2025年重庆市中考数学模拟试卷附答案

这是一份2025年重庆市中考数学模拟试卷附答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．−12024D．12024
2．（4分）如图所示的是四个物理实验工具的简图，从左到右依次是小车、弹簧、钩码、三极管，其中是轴对称图形的是（ ）
A． 小车B． 弹簧
C． 钩码D． 三极管
3．（4分）反比例函数y=6x的图象一定经过的点是（ ）
A．（2，4）B．（﹣1，6）C．（﹣2，3）D．（2，3）
4．（4分）如图，△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，若AA′＝3OA′，B′C′＝5，则BC的长为（ ）
A．15B．20C．10D．5
5．（4分）如图，∠AOB＝50°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（ ）
A．50°B．100°C．120°D．130°
6．（4分）估计12×13+10÷2的运算结果应在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
7．（4分）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律连线组成的，其中第①个图形一共有4个实心圆点，第②个图形一共有7个实心圆点，第③个图形一共有10个实心圆点，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）
A．16B．19C．21D．23
8．（4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形的边长是（ ）
A．3B．2+1C．3+6D．6+22
9．（4分）如图，扇形AOB中，OA＝2，C为AB上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π3−3B．2π3−23C．4π3−3D．4π3−23
10．（4分）由n（n≥2）个正整数组成的一列数，记为x1，x2，x3，⋯xn，任意改变它们的顺序后记作y1，y2，y3⋯yn，若M＝（x1+y1）（x2+y2）（x3+y3）⋯（xn+yn），下列说法中正确的个数是（ ）
①若x1＝2，x2＝4，x3＝6⋯xn＝2n，则M一定为偶数；
②当n＝3时，若x1，x2，x3为三个连续整数，则M一定为偶数；
③若M为偶数，则n一定为奇数；
④若M为奇数，则n一定为偶数；
A．4B．3C．2D．1
二、填空题(本大题8个小题，每小题4分，共32分)
11．（4分）计算：|−2|−38+2−1= ．
12．（4分）n边形的每个外角都等于45°，则n＝ ．
13．（4分）在一个不透明的袋子里装有除标号外完全相同的三个小球，小球上分别标有数字1、2、3，从袋子中随机抽取一个小球并记下数字后放回，将袋子摇匀，再随机抽取一个小球记下数字，则两次记下的数字之和是奇数的概率为 ．
14．（4分）随着国家“惠民政策”的出台，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，则该种药品平均每次降价的百分率为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，高AD，CE交于点H．若AB＝19，CE＝12，则CH＝ ．
16．（4分）已知关于y的分式方程2−a−51−y=−2y−1的解为非负整数，且关于y的不等式组2y−a＞3y+112≤12有解且至多有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
17．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．若∠ACD＝25°，AC＝8，BC＝6，则∠ABC＝ ；⊙O的半径r＝ ．
18．（8分）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数m1，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数m2，记F（m）=m1+m21111．若s，t都是“同和数”，其中s＝5400+10y+x，t＝1000f+100e+76（1≤x，y，e，f≤9），且x，y，e，f都是正整数，规定：k=F(s)F(t)，用含“x，f”的代数式表示k＝ ，当F（s）+F（t）能被20整除时，k的所有取值之积为 ．
三、解答题(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)
19．计算：
（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）；
（2）(1a+3+1a2−9)÷a−22a+6．
20．随着全球气候变暖，极端天气事件的频繁发生，环境保护牵动着全世界人们的心，为进一步加强学生对“环保”的重视程度，某校在初一、初二年级组织了“环保”知识比赛，现从初一、初二年级各随机抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，x均不低于60，共分成四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题．
