2025年重庆市中考数学模拟考试试卷附答案

这是一份2025年重庆市中考数学模拟考试试卷附答案，共31页。
A．x3B．xyπC．1aD．a+b15
2．（4分）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）如图，△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，若AB＝4，AO＝8，CO＝2，则线段CD的长度为（ ）
A．34B．1C．12D．2
4．（4分）与3×（21−3）最接近的整数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（4分）如图，点A在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．（4分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．对顶角相等
C．如果|a|＝|b|，那么a＝b
D．三角形的一个外角大于任意一个内角
7．（4分）如图，下列图形由多个完全相同的●组成，第一个图形如图①有5个●，第二个图形如图②有11个●，第三个图形如图③有19个●，…，以此类推，第11个图形中●的个数为（ ）
A．131B．132C．155D．156
8．（4分）如图，已知点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝2，BC=23，以O为圆心，OA为半径作扇形AOD，点E为AD的中点，连接BE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．2π3B．4π3C．2π3+332D．4π3+332
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接DE，F为BC上一点，且EF＝DE，连接DF．G为CD上一点，且DG＝CF，连接AG并延长交DE于点M，连接CM，若∠DAM＝α，则∠DCM＝（ ）
A．2αB．45°+αC．90°−12αD．45°+12α
10．（4分）已知恒等式(3x−2)n=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0，其中n为正整数，下列说法：
①ana0＞1；
②当n＝4时，|a4|+|a3|+|a2|+|a1|=49+206；
③当n为奇数时，(an+an−2+⋯+a1)2−(an−1+an−3+⋯+a0)2=1；
④当n为偶数时，（an+an﹣2+⋯+a0）•（an﹣1+an﹣3+⋯+a1）＜﹣24．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）单项式﹣3a2b的系数是 ．
12．（5分）巴川中学学生艺体社团活动开展得有声有色，其文艺节目屡获国家、市级金奖，学校仅与音乐有关的就有“合唱团”、“管乐团”、“舞蹈团”、“竖笛”4个社团．甲、乙两人随机各选一个社团，她们刚好选到相同社团的概率是 ．
13．（5分）如图，四边形ABCD 为平行四边形，且DB平分∠ABC，作DE⊥BC，垂足为E．若BD＝24，AC＝10，则DE＝ ．
14．（5分）关于x的一元一次不等式组4x≤3x+42x+m＞3有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程myy−1−1=31−y有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 ．
15．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，DE是⊙O的切线，点D为切点，点E在CB的延长线上，OC⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为点O，F，连接OF．若DE＝3，CE=313，则AD＝ ，OF＝ ．
16．（5分）一个四位自然数M=abcd，如果M的千位数字和十位数字组成的两位数与M的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，那么就称这个数为“72变数”．把“72变数”M的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数M′，设F(M)=M+M′909．例如：一个四位数2493，∵29+43＝72，∴2493是“72变数”，且F(2493)=2493+9324909=13．则最小的“72变数”是 ，若M=abcd是“72变数”，且3F（M）＝12+a•d，则满足条件的所有F（M）的和为 ．
三．解答题（共8小题，满分0分，每小题0分）
17．（1）计算：（−12）﹣1﹣|2−2|﹣2sin45°+（3﹣π）0；
（2）化简求值：（a2−b2a2−2ab+b2+ab−a）÷b2a2−ab，其中a，b满足a+1+|b−3|＝0．
18．在学习了平行四边形的相关知识后，小艾进行了更深入的研究，他发现：对于一个邻边不相等的平行四边形，作其短边的端点为顶点的一个内角的角平分线与平行四边形的边相交，再过该短边的另一个端点作这条角平分线的垂线与平行四边形的另一边相交，则这两个交点和平行四边形的另两个顶点构成的四边形是平行四边形．他的思路是通过证明三角形全等与平行四边形的判定得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线与AD交于点E．用尺规作图：过点A作BE的垂线，交BE于点F，交BC于点G，连接EG（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）已知：四边形ABCD是平行四边形，∠ABC的平分线与AD交于点E．点G在边BC上，且AG⊥BE于点F，连接EG．求证：四边形EGCD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴① ，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴② ．
