专题04 二次根式（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）(原卷版+解析版)

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►考向一 有意义
1.（2024•烟台）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
►考向二 二次根式的相关运算
1.（2024•济宁）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.（2024•泰安）计算： ．
3.（2024•淄博）计算： ．
►考向三 二次根式中的规律问题
1.（2024•德州）观察下列等式：
……
则的值为 ．
一、单选题
1．（23-24九年级下·山东日照·期中）以下说法：①与是同类二次根式；②长度等于半径的弦所对的圆周角为；③若式子有意义，则实数m的取值范围是；④若直线不经过第三象限．则．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，，向量可表示为．若，，这两个向量互相垂直的条件是．下列三组向量：，；、；、互相垂直的向量有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）若边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作，边长为的正方形的面积记作……按照此规律，的值是（ ）
A．B．36C．38D．40
二、解答题
4．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知．
(1)计算：当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
当时，___________，___________；
(2)猜想：无论为任何非负数时，___________始终成立（填“”，“”，“”，“”或“”）；
(3)请说明（）中猜想的合理性．
5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，矩形的边在轴的正半轴上，点坐标为，，，且满足．问取何值时是直角三角形？
6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）以下是某同学化简二次根式：的运算过程：
(1)上面的运算过程中第一步出现了两个错误，分别是：①______，②______；第二步出现了一个错误：③______．
(2)请你写出正确完整的解答过程．
7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料：
，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．
请运用上面的知识解决下列问题：
(1)指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子；
(2)通过化简，比较和的大小关系；
(3)已知，．
①求a的值；
②结合①的结果，解方程：．
8．（2024·山东青岛·三模）阅读材料，完成下列小题．
集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象．集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论（最原始的集合论）中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素．现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体．
我们把这个抽象的概念具体化：关于1+1= 这个算式答案的集合，我们表示为{2}．
交集指的是两个集合的共同部分，用“∩”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的交集就是{3}
并集指的是把两个集合合并在一起，用“∪”表示；比如“小于4大于1的实数”这个集合与“小于5大于2的实数”的并集就是{4，3，2}
【开胃小菜】请表示不等式组的解集．
【拓展延伸】集合论在离散数学中有着非常重要的地位．对于非空集合和，定义和集，用符号表示和集内的元素个数．
(1)已知集合，，，若，求的值；
(2)记集合，，，为中所有元素之和，n是正整数，求证：；
(3)若与都是由个整数构成的集合，且，证明：若按一定顺序排列，集合与中的元素是两个公差相等的等差数列．
【知识卡片】“∈”的意思是属于，的意思是正整数．
课标要求
考点
考向
了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
二次根式
考向一 有意义
考向二 二次根式的相关运算
考向三 二次根式中的规律问题
考点 二次根式
易错易混
对于，a需要满足,二次根式才有意义;对于，a可以取任意实数.
易错易混
二次根式计算的最后结果应保证所有二次根式是最简二次根式.
解：原式…第一步
…第二步
…第三步