河南省周口市项城市2025届高三下学期3月联考数学试卷（含答案）

这是一份河南省周口市项城市2025届高三下学期3月联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={−2,−1,0,1,2}，集合A=x∈Nx2≤2，则∁UA=( )
A. {−2,−1,0}B. {−2,2}C. {−2,−1,0,2}D. {−2,−1,2}
2.已知z=2+i1+i，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为n的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则n=( )
A. 20B. 30C. 40D. 48
4.设正项等比数列an的前n项和为Sn，若a1=1，a3−2a1=a2，则S6=( )
A. 31B. 32C. 63D. 65
5.已知直线l的斜率为1，若l与圆(x− 2)2+y2=1和曲线y=ex−a均相切，则a=( )
A. 1B. 1+2 2C. 1或1−2 2D. 1或1+2 2
6.设双曲线C:x2−y23=1的右焦点为F，C上一点P到y轴的距离为23PF，则点P的横坐标为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
7.已知A，B是半径为2的圆O上的两点，动点P满足OP=1，则AP⋅AB的最小值为( )
A. −14B. −12C. −1D. −2
8.设函数f(x)=(x3−ax+2)(lnx−ax)，若f(x)≤0，则a的取值范围为( )
A. 1e,+∞B. 1e,3C. [3,+∞)D. 0,1e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆锥SO的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则( )
A. 该圆锥母线与底面所成角为60 ∘B. 该圆锥的体积为8 3π3
C. 该圆锥侧面展开图的面积为4πD. 该圆锥侧面展开图为半圆
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ0，则m的最小值为π6
11.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，O为坐标原点，P，Q在C上(不与O重合)，满足PO⋅PQ=0，则( )
A. 当PF垂直x轴时，PF=2B. F可能是△OPQ的重心
C. P，F，Q不可能共线D. ▵OFQ面积的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α为第二象限角，若tanα=−43，则csα−π4= ．
13.若函数f(x)=(x−1)bex−1+1−1的图象关于直线x=1对称，则b= ．
14.已知数列an满足a1=0，an+1−an=dn，其中dn等可能取−1，0，1，设“a4+a6=0”为事件A，则P(A)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=AD=PD=2AB=2，PB= 5．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若CD=CA=2，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，点A1,32在C上．
(1)求C的标准方程；
(2)若点B与A关于坐标原点对称，点P在C上，求▵ABP面积的最大值及此时P的坐标．
17.(本小题15分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2acsB−bcsA．
(1)若C=π2，求csA；
(2)若a2+b2= 10，求▵ABC面积的最大值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=e2x−2aex．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若当x≥0时，f(x)≥x2−2a+1恒成立，求a的取值范围；
(3)当a>0时，若fx1=fx2x2>x1，证明：ex2−ex1x2−x1b>0，得a=2b= 3c=1，则C的标准方程为x24+y23=1．
(2)点B与A关于坐标原点对称，则直线AB的方程为y=32x，且AB=2OA= 13，
设点P2csθ, 3sinθ,θ∈0,2π，则点P到直线AB的距离d=6csθ−2 3sinθ 13=4 3csθ+π6 13，
因4 3csθ+π6∈−4 3,4 3，则4 3csθ+π6∈0,4 3，d∈0,4 3 13，
则S△ABP=12×AB×d= 132d≤ 132×4 3 13=2 3，
因θ+π6∈π6,13π6，则当4 3csθ+π6=4 3时，
θ=5π6或11π6，此时点P− 3, 32或 3,− 32．
故▵ABP面积的最大值为2 3，此时P的坐标为− 3, 32或 3,− 32．

17.解：(1)由c=2acsB−bcsA，可得sinC=2sinAcsB−sinBcsA，
所以sinA+B=2sinAcsB−sinBcsA，
所以sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB−sinBcsA，
所以sinAcsB=2sinBcsA，
因为C=π2，所以sinAcsπ2−A=2sinπ2−AcsA，
所以sin2A=2cs2A，又sin2A+cs2A=1，所以3cs2A=1，
因为C=π2，所以A∈0,π2，所以csA= 33．
(2)由(1)可得sinAcsB=2sinBcsA，
若csB=0，则csA=0，显然不符合题意，所以csB≠0,csA≠0，
所以tanA=2tanB，所以A,B均为锐角，
过C作CN⊥AB于N，所以CNAN=2×CNBN，所以BN=2AN，
设AN=x，则BN=2x，所以 b2−x2= a2−4x2=CN，
所以3x2=a2−b2，又a2+b2= 10，所以2a2= 10+3x2，即2a2−3x2= 10，
所以S▵ABC=12×AB×CN=12×3x× a2−4x2=32 10× 5x× 2a2−8x2
≤32 10× 5x2+ 2a2−8x222=32 10×5x2+2a2−8x22=34，
当且仅当 5x= 2a2−8x2，即x2= 1010，a2=13 1020时取等号．
所以▵ABC面积的最大值为34．


18.解：(1)当a=1时，f(x)=e2x−2ex，求导得f′(x)=2e2x−2ex，
令f′(x)=2e2x−2ex=2exex−1=0，解得x=0，
当x0，
所以x=0时，f(x)取得极小值，
极小值为f(0)=e0−2e0=−1，无极大值；
(2)由f(x)≥x2−2a+1，可得e2x−2aex≥x2−2a+1，
令g(x)=e2x−2aex−x2+2a−1，则g′(x)=2e2x−2aex−2x，
令ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，
当x0，函数ℎ(x)=ex−x−1在0,+∞上单调递增，
所以ℎ(x)≥ℎ(0)，所以ex−x−1≥0，所以ex≥x+1，
当a≤0时，所以g′x=2e2x−2aex−2x≥22x+1−2x−2aex=2x+2−2aex>0，
函数g(x)在[0,+∞)单调递增，则g(x)≥g(0)=e0−2ae0−02+2a−1=0，
所以不等式恒成立，
当02(x+1)(x+1−a)−2x
≥2(x+1)x−2x=2x2>0，
所以函数g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=e0−2ae0−02+2a−1=0，
所以不等式恒成立，
当a>1时，令mx=2e2x−2aex−2x，m′x=4e2x−2aex−2，
令nx=4e2x−2aex−2，n′x=8e2x−2aex=2ex(4ex−a)，
存在x0=lna4，使得n′x0=0，在x∈0,x0，n′x