∵AG⊥BE，
∴∠AFB＝∠GFB＝90°．
在△BAF和△BGF中，
∠AFB=∠GFBBF=BF∠ABE=∠CBE
∴△BAF≌△BGF（ASA），
∴BG＝AB，
∴③ ，
∴AD﹣AE＝BC﹣BG，即DE＝CG，
∵④ ，
∴四边形EGCD是平行四边形．
进一步思考，如果四边形ABCD是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形EGCD是⑤ ．
19．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用χ表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x≤100．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
20．取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等．
（1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？
（2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？
21．如图1，在矩形ABCD中，点E为DC中点，连接BE，AD＝4，DC＝6，点P沿着C→B→E的方向运动，到点E时停止运动，连接AP，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y1．
（1）直接写出y1的解析式及自变量x的取值范围；
（2）在图2中画出y1的图象，并写出一条y1的性质；
（3）反比例函数y2=8x如图所示，请直接写出y1≥y2时，自变量x的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过0.2）．
22．除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭．如图，小南从家A处出发步行至小青家B处，再步行到达正东方向的朝旭百货C处，最后步行到达外婆家D处．小津从家F处出发步行至商店E处，再步行至外婆家．已知B在A的东北方向，且AB＝2000米，BC＝200米，C在E的正北方向，且在D的北偏西60°方向，E既在F的南偏东53°方向，又在D的南偏西30°方向，且DE＝1500米，F在A的正东方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6）
（1）求小津家F处与商店E处的距离；（结果保留根号）
（2）小南步行的平均速度为90米/分，小津步行的平均速度为60米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家．（结果精确到0.1）
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，OB＝OC＝2OA，连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，点P是直线BC下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段BE沿着射线BC平移．平移后的线段记为MN，当△BCP面积最大时，求PM+MN+ND的最小值．
（3）在（2）的基础上将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AC方向平移25个单位长度得新抛物线y′，在新抛物线y'上是否存在点Q，使∠QPB＝∠ACO+45°？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝30°，D为直线AC上一点（不与A、C重合），将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，连接ED．
（1）如图1，若D在AC边上，DC＝2，tan∠DBC=13，求ED的长；
（2）如图2，若D在AC边上，连接EC，延长BA交EC于F，求证：CD+2BF=3BC；
（3）如图3，若D在AC的延长线上，连接EC，延长BA交EC于F，M为射线BA上一点，连接EM，使得∠BEF＝∠BME，连接DF、DM，当△DEM为直角三角形时，请直接写出此时DMAF的值．
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【答案】C
【解答】解：A、代数式是整式，故此选项不符合题意；
B、代数式是整式，故此选项不符合题意；
C、1a是分式，故此选项符合题意；
D、代数式是整式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
3．【答案】B
【解答】解：∵△ABO与△CDO是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABO∽△CDO，
∴CDAB=OCOA，即CD4=28，解得CD＝1．
