天津市耀华中学红桥学校2024−2025学年高二下学期统练1（3月月考） 数学试题（含解析）

这是一份天津市耀华中学红桥学校2024−2025学年高二下学期统练1（3月月考） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题）
1．函数 fx=2x3+lnx-x+1 的图象在点 1,f1 处的切线方程为（ ）
A． y=6x-4 B． y=-6x-4 C． y=6x+4 D． y=-6x+4
2．曲线 fx=x2+x-2ex 在 x=0 处的切线方程为（ ）
A． y=3x+2 B． y=3x-2 C． y=-3x-2 D． y=-3x+2
3．下列求导计算正确的是（ ）
A． lnx2x′=lnx+12x2 B． ln2x+1′=22x+1
C． 2x+1′=2x+11ln2 D． 2xsinx2csx2′=csx
4．函数 fx=x-2lnx 的单调递增区间是 （ ）
A． -∞,0 和 2,+∞ B． 2,+∞ C． -∞,2 D． 0,2
5．如图，函数 y=fx 的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8 ，则 limf5+△x-f5△x= （ ）.
A．1B．3C． -3 D． -1
6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点 0，b 处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ）
A．a＝1，b＝1B．a＝−1，b＝1
C．a＝1，b＝−1D．a＝−1，b＝−1
7．已知函数 fx=x3+92x2+c 有3个零点，则 c 的取值范围是（ ）
A． -92,0 B． -∞,-272∪0,+∞
C． -272,0 D． -∞,-92∪0,+∞
8．设 a=2e2 ， b=ln22 ， c=1e ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． c＜b＜a B． b＜a＜c C． a＜c＜b D． a＜b＜c
9．若直线 l:x=a 与函数 fx=x2+1 , gx=12lnx 的图像分别交于点 P ､ Q ,当 P ､ Q 两点距离最近时, a=
A． 52 B． 22 C．1D． 12
10．若函数 fx=xx+c2 在 x=-1 处有极大值，则 c= （ ）
A．1或3B．3C．1D． 32
11．已知函数 fx 的图象如图所示，不等式 xf′x＞0 的解集是 （ ）
A． -3,-2∪0,2 B． -3,-2∪2,3
C． -2,0∪0,2 D． -2,0∪2,3
12．已知函数 fx=ex-x22-1 ,若 fx⩾kx 在 x∈0,+∞ 时总成立，则实数k的取值范围是
A． -∞,1 B． -∞,e C． -∞,2e D． -∞,e2
二、填空题（本大题共8小题）
13．已知函数 y=fx 的图象在点 M1,f1 处的切线方程是 y=2x+1 ，则 f1+f′1= ______.
14．函数 fx=x3-2lnx 在点 1,f1 处的切线方程为______．
15．函数 y=x+2csx 在区间 0,π2 上的最大值是_______．
16．已知函数 fx=-x2+3xf′1+6ln2x+1 ，则 f′1= _______．
17．已知函数f(x)＝x2＋3x−2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为___ ．
18．已知函数 fx=x3+3ax2+bx+a2 在 x=-1 时有极值0，则 a+b= ______．
19．函数 fx=12x2-9lnx 在 a-1，a+1 上存在极值点，则a的取值范围是______ ．
20．已知函数 fx=sinx-1 , gx=a2lnx-x ,若对任意 x1∈R 都存在 x2∈1,e 使 fx1＜gx2 成立,则实数 a 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共3小题）
21．已知函数 fx=ax3+bx+2 在 x=-2 处取得极值−14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(3)求函数 fx 在 -3,3 上的最值.
22．已知函数 fx=12x2-a+1ax+lnx ，其中 a＞0 .
(1)当 a=1 时，求曲线 y=fx 在点 1,f1 处切线的方程；
(2)试讨论函数 fx 的单调区间.
23．已知函数 fx=xlnx-m-1 ， m∈R .
（1）若 m=2 ，求曲线 y=fx 在点 e,fe 处的切线方程；
（2）当 x＞1 时，求函数 fx 的单调区间和极值；
（3）若对于任意 x∈e,e2 ，都有 fx＜4lnx 成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】 f1=2 ，
因为 f′x=6x2+1x-1 ，所以 f′1=6 ，
所求的切线方程为 y-2=6x-1 ，即 y=6x-4 ．
故选A.
2．【答案】B
【详解】由题知 f′x=2x+1ex-x2+x-2exex2=-x2+x+3ex ,
所以 f′0=3 ， f0=-2 ，
所以曲线 fx 在 0,-2 处的切线方程为 y--2=3x-0 ，即 y=3x-2 .
故选B.