初一年级10名学生的成绩是：68，69，77，78，84，86，86，97，95，100．
初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87．
两个年级抽取学生比赛成绩统计表
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（一条理由即可）．
（3）若两个年级各有400入参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生共有多少人？
21．小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，连接DE，过点C在AC的右边作∠ACF，使得∠ACF＝∠BAC，延长DE交CF于点F，然后通过证明△ADE≌△CFE和平行四边形BCFD来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．
（1）用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在AC的右侧作∠ACF＝∠BAC，延长DE，交CF于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：BC＝2DE，BC∥DE．
证明：∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵∠ACF＝∠BAC，
∴① ．
在△ADE和△CFE中，
∠DAE=∠FCEAE=CE②，
∴△ADE≌△CFE，
∴③ ，DE＝FE，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴④ ，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DE＝FE，
∴⑤ ，
∴BC＝2DE，BC∥DE．
22．某水果店购进了一批苹果和水蜜桃，两种水果总重量为500kg，苹果的进价是水蜜桃进价的1.2倍，苹果的进货费用为1800元，水蜜桃的进货费用为1000元．
（1）求苹果和水蜜桃的进价分别是多少元每千克；
（2）该水果店将这批苹果全部按14元每千克的价格售出．由于水蜜桃不易保存，水果店将这批水蜜桃的910按12元每千克的价格售出后，剩余的水蜜桃降价销售，并全部售出．如果这批苹果和水蜜桃的总利润不低于3700元，则水蜜桃降价销售的价格最少为多少元每千克？
23．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，PM⊥AB于点M，点P从A点出发沿折线A→D→B运动（含A、B两点），当动点P在AD上运动时，速度为每秒54个单位，当动点P在DB上运动时，速度变为每秒58个单位，到达点B停止运动，设点P的运动时间为x秒，线段PM的长度记为y1．
（1）请直接写出y1关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）若函数y2=6x（x＞0），在给定的平面直角坐标系中分别画出函数y1和y2的图象，并写出该函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接估计y1＜y2时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2）
24．如图，某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客需沿着AD→DC→CB绕行才能从A景点到达B景点．经测量，D点位于A点南偏东45°方向200米处，C点在D点正东方向100米处且在B点的南偏西60°方向．当地政府为了方便游客游览，打算修建一条从A景区直达B景区的跨湖栈道AB．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449，结果精确到1米）
（1）求BC的长度；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走多少米？
25．如图1，已知抛物线y=12x2+x−4的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．
（1）抛物线顶点为D，连接AD、AC、CD，求点D到AC的距离；
（2）如图2，在y轴正半轴有一点E满足OC＝2OE，点P为直线AC下方抛物线上的一个动点，连接PA、AE，过点E作EF∥AP交x轴于点F，M为y轴上一个动点，N为x轴上一个动点，平面内有一点G(−72，−58)，连接PM、MN、NG，当S△APF最大时，求PM+MN+NG的最小值；
（3）如图3，连接AC、BC，将抛物线沿着射线BC平移25得到新的抛物线y′，y′上是否存在一点R，使得∠RAC+∠BCO＝45°？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．
26．已知如图，△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，连接DE．
（1）如图1，当AD⊥BC时，DE与AC相交于点F，若AB＝2，求EF的长；
（2）如图2，当点D在BC的延长线上时，连接BE，延长CA交BE于点N，点M是DE的中点，连接MN，求证：MN−AN=12BC；