故选：B．
4．【答案】C
【解答】解：原式=63−3，
∵49＜63＜64，
∴7＜63＜8，
∵7.52＝56.25＜63，
∴7.5＜63＜8，
∴4.5＜63−3＜5，
∴最接近的整数是5，
故选：C．
5．【答案】D
【解答】解：连接OA，OB，如图，
∵AB⊥y轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝3，
∴12×4+12|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：A、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
7．【答案】C
【解答】解：第一个图形如图①有5个●，
第二个图形如图②有11个●，
第三个图形如图③有19个●，
…，
发现规律：第n个图形有（n+1）2+n个●，
∴第11个图形中●的个数为（11+1）2+11＝155，
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：如图，连接OB，OE，分别交BE，AD于点F和点G，
∵点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝2，BC=23，
∴AD=BC=23，∠BAD＝90°，B、O、D三点共线，
∴BD=AB2+AD2=4，
∴AO＝BO＝DO=12BD＝2，
∵sin∠ADB=ABBD=24=12，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABD＝60°，∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴△ABO是等边三角形，∠AOD＝120°，
∵点E为AD的中点，
∴OE⊥AD，∠AOE=∠DOE=12∠AOD=60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠DOE＝120°
∵OB＝OE＝AO，
∴△BOE是等腰三角形，
∵∠BOF=∠AOE=60°=12∠BOE
∴OA⊥BE
∴AF=OF=12OA，
∵AB＝OA＝OE，∠AFB＝∠OFE＝90°，
∴△ABF≌△OEF（HL），
∴S△ABF＝S△OEF，
∴S阴影部分=S^扇形AOE60°π×22360°=2π3．
故选：A．
9．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝DC，AD∥BC，
在△ADG和△DCF中，AD=DC∠ADG=∠DCFDG=CF，
∴△ADG≌△DCF（SAS），
∴∠DAG＝∠CDF，
∵∠DAG＝α，
∴∠CDF＝α，
∵∠ADG＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝90°﹣α，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝90﹣α，
∵EF＝DE，
∴△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠EDF＝90°﹣α，
∵在△ADM中，∠DAM＝α，∠ADM＝∠ADF+∠EDF＝90﹣α+90°﹣α＝180°﹣2α，
∴∠AMD＝180°﹣α﹣（180°﹣2α）＝α，
∴∠DAM＝∠AMD，
∴△ADM是等腰三角形，
∴AD＝DM，
∴DM＝DC，
∴△DCM是等腰三角形，
∴∠DCM＝∠DMC=12（180°﹣∠CDM），
∵∠CDM＝∠ADM﹣∠ADC＝180°﹣2α﹣90°＝90°﹣2α，
∴∠DCM=12（180°﹣90°+2α）＝45°+α，
故选：B．
10．【答案】B
【解答】解：①当n＝1时，a1=3，a0=−2，a1a0=3−2＜1，
故①错误，不符合题意；
②当n＝4时，(3x−2)4=9x4−126x3+36x2−86x+4，
∴a4=(3)4=9，a3=−126，a2＝36，a1=−86，a0＝4，
∴|a4|+|a3|+|a2|+|a1|=9+126+36+86=45+206，
故②错误，不符合题意；
③当n为奇数时，令x＝1，
则(3x−2)n
=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0
=(3−2)n，
(3x+2)n
=anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+⋯+a1x+a0
＝an+an﹣1+an﹣2+⋯+a1+a0
=(3+2)n，
∴(an+an−2+⋯+a1)2−(an−1+an−3+⋯+a0)2
＝（an+an﹣1+an﹣2+⋯+a1+a0）（an﹣an﹣1+an﹣2﹣⋯+a1﹣a0）
=(3−2)n(3+2)n
＝1，
故③正确，符合题意；
④当n为偶数时，
当n＝2时，(3−2)2=3−26+2，
(an+an−2+⋯+a0)⋅(an−1+an−3+⋯+a1)=(3+2)⋅(−26)=−106＜−24；
当n＝4时，(3−2)4=9−126+36−86+4，
(an+an−2+⋯+a0)⋅(an−1+an−3+⋯+a1)=(9+36+4)⋅(−126−86)=−9806；
−9806＜−24，
依此类推，
（an+an﹣2+⋯+a0）•（an﹣1+an﹣3+⋯+a1）＜﹣24，
故④正确，符合题意；
故答案为：B．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．【答案】﹣3．