3．【答案】B
【详解】 lnx2x′=1-lnx2x2，A 错误；
ln2x+1′=22x+1，B 正确；
2x+1′=2x+1ln2，C 错误；
2xsinx2csx2′=xsinx′=sinx+xcsx，D 错误．
故选B．
4．【答案】B
【详解】 f′x=1-2x=x-2x,x＞0 ，令 f′x=x-2x＞0,x＞0 ，解得 x＞2 ，
所以函数 fx=x-2lnx 的单调递增区间是 2,+∞ .
故选B.
5．【答案】D
【详解】因为函数 y=fx 的图象在点 P 处的切线方程是 y=-x+8 ，
切点的横坐标为 5 ，
由导数的几何意义可得 f′5=-1 ，
所以 limf5+△x-f5△x=f′5=-1 ，
故选D.
6．【答案】A
【详解】由题意可知 k＝lim0+△x2+a0+△x+b-b△x=lim△x+a=a=1 ，
又 0，b 在切线上，解得：b＝1.
故选A.
7．【答案】C
【详解】解：函数 fx=x3+92x2+c ，则 f′x=3x2+9x ，令 f′x=0 得 x=-3 或 x=0 ，
令 f′x＞0 ，解得： x＞0 或 x＜-3 ；令 f′x＜0 ，解得： -3＜x＜0 ；
所以 fx 在 -∞,-3 和 0,+∞ 上单调递增，在 -3,0 上单调递减，
又 f-3=272+c ， f0=c ，
要使 fx 有3个不同的零点，则 c＜0＜c+272 ，
解得： -272＜c＜0 .
故选C.
8．【答案】D
【详解】令 fx=lnxxx＞0 ， f′x=1-lnxx2 ，
所以 x∈0,e 时， f′x＞0 ， fx 单调递增，
x∈e,+∞ 时， f′x＜0 ， fx 单调递减，
a=2e2=lne2e2=fe2 ， b=ln22=2ln22×2=ln44=f4 ， c=1e=lnee ，
因为 e＜4＜e2 ，所以 a＜b＜c .
故选D.
9．【答案】D
【详解】根据图像关系 x＞0 时， fx＞gx ，
P ､ Q 两点距离距离为 a2+1-12lna,a＞0 ，
设 hx=x2+1-12lnx,x＞0,h′x=2x-12x=2x+12x-12x ，
当 h′x＜0 时， 0＜x＜12 ；当 h′x＞0 时， x＞12 ；
∴hx 在 0,12 单调递减，在 12,+∞ 单调递增，
∴x=12 时 hx 取得极小值，亦为最小值，
a=12 时， P,Q 两点距离最小.
故选D.
10．【答案】C
【详解】因为 f′x=x+c2+2xx+c=3x2+4cx+c2=3x+cx+c
若函数 fx=xx+c2 在 x=-1 处有极大值，
所以 f′-1=-3+c-1+c=0 ，解得 c=3 或 c=1 ，
当 c=3 时， f′x=3x+3x+3 ，
当 x＞-1 或 x＜-3 时， f′x＞0 ，当 -3＜x＜-1 时， f′x＜0 ，
则函数 fx 在 x=-1 处取得极小值（舍去）；
当 c=1 时， f′x=3x+1x+1 ，
当 x＞-13 或 x＜-1 时， f′x＞0 ，当 -1＜x＜-13 时， f′x＜0 ，
则函数 fx 在 x=-1 处取得极大值，综上， c=1 .
故选C.
11．【答案】B
【详解】由图可得：当 x∈-3,-2 时， x＜0,f′x＜0 ，则 xf′x＞0 ；
当 x∈-2,0 时， x＜0,f′x＞0 ，则 xf′x＜0 ；
当 x∈0,2 时， x＞0,f′x＜0 ，则 xf′x＜0 ；
当 x∈2,3 时， x＞0,f′x＞0 ，则 xf′x＞0 .
则不等式 xf′x＞0 的解集是 -3,-2∪2,3 .
故选B.
12．【答案】A
【详解】 f′x=ex-x=gx ， g′x=ex-1⩾0
所以函数 gx 在 0,+∞ 上单调递增，则 gx⩾g0=0
则 f′x⩾0 ，所以函数 fx 在 0,+∞ 上单调递增
令 hx=kx ，则函数 fx 与函数 hx=kx 在 x∈0,+∞ 的图像如下图所示
f′0=e0-0=1 ，则函数 fx 在 x=0 处的切线的斜率为 1
因为 k 表示一次函数 hx=kx 的斜率，要使得 fx⩾kx 在 x∈0,+∞ 时总成立
则 k⩽1
故选A.