（3）如图3，若AB＝2，点D在运动过程中，当CE最短时，直接写出BDAD的值．
一．选择题（共10小题）
一、选择题(本大题10个小题，每小题4分，共40分)
1．【答案】C
【解答】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
2．【答案】A
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
3．【答案】D
【解答】解：∵反比例函数y=6x，
∴k＝xy＝6，
A、4×2＝8，故点（2，4）不在反比例函数的图象上，不符合题意；
B、﹣1×6＝﹣6，故点（﹣1，6）不在反比例函数的图象上，不符合题意；
C、﹣2×3＝﹣6，故点（﹣2，3）不在反比例函数的图象上，不符合题意；
D、2×3＝6，故点（2，3）在反比例函数的图象上，符合题意．
故选：D．
4．【答案】C
【解答】解：∵AA′＝3OA′，
∴OAOA′=2．
∵△ABC与△A′B′C′位似，点O为位似中心，
∴△ABC∽△A′B′C′，且AC∥AA′．
∴BCB′C′=ACA′C′=OAOA′=2．
∵B′C′＝5，
∴BC＝10．
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：∵CD∥OB，
∴∠AOB+∠OED＝180°，
∵∠AOB＝50°，
∴∠OED＝130°，
∴∠AEC＝∠OED＝130°．
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：原式＝23×33+10÷2=2+5=2+2.236＝4.236，故选C．
7．【答案】B
【解答】解：∵第①个图形中实心圆点的个数4＝2×1+2，
第②个图形中实心圆点的个数7＝2×2+3，
第③个图形中实心圆点的个数10＝2×3+4，
……，
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为2×6+7＝19，
故选：B．
8．【答案】D
【解答】解：∵△AEF是边长为2的等边三角形，
∴∠EAF＝60°，AE＝AF，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∵AB＝AD，AE＝AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
如图，作∠AEH＝∠BAE＝15°，交AB于H，
∴∠BHE＝30°，AH＝HE，
∴HE＝2BE＝AH，BH=3BE，
∴AB＝（2+3）BE，
∵AE2＝BE2+AB2，
∴4＝BE2+（2+3）2×BE2，
∴BE=22（3−1）=6−22，
∴AB＝（2+3）BE=6+22，
故选：D．
9．【答案】D
【解答】解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×32=3．
∴S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC=120π×22360−2×12×2×3=4π3−23．
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：①∵x1＝2，x2＝4，x3＝6⋯xn＝2n，
∴y1，y2，y3⋯yn也分别是偶数，
∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、⋯、xn+yn的结果分别是偶数，
∴M是偶数，
故①符合题意；
∵x1，x2，x3为三个连续整数，
∴三个数中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
任意改变它们的顺序后y1，y2，y3中必有两个偶数一个奇数或两个奇数一个偶数，
∴x1+y1、x2+y2、x3+y3中一定有一个偶数，
∴M一定为偶数；
故②符合题意；
∵M为偶数，
∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、…，xn+yn中一定有一个偶数，
若x1，x2，x3，⋯xn均为偶数时，n无论奇数还是偶数，M都是偶数，
故③不符合题意；
∵M为奇数，
∴x1+y1、x2+y2、x3+y3、…，xn+yn中一定都是奇数，
∴x1，x2，x3，⋯xn中奇数与偶数的个数相等，
∴n是偶数，
故④符合题意；
故选：B．
二、填空题(本大题8个小题，每小题4分，共32分)
11．【答案】12．
【解答】解：|−2|−38+2−1
=2−2+12
=12．
故答案为：12．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：360÷45＝8，则n＝8．
13．【答案】49．
【解答】解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次记下的数字之和是奇数的结果有：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），共4种，
∴两次记下的数字之和是奇数的概率为49．
故答案为：49．
14．【答案】30%．
【解答】解：设该种药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝98，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不符合题意，舍去），