【解答】解：根据单项式的系数的定义可知：﹣3a2b的系数是﹣3．
故答案为：﹣3．
12．【答案】14．
【解答】解：分别记“合唱团”、“管乐团”、“舞蹈团”、“竖笛”4个社团为A，B，C，D，
甲、乙两人随机各选一个社团，他们选到社团的情况列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择相同社团的结果数有4种，
∴他们选择相同社团的概率为416=14．
故答案为：14．
13．【答案】12013．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴OB=12BD＝4，OC=12AC＝5，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴BC=OB2+OC2=122+52=13，
∵DE⊥BC，
∴菱形ABCD的面积＝BC•DE=12AC•BD，
即13DE=12×10×24，
解得：DE=12013，
故答案为：12013．
14．【答案】﹣1．
【解答】解：解不等式组4x≤3x+42x+m＞3得，
3−m2＜x≤4，
∵该不等式组有解且最多有3个整数解，
∴其整数解为2，3，4，
∴1≤3−m2＜4，
解得﹣5＜m≤1，
解分式方程myy−1−1=31−y得，
y=−4m−1，
由题意得m﹣1≠0且−4m−1≠1，
解得m≠1且m≠﹣3，
由题意得，
当−4m−1=4时，解得m＝0；
当−4m−1=2时，解得m＝﹣1；
当−4m−1=1时，解得m＝﹣3（舍去）；
当−4m−1=−1时，解得m＝5（舍去）；
当−4m−1=−2时，解得m＝3（舍去）；
当−4m−1=−4时，解得m＝2（舍去），
∴m＝0或m＝﹣1，
∴符合条件的所有整数m的和为：0﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．【答案】12，61313．
【解答】解：如图，过C作CH⊥DE交ED延长线于点H，过D作DQ⊥CE交CE于点Q，连接CD，BD，
∵AD是⊙O的直径，OC⊥AD，
∴OC＝OA＝OD，
∴△OAC、△ODC、△ACD为等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OAC＝45°，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵CH⊥DE，OC⊥AD，OC＝OD，
∴四边形OCHD为正方形，
设CH＝DH＝OD＝OC＝x，
则HE＝HD+DE＝x+3，
∵CH2+HE2＝CE2，
即x2+(x+3)2=(313)2，
解得：x1＝6（舍去负值），
∴CH＝DH＝OD＝OC＝6，DC=62，
∴AD＝2OD＝2×6＝12；
∵DQ⊥CE，
∴S△CDE=12⋅CE⋅DQ=12⋅DE⋅CH，
∴12×313⋅DQ=12×3×6，
∴DQ=61313，
∵∠CBD＝∠CAO＝45°，
∴BD=2DQ=62613，
∵CF⊥AB，OC⊥AD，
∴∠AOC＝∠AFC＝90°．
∴A、C、O、F四点共圆，
∴∠CFO＝∠CAO＝45°，∠OCF＝∠OAF，
∵∠CAO＝∠CBD＝45°，∠OAF＝∠DCB，
∴∠CFO＝∠CBD，∠OCF＝∠DCB，
∴△OCF∽△DCB，
∴OFBD=OCDC=12，
∴OF=12⋅BD=12×62613=61313，
故答案为：12；61313．
16．【答案】1539，21．
【解答】解：根据“72变数”的定义，四位数M=abcd，千位数字和十位数字组成的两位数与百位数字和个位数字组成的两位数的和等于72，
∴10a+c+10b+d＝72，
∴要使四位数最小，千位数字a应尽可能小，
∵a是千位数字，
∴a＝1，此时要使M最小，百位数字b也应尽可能小，取b＝0，
∴10×1+c+10×0+d＝72，即10+c+d＝72，
∴c+d＝62要使M最小，c应尽可能小，
∵c是一位数，
∴c＝2，则d＝60不符合个位数字是一位数的要求，
∴当a＝1，b＝0无法满足条件，
∴a＝1，b＝2时，10×1+c+10×2+d＝72，即30+c+d＝72，c+d＝42，同样无法满足要求，
∴a＝1，b＝3时，10×1+c+10×3+d＝72，即40+c+d＝72，c+d＝32，也无法满足要求，
当a＝1，b＝4时，10×1+c+10×4+d＝72，即50+c+d＝72，c+d＝22，也无法满足要求，
当a＝1，b＝5时，10×1+c+10×5+d＝72，即60+c+d＝72，c+d＝12，此时取c＝1，d＝11不符合要求，取c＝2，d＝10不符合要求，取c＝3，d＝9满足要求，
∴最小的“72变数”为1539，
F(M)=M+M′909
=1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b909
=1010a+101b+1010c+101d909
=101(10a+b+10c+d)909
=10a+b+10c+d9，
∵M是“72变数”，
∴10a+b+10c+d＝72+9（c﹣b），
∴F(M)=72+9(c−b)9=8+c−b，
∵3F（M）＝12+a•d，
∴3（8+c﹣b）＝12+a•d，即24+3c﹣3b＝12+a•d，
∴a•d＝12+3c﹣3b，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，且10a+c+10b+d＝72，且所有字母都取整数，
∴当a＝1时，
c+d+10b=62d=12+3c−3b，得b=6−433dc=2+733d，此时当d＝0时，b=6c=2，