13．【答案】 5
【详解】由导数的几何意义可得 f′1=2 ，将点 M 的坐标代入切线方程可得 f1=2×1+1=3 ，
因此， f1+f′1=5 .
14．【答案】 x-y=0
【详解】因为 f1=1-2ln1=1 ，所以切点坐标为 1,1 ，
又 f′x=3x2-2x ，则切线的斜率 k=f′1=3-21=1 ，
由直线的点斜式方程可得 y-1=x-1 ，即 x-y=0 ，
所以切线方程为 x-y=0 .
15．【答案】 π6+3
【详解】 y′=1-2sinx ，令 y′=0 ，则 x=π6 ，
所以 x∈0,π6 时， y′＞0 ，函数 y=x+2csx 单调递增；
x∈π6,π2 时， y′＜0 ，函数 y=x+2csx 单调递减；
所以函数 y=x+2csx 在 x=π6 处取得极大值，也是最大值，
因此 ymax=π6+3 .
16．【答案】−1；
【详解】由题意， f′x=-2x+3f′1+122x+1 ，则 f′1=2+3f′1 ，
∴ f′1=-1 .
17．【答案】 0，12
【详解】函数f(x)＝x2＋3x−2ln x的定义域为 0，+∞．f ′ x＝2x+3－ ，令2x＋3－＜0，即2x2＋3x−2＜0，解得x∈.又x∈(0，＋∞)，所以x∈.所以函数f(x)的单调递减区间为.
18．【答案】11
【详解】由函数 fx=x3+3ax2+bx+a2 ，得 f′x=3x2+6ax+b ，
由题意得 f′-1=3-6a+b=0f-1=-1+3a-b+a2=0 ，解得 a=1b=3 或 a=2b=9 ，
当 a=1b=3 时， f′x=3x2+6x+3=3x+12⩾0 ，仅当 x=-1 时等号成立，
此时 fx 在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当 a=2b=9 时， f′x=3x2+12x+9=3x+1x+3 ，
令 f′x＞0 ，则 x＜-3 或 x＞-1 ，令 f′x＞0 ，则 -3＜x＜-1 ，
即 fx 在 -∞,-3,-1,+∞ 上均单调递增，在 -3,-1 上单调递减，
故 fx 在 x=-1 处取得极小值，且 fx=x3+6x2+9x+4 ，则 f-1=0 ，
即 a=2b=9 符合题意，故 a+b=11 .
19．【答案】 2,4
【详解】由 fx=12x2-9lnx，x＞0 ，得 f′x=x-9x=x2-9x=x+3x-3x ，
∴ x∈0,3,f′x＜0 ，函数 fx 单调递减， x∈3,+∞,f′x＞0 ，函数 fx 单调递增，
由函数 fx=12x2-9lnx 在 a-1，a+1 上存在极值点，
可得 a-1＜3＜a+1 ，
∴ 2＜a＜4 ，
∴实数a的取值范围是 2,4 ．
20．【答案】 2e,+∞
【详解】对任意 x1∈R 都存在 x2∈1,e 使 fx1＜gx2 成立，
所以得到 fxmax＜gxmax ，
而 fx=sinx-1 ，所以 fxmax=0 ，
即存在 x∈1,e ，使 a2lnx-x＞0 ，
此时 lnx＞0 ， x＞0 ，
所以 a＞0 ，
因此将问题转化为
存在 x∈1,e ，使 2a＜lnxx 成立，
设 hx=lnxx ，则 2a＜hxmax ，
h′x=1-lnxx2 ，
当 x∈1,e ， h′x＞0 ， hx 单调递增，
所以 hx＜he=1e ，
即 2a＜1e ，所以 a＞2e ，
所以实数 a 的取值范围是 2e,+∞ .
21．【答案】(1) a=-1,b=12
(2) 9x-y+4=0
(3)函数 fx 在 -3,3 上的最小值为 f-2=-14 ，最大值为 f2=18 .
【详解】（1）因为函数 fx=ax3+bx+2 ，所以 f′x=3ax2+b ，
又函数 fx 在 x=-2 处取得极值 -14 .
则有 f-2=-14f′-2=0 ，即 -8a-2b+2=-1412a+b=0 ，解得： a=-1b=12 ，
经检验， a=-1,b=12 时，符合题意，故 a=-1,b=12 .
（2）由（1）知：函数 fx=-x3+12x+2 ，则 f′x=-3x2+12 ，
所以 f′1=9 ，又因为 f1=-1+12+2=13 ，
所以曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 y-13=9x-1 ，
也即 9x-y+4=0 .
