长郡中学2025年高二寒假作业检测数学试卷(02.25)

这是一份长郡中学2025年高二寒假作业检测数学试卷(02.25)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共6页。时量120分钟。满分150分。
第1卷
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(★)已知集合,则
A.B.(1,2)C.D.
2.已知复数满足,则
A.B.2C.D.
3.(★)已知,且满足,则
A.B.C.2D.1
4.已知向量,则向量在上的投影向量为
A.B.C.D.
5.已知双曲线的左、右焦点分别为,直线与双曲线交于两点且,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.
6.(★)设,则的大小关系为
A.B.C.D.
7.已知正数满足,则的取值范围为
A.B.C.D.
8.数列满足,且其前项和为.若,则正整数
A.99B.103C.137D.169
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(★)已知函数,则下列结论正确的是
A.在区间(0,1)上单调递增
B.在区间(1,2)上单调递减
C.的图象关于点(0,1)对称
D.的图象关于直线对称
10.在棱长为2的正方体中,点是棱的中点,点在底面内运动(含边界),则
A.若是棱的中点,则平面
B.若平面,则是的中点
C.若在棱上运动(含端点),则点到直线的距离最小值为
D.若与点重合,则四面体的外接球的表面积为
11.如图,心形曲线与轴交于两点,点是上的一个动点,则
A.点和均在上
B.点的纵坐标的最大值为
C.的最大值与最小值之和为3
D.
选择题答题卡
第II卷
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(★)函数在上单调,则的取值范围是 .
13.(★)我校田径队有十名队员,分别记为,为完成某训练任务,现将十名队员分成甲、乙两队.其中将五人排成一行形成甲队,要求与相邻,在的左边,剩下的五位同学排成一行形成乙队,要求与不相邻,则不同的排列方法种数为 .
14.记表示个元素的有限集,表示非空数集中所有元素的和,若集合,则_____；若,则的最小值为 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
(★)已知数列和等差数列满足,且当时,
.
(1)求数列的通项；
(2)求数列的前项和.
16.(本小题满分15分)
在锐角中,,,分别是角,,的对边,.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围；
(3)当取得最大值时,在所在平面内取一点(与在两侧),使得线段,求面积的最大值.
17.(本小题满分15分)
如图1,在平行四边形中,,将沿折起,使点到达点位置,且,连接得三棱锥,如图2.
(1)证明:平面平面；
(2)在线段上是否存在点,使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分17分)
在平面直角坐标系中,点分别是椭圆的右顶点、上顶点,若椭圆的离心率为,且原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点,其中点在第一象限,点在轴下方且不在轴上,设直线的斜率分别为.
(i)求证:为定值,并求出该定值；
(ii)设直线与轴交于点,求的面积的最大值.
19.(本小题满分17分)
已知函数,且在区间上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为,若对任意实数恒成立,则称函数在区间上具有性质.
(j)求证:函数在区间上具有性质；
(ii)记,其中,求证:.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案