∴M＝1620，此时F（M）＝4符合题意，
当a＝2时，
c+d+10b=522d=12+3c−3b，得b=5611−533d=5+3−5d33c=1211+1733d，此时没有d值，使b，c是整数，不符合题意，
按此思路，分别计算得，
当a＝3时，
c+d+10b=423d=12+3c−3b，得b=4611−211dc=211+2733d，此时d＝1，而b=4c=1，是整数，
∴M＝3411，此时F（M）＝5符合题意，
当a＝4时，
c+d+10b=324d=12+3c−3b，得b=3611−733dc=−811+3733d，此时当d＝6，而b=2c=6，是整数，
∴M＝4266，此时F（M）＝12，符合题意，
当a＝5时，
c+d+10b=225d=12+3c−3b，得b=2611−833dc=−1811+4733d，此时没有d值，使b，c是整数，不符合题意，
当a＝6时，
c+d+10b=126d=12+3c−3b，得b=1611−933dc=−2811+1911d，此时没有d值，使b，c是整数，不符合题意，
当a＝7时，
c+d+10b=27d=12+3c−3b，
∵0≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，
∴c+d+10b＞10，而c+d+10b＝2＜10，不符合题意，
∴当a＝7，a＝8时，而c+d+10b＜10，c+d+10b＝2＜10，不符合题意，
∴满足条件的所有F（M）的和为4+5+12＝21，
故答案为：1539，21．
三．解答题（共8小题，满分0分，每小题0分）
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）原式＝﹣2﹣2+2−2×22+1＝﹣3；
（2）原式＝[(a+b)(a−b)(a−b)2−aa−b]•a(a−b)b2=ba−b•a(a−b)b2=ab，
∵a+1+|b−3|＝0，
∴a+1＝0，b−3=0，
解得：a＝﹣1，b=3，
当a＝﹣1，b=3时，原式=−33．
18．【答案】（1）见解析；
（2）∠ABE＝∠CBE，AB＝AE，BG＝AE，DE∥CG，矩形．
【解答】（1）解：图形如图所示；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴①∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴②AB＝AE．
∵AG⊥BE，
∴∠AFB＝∠GFB＝90°．
在△BAF和△BGF中，
∠AFB=∠GFBBF=BF∠ABE=∠CBE，
∴△BAF≌△BGF（ASA），
∴BG＝AB，
∴③BG＝AE，
∴AD﹣AE＝BC﹣BG，即DE＝CG，
∵④DE∥CG，
∴四边形EGCD是平行四边形．
进一步思考，如果四边形ABCD是矩形呢？请你模仿题中的表述，写出你猜想的结论：四边形EGCD是⑤矩形．
故答案为：∠ABE＝∠CBE，AB＝AE，BG＝AE，DE∥CG，矩形．
19．【答案】（1）87.5，87，30；
（2）七年级的成绩更好，比较方差大小；（答案不唯一）；
（3）525．
【解答】解：（1）八年级A等级的人数为10×20%＝2（人），
八年级学生成绩的中位数为12（86+89）＝87.5（分），即a＝87.5；
八年级C等级的人数为10﹣2﹣5＝3，
所以m%=310×100%＝30%，
所以m＝30；
七年级学生的众数为87（分）；
故答案为：87.5，87，30；
（2）七年级的成绩更好．
理由如下：因为八年级学生成绩的方差为62.4，七年级学生成绩的方差为52.4，
所以八年级学生成绩的方差大于七年级学生成绩的方差，
所以七年级学生成绩比较稳定；
（3）900×310+850×30%＝525（人），
估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”（x≥90）的总共有525人．
20．【答案】（1）每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元；
（2）每台B型取暖器应降价40元．
【解答】解：（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元，
由题意得：1200x=1440x+40，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴x+40＝200+40＝240，
答：每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元；
（2）设每台B型取暖器应降价y元，
由题意得：（240﹣y﹣140）（60+y10×25）＝9600，
整理得：y2﹣76y+1440＝0，
解得：y1＝40，y2＝36，
∵尽快减少库存，
∴y＝40，
答：每台B型取暖器应降价40元．
21．【答案】（1）y1=12−3x，0≤x≤4．y1=125x−485，4＜x≤9．
（2）图象见解答；当0≤x≤4时，y1最随着x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）0.9≤x≤3.2或4.7≤x≤9．
【解答】解：（1）根据矩形的性质BC＝AD＝4，AB＝CD＝6，CE=12CD＝3，∠ABP＝90°．
∴BE=CE2+BC2=5，BC+BE＝9．
当点P在线段BC上时，BP＝BC﹣CP＝4﹣x，0≤x≤4．
S△ABP=12AB•BP=12×6×（4﹣x）＝12﹣3x．
∴0≤x≤4时，y1＝12﹣3x．
当点P在BE上时，过点A作AF⊥BE，点F为垂足.