（3）由（1）知：函数 fx=-x3+12x+2 ，则 f′x=-3x2+12 ，
令 f′x=0 ，解得： x1=-2,x2=2 ，
在 x∈-3,3 时，随 x 的变化， f′x,fx 的变化情况如下表所示：
由表可知：当 x=-2 时，函数 fx 有极小值 f-2=-14 ；
当 x=2 时，函数 fx 有极大值 f2=18 ；
因为 f-2=-14＜f3=11 ， f2=18＞f-3=-7 ，
故函数 fx 在 -3,3 上的最小值为 f-2=-14 ，最大值为 f2=18 .
22．【答案】(1) y=-32 ；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当 a=1 时， fx=12x2-2x+lnx ,则 f′x=x-2+1x ，
∴f′1=0 ，又 f1=-32 ，
∴ y=fx 在点 1,f1 处切线的方程为 y=-32 ；
（2）由题可得 f′x=x-a+1a+1x=x-ax-1axx＞0 ，
令 f′x=0 ，解得 x=a 或 x=1a ，
若 0＜a＜1 ， a＜1a ，当 x 变化时， f′x ， fx 的变化情况如表：
∴fx 的单调增区间为 0,a 和 (1a , +∞) ，单调减区间为 a,1a ；
②若 a＞1 ， 1a＜a ，当 x 变化时， f′x ， fx 的变化情况如表：
∴fx 的单调增区间为 0,1a 和 a,+∞ ，单调减区间为 1a,a ；
③若 a=1 ，则 f′x⩾0 ，函数 fx 的单调增区间为 0,+∞ ；
综上，当 0＜a＜1 时， fx 的单调增区间为 0,a 和 (1a , +∞) ，单调减区间为 a,1a ；当 a＞1 时， fx 的单调增区间为 0,1a 和 a,+∞ ，单调减区间为 1a,a ；当 a=1 时，函数 fx 的单调增区间为 0,+∞ .
23．【答案】（1） x+y+e=0 ；（2）单调减区间是 1,em ，单调增区间是 em,+∞ ，极小值为 -em ，无极大值；（3） 1-8e2,+∞ .
【详解】（1） fx=lnx-3x ， fe=-2e
f′x=1x⋅x+lnx-3=lnx-2 ，则 k=f′e=-1
所以 y=fx 在点 e,fe 处的切线方程为 y+2e=-x-e
即 x+y+e=0
（2）因为 fx=lnx-m-1xm∈R ，
所以 x＞0 ， f′x=1x⋅x+lnx-m-1=lnx-m
①当 m⩽0 时，因为 x＞1 ，所以 f′x=lnx-m＞0 ，
函数 fx 的单调增区间是 1,+∞ ，无单调减区间，无极值
②当 m＞0 时，令 lnx-m=0 ，解得 x=em ，
当 1＜x＜em 时， f′x＜0 ；当 x＞em ， f′x＞0 ，
所以函数 fx 的单调减区间是 1,em ，单调增区间是 em,+∞ ，
在区间 1,+∞ 上的极小值为 fem=m-m-1em=-em ，无极大值.
综上，
当 m⩽0 时，函数 fx 的单调增区间是 1,+∞ ，无单调减区间，无极值
当 m＞0 时，函数 fx 的单调减区间是 1,em ，单调增区间是 em,+∞ ，极小值为 -em ，无极大值.
（3）因为对于任意 x∈e,e2 ，都有 fx＜4lnx 成立，所以 fx-4lnx＜0 ，
即问题转化为 x-4lnx-m+1x＜0 对于 x∈e,e2 恒成立，
即 m+1＞x-4lnxx 对于 x∈e,e2 恒成立，
令 gx=x-4lnxx ，则 g′x=4lnx+x-4x2 ，
令 tx=4lnx+x-4 ， x∈e,e2 ，则 t′x=4x+1＞0 ，
所以 tx 在区间 e,e2 上单调递增，
故 txmin=te=e-4+4=e＞0 ，进而 g′x＞0 ，
所以 gx 在区间 e,e2 上单调递增，
函数 gxmax=g ，
要使 m+1＞x-4lnxx 对于 x∈e,e2 恒成立，只要 m+1＞gxmax ，
所以 m+1＞2-8e2 ，即实数m的取值范围是 1-8e2,+∞ .x
-3
-3,-2
-2
-2,2
2
2,3
3
f′x
-
0
+
0
-
fx
-7
单调递减
-14
单调递增
18
单调递减
11
x
0,a
a
a,1a
1a
(1a , +∞)
f′x
+
0
-
0
+
fx
增函数
减函数
增函数
x
0,1a
1a
(1a , a)
a
a,+∞
f′x
+
0
-
0
+
fx
增函数
减函数
增函数