∴该种药品平均每次降价的百分率为30%．
故答案为：30%．
15．【答案】5．
【解答】解：∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，
∴∠ACE＝45°＝∠BAC，
∴CE＝AE＝12，
∵∠BCE+∠CHD＝90°，∠EAH+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠CHD，
∴∠BCE＝∠EAH，
在△BCE和△HAE中，
∠BCE=∠HAECE=AE∠CEB=∠AEH，
∴△BCE≌△HAE（ASA），
∴BE＝EH，
∵BE+AE＝AB＝19，
∴BE＝EH＝7，
∴CH＝CE﹣HE＝12﹣7＝5，
故答案为：5．
16．【答案】6．
【解答】解：2y−a＞3①y+112≤12②，
解不等式①可得：y＞a+32，
解不等式②可得：y≤5，
则不等式方程组的解为：a+32＜y≤5，
∵关于y不等式组2y−a＞3y+112≤12有解且至多三个整数解，
∴2≤a+32＜5，解得：1≤a＜7，
2−a−51−y=−2y−1，
∴2（1﹣y）﹣（a﹣5）＝2，
∴﹣2y＝a﹣5，
∴y=5−a2，
∵y＝1为分式方程的增根，
∴1≠5−a2，解得：a≠3，
∵y的分式方程2−a−51−y=−2y−1解为非负整数，
∴y=5−a2≥0，解得a≤5，
∴1≤a≤5且a≠3，
∴当a＝1时，y＝2；
当a＝2时，y=32，舍去；
当a＝4时，y=12，舍去；
当a＝5时，y＝0；
则和为5+1＝6．
故答案为：6．
17．【答案】50°，3．
【解答】解：连接OD，如图，
由题意可得：OD⊥AB，
∴∠ODA＝∠ODB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠COD＝180°，
∵∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠ABC＝∠AOD，
∵∠AOD＝2∠ACD，∠ACD＝25°，
∴∠ABC＝2∠ACD＝50°；
∴OD＝OC＝r，OA＝8﹣r，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=62+82=10，
∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB，
∴△AOD∽△ABC，
∴ODBC=AOAB，即r6=8−r10，
解得r＝3，
故答案为：50°；3．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设一个同和数m的千位、百位、十位、个位数字分别是a、b、c、d，其中a，b，c，d均为整数且1≤a，b，c，d≤9，由题意知，a+d＝b+c，
则m1＝1000d+100b+10c+a，m2＝1000a+100c+10b+d，
∴F（m）=1001a+110c+110b+1001d1111=b+c＝a+d．
∵s＝5000+400+10y+x，t＝1000f+100e+70+6，
∴F（s）＝5+x＝4+y，F（t）＝f+6＝e+7，1≤x，f≤9且x，f为整数且x≠4，5，y≠4，5，f≠6，7，e≠6，7，
∴k=5+x6+f或4+ye+7，F（s）+F（t）＝11+x+f或11+y+e，
当x＝1，f＝8时，y＝2，e＝7，不符合题意；
当x＝6，f＝3时，y＝7，e＝2，F（s）+F（t）能被20整除，此时k=119；
当x＝7，f＝2时，y＝8，e＝1，F（s）+F（t）能被20整除，此时k=32；
当x＝8，f＝1时，y＝9，e＝0，不符合题意；
∴119×32=116．
故答案为：5+x6+f；116．
三、解答题(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)
19．【答案】（1）x2﹣3y；
（2）2a−3．
【解答】解：（1）（x+2y）（x﹣2y）﹣y（3﹣4y）
＝x2﹣4y2﹣3y+4y2
＝x2﹣3y；
（2）(1a+3+1a2−9)÷a−22a+6
=a−3+1(a+3)(a−3)•2(a+3)a−2
=a−2a−3•2a−2
=2a−3．
20．【答案】（1）40、86、87；
（2）初二年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解答；
（3）280人．
【解答】解：（1）初二年级C组学生人数所占百分比为310×100%＝30%，
∴a%＝1﹣（10%+20%+30%）＝40%，即a＝40，
初一年级学生成绩中86出现2次，次数最多，
所以其众数b＝86，
初二年级A、B组人数为10×（10%+20%）＝3（人），
所以其成绩中第5、6个数据分别为87、87，
所以其中位数c=87+872=87，
故答案为：40、86、87；
（2）初二年级学生掌握垃圾分类知识较好，
理由：初一、初二年级学生成绩的平均数相等，而初二年级学生成绩的中位数大于初一年级，
所以初二年级学生高分人数多于初一年级，
所以初二年级学生掌握垃圾分类知识较好；
（3）400×310+400×40%＝280（人），
答：估计参加此次比赛成绩优秀（90≤x≤100）的学生共有280人．
21．【答案】（1）解即可；
（2）AB∥CF，∠AED＝∠CEF，AD＝CF，BD＝CF，BC＝DF＝2DE，
