2024-2025学年河南省项城市第三高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省项城市第三高级中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法种数有( )
A. 24B. 36C. 48D. 60
2.若C103=C10r，则r=( )
A. 4B. 7C. 3或7D. 4或7
3.已知随机变量η，ξ满足η=3ξ+1，且P(ξ≥2)=0.9，则P(η1)=0.72，则P(X≥5)=( )
A. 0.28B. 0.36C. 0.72D. 0.56
6.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a，样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)的残差为( )
A. −1.5B. 1.5C. 0.5D. −0.5
7.一箱猕猴桃共有20个，其中有若干个为烂果(烂果率低于50%)，从这一箱猕猴桃中任取2个，恰有1个烂果的概率为4295，则这箱猕猴桃的烂果个数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.设2a=6−ln3，40.5b=2e−1，c=lg2(4−ln2)，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于随机变量X，下列说法正确的有( )
A. 若E(X)=1，则E(2X−1)=1B. 若D(X)=1，则D(2X−1)=4
C. 若X∼N(2,4)，则E(X)=4D. 若X∼B(10,0.5)，则E(X)=5
10.下列说法正确的是( )
A. 残差的平方和越小，模型的拟合效果越好
B. 若随机变量X～B3,23，则DX+13=1
C. 数据2，3，5，8，13，21，34的第80百分位数是21
D. 一组数x1，x2，…，xn(n∈N∗)的平均数为a，若再插入一个数a，则这n+1个数的方差不变
11.已知函数f(x)=x2−3x+lnx，则( )
A. f(x)的极小值为−2
B. f(x)有两个零点
C. 存在a使得关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根
D. fx2>f(x)的解集为(1,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为r1=−0.96,r2=0.92,r3=0.89，则这三人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
13.已知P(A)=58,P(B|A)=35,PB|A=13，则P(B)= ．
14.若对任意的x1,x2∈(m,+∞)，不等式x1lnx2−x2lnx1x1−x2>3恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求值：(用数字作答)
(1)A125A73−2C74
(2)C33+C43+⋅⋅⋅+C123
16.(本小题15分)
新高考“3+3”模式中，考生除语文、数学、外语3门必考科目外，需从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门中自主选择3门作为选考科目，某研究机构为了解学生对全文(政治、历史、地理)的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男、女生各25人进行模拟选科.经统计，选择全文的男生有5人，选择全文的女生有15人．
(1)估计高一年级的男生选择全文的概率；
(2)请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择全文与性别有关．
附表：
(参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx−2x．
(1)求曲线y=f(x)在点1,f(1)处切线的方程；
(2)求函数g(x)=f(x)+3x−4lnx−2x的极值．
18.(本小题17分)
某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数(单位：千人)如下：
(1)建立y关于x的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；
(2)该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为34、14，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为15，出景区与进入景区选择不同的门的概率为45.假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率．
附：参考数据：i=15xiyi=72,i=15xi2=55,y=4．
参考公式：回归直线方程y=bx+a，其中b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx．
19.(本小题17分)
11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少2分领先者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每一球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行一场五局三胜且每局制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球．假设甲发球时甲得分的概率为34，乙发球时乙得分的概率为23，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．已知第一局目前比分为10：10，且接下来轮到甲发球．
(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；
(2)求第一局比赛甲获胜的概率p0；
(3)现用P0估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.C
5.A
6.B
7.C
8.A
9.ABD
10.AC
11.AC
12.甲
13.12/0.5
14.[e4,+∞)
15.(1)A125A73−2C74=12×11×10×9×87×6×5−2×7×6×5×44×3×2×1=26787．
(2)C33+C43+⋅⋅⋅+C123
=C44+C43+⋅⋅⋅+C123
=C54+C53+⋅⋅⋅+C123
=⋯=C134=13×12×11×104×3×2×1=715．
16.(1)由题意可知抽取的25名男生中，选择全文的有5人，
故高一年级的男生选择全文的概率为：525=15．
(2)列联表如下：
根据列联表中的数据得，χ2=50(5×10−15×20)225×25×30×20≈8.333>7.879，
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择全文与性别有关．
17.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−2，
所以f′(1)=−1，又f(1)=−2，
所以y=f(x)在点1,f(1)处切线的方程为：y−(−2)=(−1)(x−1)，
化简得：x+y+1=0．
(2)由题意，g(x)=f(x)+3x−4lnx−2x=x−3lnx−2x，x∈(0,+∞)．
g′(x)=1−3x+2x2=x2−3x+2x2=(x−1)(x−2)x2，
令g′(x)=0，解得x=1或x=2，列表如下：
由表可知，函数g(x)的极大值为g(1)=1−3ln1−21=−1；
极小值为g(2)=2−3ln2−22=1−3ln2．
18.(1)依题意，x=1+2+3+4+55=3，而i=15xiyi=72,i=15xi2=55,y=4，
则b=i=15xiyi−nxyi=15xi2−nx2=72−5×3×455−5×32=1.2，a=4−1.2×3=0.4，
因此y=1.2x+0.4，当x=10时，y=1.2×10+0.4=12.4，
所以y关于x的回归直线方程为y=1.2x+0.4，第10天进入该景区参观的人数约为12.4千人．
(2)记“甲从西门进入景区”为事件A，“甲从西门出景区”为事件B，“乙从西门出景区”为事件C，
P(A)=14,P(A)=34，P(B|A)=15,P(B|A)=45，
由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=15×14+34×45=1320，同理P(C)=1320，
所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率P(BC)=P(B)P(C)=169400．
19.(1)依题意知，X的所有可能取值为0，1，2；
P(X=0)=14×23=16，P(X=1)=34×23+14×13=712，P(X=2)=34×13=14，
所以X的分布列为：
X的均值为E(X)=0×16+1×712+2×14=1312；
(2)设第一局比赛甲获胜为事件B，平局后每次再打两个球后甲新增的得分为Z，
则P(B|Z=0)=0，P(B|Z=1)=P(B)，P(B|Z=2)=1；
由(1)知，P(Z=0)=16，P(Z=1)=712，P(Z=2)=14，
由全概率公式得，P(B)=P(Z=0)P(B|Z=0)+P(Z=1)P(B|Z=1)+P(Z=2)P(B|Z=2)
=16×0+712P(B)+14，
解得P(B)=35，即第一局比赛甲获胜的概率p0=35；
(3)由(2)知p0=35，所以估计甲每局获胜的概率均为35，
根据五局三胜制的规则，设甲获胜时的比赛总局数为Y，
因为每局的比赛结果相互独立，所以Y的所有可能取值为3，4，5，
所以P(Y=3)=353=27125，P(Y=4)=C31×353×25=162625，P(Y=5)=C42×353×252=6483125；
所以该场比赛甲获胜的概率为P=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=21333125．
选择全文
不选择全文
总计
男生
女生
总计
PK2≥k
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
日期
3月5日
3月6日
3月7日
3月8日
3月9日
第x天
1
2
3
4
5
参观人数y
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9
选择全文
不选择全文
总计
男生
5
20
25
女生
15
10
25
总计
20
30
50
x
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,+∞)
g′(x)
+
−
+
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
X
0
1
2
P
16
712
14