∵∠ABF+∠CBF＝∠BEC+∠CBF＝90°，
∴∠ABF＝∠BEC．
∴sin∠ABF＝sin∠BEC=AFAB=BCBE，即AF＝6×4÷5=245．
则S△ABP=12BP•AF=12×（x﹣4）×245=125x−485．
∴4＜x≤9时，y1=125x−485．
故y1=12−3x，0≤x≤4．y1=125x−485，4＜x≤9．．
（2）根据（1）中y1的表达式，y1=12−3x，0≤x≤4．y1=125x−485，4＜x≤9．
当x分别等于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9时，
对应y1的值分别为12，9，6，3，0，125，245，365，485，12．
在平面直角坐标系中描点和连线得到其图象如图所示．
其性质如下（答案不唯一，任选一条即可）：
①当x＝4时y1最小．
②当0≤x≤4时，y1最随着x的增大而减小．
③当4＜x≤9时，y1最随着x的增大而增大而增大．
（3）根据（2）中y1和y2图象可知：
①当0≤x≤4时，两个函数图象有两个交点，故联立两函数解析式得：
y=12−3xy=8x解得x=2+233y=6−23或x=2−233y=6+23．
故x1＝2+233≈3.2，x2＝2−233≈0.9．
根据图象可知当0.9≤x≤3.2时，y1≥y2．
②当4＜x≤9时，两个函数图象有一个交点，故联立两函数解析式得：
y=125x−485y=8x，解得x＝4.7．
根据图象可知4.7≤x≤9时，y1≥y2．
综上可得x的范围为0.9≤x≤3.2或4.7≤x≤9．
22．【答案】（1）5000(3−2)3米；
（2）小津先到达外婆家；计算见解析．
【解答】解：（1）连接CE，延长AF交CE于点G，过点B作BH⊥AG于点H，如图：
∵C在E的正北方向，F在A的正东方向，
∴AG⊥CE，
∵BH⊥AG，C在B的正东方向，
∴四边形BCGH为矩形，
∴GH＝BC＝200米，CG＝BH，
∵B在A的东北方向，
∴∠BAH＝45°，
∴BH=AB×sin45°=2000×22=10002（米），
AH=AB×cs45°=2000×22=10002（米），
∴CG=BH=10002（米），
∵C在D的北偏西60°方向，E在D的南偏西30°方向，
∴∠CDE＝90°，∠CED＝30°，
∴CE=DEcs30°=150032=10003（米），CD=DE×tan30°=1500×33=5003（米），
∴EG＝CE﹣CG＝1000（3−2）（米），
∵E在F的南偏东53°方向，
∴∠GEF＝53°，
∴EF=GEcs53°=1000(3−2)0.6=5000(3−2)3（米），
答：小津家F处与商店E处的距离5000(3−2)3米；
（2）∵CD=5003米，EF=5000(3−2)3米，
∴小南需要的时间为：2000+200+500390≈34.1（分钟），小津需要的时间为：5000(3−2)3+150060≈33.9（分钟），
∵34.1＞33.9，
∴小津先到达外婆家．
23．【答案】（1）y=12x2﹣x﹣4．
（2）（612+2）．
（3）存在；（2﹣22）或20+21077．
【解答】解：（1）对于y＝ax2+bx﹣4，令x＝0，y＝﹣4．
∴OC＝|﹣4|＝4，OB＝OC＝4，OA=12OB＝2．
∴根据图象可知：点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，﹣4）．
对于一元二次方程ax2+bx﹣4＝0，根据二次函数和一元二次方程的关系，x1＝﹣2，x2＝4．
由根与系数关系可得：x1•x2=−4a=−8，x1+x2=−ba=2，
∴a=12，b＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y=12x2﹣x﹣4．