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE，
又∵∠ACF＝∠BAC，
∴①AB∥CF．
在△ADE和△CFE中，
∠DAE=∠FCEAE=CE∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴③AD＝CF，DE＝FE，
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF④，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DE＝FE，
∴⑤BC＝DF＝2DE，
∴BC＝2DE，BC∥DE．
故答案为：AB∥CF，∠AED＝∠CEF，AD＝CF，BD＝CF，BC＝DF＝2DE，
22．【答案】（1）苹果的进价是6元/千克，水蜜桃的进价是5元/千克；
（2）水蜜桃降价销售的价格最少为7元/千克．
【解答】解：（1）设水蜜桃的进价是x元/千克，则苹果的进价是1.2x元/千克，
根据题意得：18001.2x+1000x=500，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×5＝6．
答：苹果的进价是6元/千克，水蜜桃的进价是5元/千克；
（2）设水蜜桃降价销售的价格为y元/千克，
根据题意得：（14﹣6）×18006+（12﹣5）×10005×910+（y﹣5）×10005×（1−910）≥3700，
解得：y≥7，
∴y的最小值为7．
答：水蜜桃降价销售的价格最少为7元/千克．
23．【答案】（1）y=x(0≤x≤4)−12x+6(4＜x≤12)；
（2）函数y1的一条性质是：当0≤x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤12时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）0＜x＜2.5或10.8＜x≤12（答案不唯一）．
【解答】解：∵AC＝10，AB＝6，则BC＝8，
∵点D为AC的中点，
则AD＝CD＝BD＝5，csC=45=sinA，∠ABD＝∠A；
（1）当点P在AD上时，见题干图，
则y＝PM＝AP•cs∠PAM＝AP•csC=54x×45=x，
当点P在BD上时，如图：
则y＝PM＝BP•sin∠ABP＝BP•csA=45×[10﹣（5+58（x﹣4））]=−12x+6，
故y=x(0≤x≤4)−12x+6(4＜x≤12)；
（2）对于函数y2=6x（x＞0），
当x＝1时，y＝6，当x＝2时，y＝3，当x＝6时，y＝1，
对于y=x(0≤x≤4)−12x+6(4＜x≤12)，
当x＝0时，y＝0，当x＝4时，y＝4，当x＝12时，y＝0，
根据上述点，描点连线绘制函数图象如图（右侧图）：
从图象看，函数y1的一条性质是：当0≤x≤4时，y1随x的增大而增大，当4＜x≤12时，y1随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）从函数图象看，两个函数交点得横坐标约为2.5和10.8，
故y1＜y2时x的取值范围0＜x＜2.5或10.8＜x≤12（答案不唯一）．
24．【答案】（1）BC的长度为2002米；
（2）栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走约97米．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，过点B作BF⊥CD，交DC的延长线于点F，
由题意得：AE＝BF，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，AD＝200米，
∴AE＝AD•cs45°＝200×22=1002（米），
∴AE＝BF＝1002米，
在Rt△BCF中，∠CBF＝60°，
∴BC=BFcs60°=100212=2002（米），
∴BC的长度为2002米；
（2）由题意得：AB＝EF，CD＝100米，
在Rt△AED中，∠EAD＝45°，AD＝200米，
∴DE＝AD•sin45°＝200×22=1002（米），
在Rt△BCF中，∠CBF＝60°，BC＝2002米，
∴CF＝BC•sin60°＝2002×32=1006（米），
∴AB＝EF＝DE+DC+CF＝（1002+100+1006）米，
∵AD+CD+BC＝200+100+2002=（300+2002）米，
∴栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走＝300+2002−（1002+100+1006）≈97（米），
∴栈道修通后，从景点A到景点B走栈道比原路线少走约97米．
25．【答案】（1）324；
（2）41；
（3）存在，R(−7+652，−1−654)或R（﹣5+17，2﹣217）．
【解答】解：（1）∵抛物线y=12x2+x−4的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝﹣4，
即C（0，﹣4），
当y＝0时，x＝﹣4或x＝2，
即A（﹣4，0），B（2，0），
则对称轴为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y=−92，
即D(−1，−92)，
∴S△ACD＝3，AC=42，
∴S△BCD=3=12⋅AC⋅ℎ，
