问题完成．
问题①：求的最大值；问题②：求的面积最大值．
(4)连接，当x为何值时，四边形为平行四边形？四边形能为菱形吗？若能求出P点坐标；若不能，说明理由．
12．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标；
(3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图）
13．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，抛物线经过点，且交轴于点，点是轴正半轴上的动点，交抛物线于点，轴交线段的延长线于点，作直线，交轴于点，交轴于点
(1)求抛物线的解析式．
(2)当为何值时，点恰好与点重合
(3)当时，请直接写出线段的值．
14．（2024·山东济宁·二模）如图，直线与经过原点的抛物线相交于点，，与轴、轴分别相交于点，，抛物线与轴另一个交点为，点的坐标为，点在第一象限内且到轴、轴的距离相等．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限内，是抛物线上一动点．当以点为圆心，以为半径的圆与直线相切于点时，求点的坐标；
(3)在第一象限内，抛物线的对称轴上是否存在一点，使的内心也在抛物线的对称轴上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2024·山东日照·二模）如图（1），二次函数的图象经过点．把过A，C两点的直线绕点A旋转，旋转过程中记作直线l，l与抛物线的交于点P．

(1)①求这个二次函数的解析式；②若直线l始终与线段有交点，点B，C到直线l的距离分别为，求的最大值，并说明理由；
(2)如图（2），当点P是抛物线的顶点时，过P作于H．若点Q在对称轴右侧的抛物线上，过点Q作于M，与相似，求点Q的坐标．
(3)直线l与的夹角为（为锐角），若，直接写出点P的坐标．
课标要求
考点
考向
1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系．
3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题．
4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
综合应用
考向一 最值问题
考向二 交点问题
考向三 线段问题
考向四 角度问题
考向五 三角形问题
考向六 四边形问题
考向七 面积问题
考点 综合应用
解题技巧
已知线段端点
若AB∥x轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标即可；
若AB∥y轴，则，，如果能确定A,B两点的相对位置，则线段的长不需要加绝对值，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标即可；
若AB既不是水平的线段，也不是竖直的线段，则需要利用勾股定理求长，
易错易混
满足已知三角形条件的动点位置可能不止一个，应该考虑到所有情况；
不要忽略三角形存在的条件，比如是否满足两边之和大于第三边.
解题技巧
（1）求三角形的面积时，如果有一条边平行于x轴或者y轴，则一般以它为底进行求解；
（2）若所求多边形各顶点坐标已知，则可以利用间接法，过各顶点作水平或者竖直的线，通过“大-小”或者“小+小”即可求解.