（2）设点P坐标为（m，12m2﹣m﹣4），从点P向x轴作垂线，H为垂足，PH交BC于点G．
过点E作EF∥BC交y轴于点F．
根据题意OB＝4，OB＝OC，△OBC为等腰直角三角形．
故直线BC相当于直线y＝x向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线BC的解析式为：y＝x﹣4．
∴点G坐标为（m，m﹣4）．
∵S△BCP＝S△GCP+S△GBP=12GP•OH+12GP•BH=12GP•OB，OB＝4，
GP＝yG﹣yP＝（m﹣4）﹣（12m2﹣m﹣4）=−12m2+2m﹣8=−12（m﹣2）2+10．
∴S△BCP＝﹣（m﹣2）2+20≤20．
当m＝2时，点M坐标为（2，﹣2），△BCP面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，HP＝EP＝|yP|＝|12×22﹣2﹣4|＝4＝OC．
当点M坐标为（2，﹣2）时，HF为和FM为△BOC的中位线，点F坐标为（0，﹣2），点N的轨迹在与射线BC平行的射线EF上．
作点C关于直线EF对称点C′，根据△C′FC为等腰直角三角形，可得点C′坐标为（﹣2，﹣2）．
∴CN＝C′N．
∵NM＝CP＝2，NM∥CP，
∴四边形CPMN在NM平移时始终为平行四边形，PM＝CN．
∴PM+MN+ND＝C′N+MN+ND≥C′D+MN＝C′D+2．
对于y=12x2﹣x﹣4，xD=−b2a=1，yD=12−1﹣4=−92．
∴C′D=(−2−1)2+(−2+92)2=612．
∴PM+MN+ND的最小值为（612+2）．
故△BCP面积最大时，PM+MN+ND的最小值为（612+2）．
（3）根据题意OA＝2，OC＝4，则AC=AO2+OC2=25，故抛物线y=12x2﹣x﹣4沿射线AC方向平移25个单位长度得新抛物线y′．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到y′．如图，
根据平移性质可得y′=12（x﹣2）2﹣（x﹣2）﹣4﹣4=12x2﹣3x﹣4．
由（2）知BE＝AO＝2，PE＝CO＝4，AC＝PB=22+42=25．
AE＝OB＝4，OC＝EP＝4，则AP＝BC=42+42=42．
在△ACB和△BPA中，AC＝BP，AB＝BA，BC＝AP，则△ACB≌△BPA（SSS）．
∴∠APB＝∠BCA＝∠ACO+∠BCO＝∠ACO+45°．
∵∠BAP＝45°，AO＝2，
∴直线AP相当于直线y＝﹣x向左平移了2个长度单位，
∴直线AP的解析式为y＝﹣（x+2）＝﹣x﹣2．
如图，点Q有两个位置Q1和Q2，分别在第三象限和第四象限：
①点Q1是AP和新抛物线y′的交点，满足∠Q1PB＝∠APB＝∠ACO+45°．
结合直线AP和新抛物线y′的解析式：12x2﹣3x﹣4＝﹣x﹣2．
解得x＝2﹣22或2+22，
由于Q1在第三象限，所以Q1的横坐标为（2﹣22）．
②作出点A关于BP的对称点A′，然后作A′T⊥x轴，T为垂足，再连接PA′交抛物线右侧于点Q2．
这样根据轴对称的性质，∠Q2PB＝∠Q1PB＝∠APB＝∠ACO+45°．
设AA′交BP于点R．
∵S△ABP=12AB•EP=12BP•AR，
∴AR＝6×4÷（25）=1255．BR=AB2−BR2=655，
∵cs∠A′AT＝cs∠BAR，即ATAA′=ARAB，
把AT＝AO+xA′＝2+xA′，AA′＝2AR=2455，AB＝6，AR=1255代入比例式解得：
xA′=385．
在Rt△ATA′中，A′T＝|yA′|=A′A2−AT2=245．
∴点A′的坐标为（385，−245）．
设直线AP′的解析式为：y＝kx+b，代入点P和点A′的坐标得：
−4=2k+b−245=385k+b，解得k=−17b=−267．
∴直线AP′的解析式为：y=−17x−267．