解得ℎ=324，
∴D到AC的距离为324；
（2）设AE解析式为y＝kx+m，
代入E（0，2），A（﹣4，0），
得0=−4k+m2=m，
解得k=12m=2，
∴AE的解析式为y=12x+2，
连接PE，作PQ∥y轴交AE于Q，如图，
∵EF∥AP，
∴S△APF=S△APE=12⋅PQ⋅|xE−xA|，
设P(m，12m2+m−4)，则Q(m，12m+2)，
即PQ=−12m2−12m+6，
则S△APF=S△APE=12⋅PQ⋅|xE−xA|=−m2−m+12，
当m=−12时，S△APFmax=494，此时P的坐标为(−12，−358)，
作P关于y轴对称，得到P′坐标为(12，−358)，作G的关于x轴对称，得到G′坐标为(−72，58)，
连接P′G′交于y轴于点M，交于x轴于点N，
则PM+MN+NG=P′M+MN+NG′≥P′G′=41；
（3）存在，R(−7+652，−1−654)或R(−2+17，2−217)．
∵将抛物线沿着射线BC平移25得到新的抛物线y′，
∴平移后的新抛物线y′=12x2+3x−4，
假设y′上存在一点R，使得∠RAC+∠BCO＝45°，
即在y轴上找点S满足OS＝OB，
在△OSA和△OBC中，
OA=OC∠AOS=∠BOCOS=OB
则△OSA≌△OBC（SAS），
∴∠BCO＝∠OAS，
∵∠OAC＝45°，
∴∠OAS+∠SAC＝45°，
同理存在一点S1，使得∠S1AC＝∠CAS，使得∠SAC+∠BCO＝45°，
设yAS＝ax+b（a≠0），
将A（﹣4，0），S（0，﹣2）代入，
得−4a+b=0b=−2，
解得a=−12b=−2，
∴yAS=−12x−2，
联立y=−12x−2y=12x2+3x−4，
解得x=−7+652y=−1−654或x=−7−652y=−1+654（舍）；
∵存在一点S1，使得∠S1AC＝∠CAS，使得∠SAC+∠BCO＝45°，
∴OS1＝8，
设yAS1=nx+q，
将A（﹣4，0），S1（0，﹣8）代入，
得−4n+q=0q=−8，
解得n=−2q=−8，
∴yAS1=−2x﹣8，
联立y=−2x−8y=12x2+3x−4，
解得x=−5+17y=2−217或x=−5−17y=2+217（舍），
∴R(−7+652，−1−654)或R（﹣5+17，2﹣217），
∴y′上存在一点R，使得∠RAC+∠BCO＝45°．
26．【答案】（1）2；
（2）见解析；
（3）77．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，∠BAD=12∠BAC＝30°，
∵AB＝2，
∴BD=12AB=1，
∴AD=3
∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，
∴AD＝AE=3，∠DAE＝120°，
∴∠ADE＝∠E＝30°，
∴∠FAE＝90°，
∴EF=AEcs30°=332=2；
（2）证明：如图2，延长AN至点K，使得 AK＝CD，连接BK，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAK＝∠DCA＝120°，
∵AK＝CD，
∴△ACD≌BAK（SAS），
∴BK＝AE，∠K＝∠CDA，
∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，
∴AE＝AD，∠DAE＝120°，
∴AE＝BK，∠NAE+∠CAD＝60°＝∠ADC+∠CAD，
∴∠NAE＝∠CDA，
∴∠K＝∠NAE，
∴△AEN≌△KBN（AAS），
∴BN＝EN，AN=NK=12CD，
∴MN是△BDE的中位线，
∴BD＝2MN，
又∵BD﹣CD＝BC，
即2MN﹣2AN＝BC，
∴MN−AN=12BC；
（3）解：如图3，将AB绕点A逆时针旋转 120° 得到AM，连接ME，
∴AB＝AM，∠BAM＝120°，
∵将AD绕点A逆时针旋转120°后得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠EAM，
∴△ABD≌AME（AAS），
∴∠AME＝∠ABD＝120°，
∴点E在定直线上运动，当CE⊥AC时最短．
过A作AH⊥CD于H，
∴∠AHD＝∠ACE＝90°，
∵∠CAM＝120°﹣∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝60°﹣∠EAM，
∵∠BAH=12∠BAC＝30°，
∴∠ADH＝180°﹣∠AHD﹣∠BAH﹣∠DAB＝60°﹣∠DAB，
∴∠ADH＝∠CAE，
∵AD＝AE，
∴△ADH≌△EAC（AAS），
∴AH＝CE，DH＝AC＝2，
∵BH=12AB=1，
∴BD＝1，
∵AH=AB2−BH2=3，
∴AD=AH2+DH2=7，
∴BDAD=17=77．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/24 19:35:49；用户：陈庄镇中学；邮箱：[email protected]；学号：62602464年级
平均数
中位数
众数
初一年级
84
85
b
初二年级
84
C
92
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
D
C
B
D
D
B
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）