结合抛物线y′可得：12x2﹣3x﹣4=−17x−267，解得x=20+21077或20−21077．
由于点Q2在第四象限，所以Q2的横坐标为：20+21077．
综合①②可得，点Q的横坐标为（2﹣22）或20+21077．
24．【答案】（1）10；
（2）证明见解析；
（3）212或7．
【解答】（1）解：如图1，过点D作DG⊥BC于点G，
在Rt△CDG中，∠C＝30°，DC＝2，
∴DG=12DC＝1，CG＝DC•csC=3，
在Rt△BDG中，DGBG=tan∠DBC=13，
∴BG＝3DG＝3，
∴BD=BG2+DG2=32+12=10，
∵线段BD绕点B逆时针旋转得到线段BE，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴ED＝BD=10；
（2）证明：如图2，作射线CH交BA的延长线于点H，使∠BCH＝120°，过点C作CK∥BE交BH于点K，
∵∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠H＝30°，
∴∠ABC＝∠H，
∴CH＝BC，BH=3BC，
设∠CBD＝α，则∠CBE＝α+60°，
∵CK∥BE，
∴∠BCK+∠CBE＝180°，
∴∠BCK＝120°﹣α，
∴∠HCK＝∠BCH﹣∠BCK＝α，
∴∠HCK＝∠CBD，
又∵∠H＝∠BCD＝30°，CH＝BC，
∴△CHK≌△BCD（ASA），
∴CK＝BD，HK＝CD，
由（1）知，BE＝BD，
∴CK＝BE，
∵CK∥BE，
∴∠CKF＝∠EBF，∠KCF＝∠BEF，
∴△CFK≌△EFB（ASA），
∴FK＝BF，
∴BK＝2BF，
∵HK+BK＝BH，
∴CD+2BF=3BC；
（3）解：以AB为边向上侧作等边△ABG，连接EG，连接DF，
则BG＝BA＝AG＝AC，∠GBA＝60°，
∵△BED是等边三角形，
∴BE＝BD，∠EBD＝60°，
∴∠GBE＝∠ABD＝60°﹣∠EBA，
∴△GBE≌△ABD（SAS），
∴∠BGE＝∠BAD＝120°，GE＝AD，
∵∠BGE+∠GBA＝180°，
∴GE∥BF，
∵AG＝AC，
∴点A为CG中点，
∴AF是△CGE的中位线，
∴GE＝AD＝2AF，
∵∠DAF＝∠ABC+∠ACB＝60°，
∴∠AFD＝90°，
∵∠BEF＝∠BME，
∴△BEF∽△BME，
∴BFBE=BEBM，
∵BE＝BD，
∴BFBD=BDBM，
∴△BFD∽△BDM，
∴∠BDM＝∠BFD＝90°，
∴∠EDM＝∠BDM﹣∠BDE＝30°，
①当∠DME＝90°时，
设DM＝x，
∴BD：DM＝DE：DM＝2：3，
∴BD：DM：BM＝2：3：7，
∴DF=37BD=37⋅23x=277x，
∴AF=33DF=22121x，
∴DMAF=x22121x=212；
②当∠DEM＝90°时，
设DM＝x，则BVD：DM＝DE：DM=3：2，
∴BD：DM：BM=3：2：7，
∴DF=27BD=27×32x=217x，
∴AF=33DF=77x，
∴DMAF=x77x=7；
综上，DMAF的值为212或7．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/24 19:56:49；用户：陈庄镇中学；邮箱：[email protected]；学号：62602464学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
87
86
b
52.4
八年级
87
a
89
62.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
C
D
B
C
A
B
B
甲乙
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）