山东省淄博市第十一中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市第十一中学2024-2025学年高二下学期3月质量检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了 下列命题正确有等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得 ，
所以.
故选： C.
2. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A 50B. 70C. 90D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列的片段和性质列式计算即可.
【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列
所以
所以，
解得.
故选：B.
3. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的几何意义和割线的斜率可得三者之间的大小关系.
【详解】
设，由图可得，
而，
故，
故选：C.
4. 数列中，已知对任意自然数，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前项和公式，即可求解.
【详解】因为①，
当时，②，
①-②得，，
又，满足，所以，
所以，
所以.
故选：C.
5. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（ ）
A. 6B. 18C. 28D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数．
【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，
，
解得，
所以，此人后三天所走的里程数为．
故选：D．
6. 设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（ ）
A. 1B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的基本量法求得和，得前项和，确定的单调性，找到中相邻项是一正一负的两项，比较绝对值大小可得结论．
【详解】设数列的公差为，
由已知得，解得，
，
由于，，即时，时，，
所以时，递减，时，递增，其中，
由的表达式得，，，
所时，最小．
故选：D．
7. 把正整数按一定的规律排成三角形数阵，如图所示.设是这个三角形数阵中从上往下数第行、从左往右数第个数，如，若，则与的和为（ ）

A. 109B. 110C. 111D. 112
【答案】B
【解析】
【分析】分析得到奇数行为奇数列，偶数行为偶数行，为第个奇数，利用等差数列求和得到前个奇数行和前个奇数行的奇数个数，确定在第行，且在第列，求出，得到答案.
【详解】由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第行有个数，
记为第个奇数，则，
又，所以为第个奇数，
又前个奇数行，共有奇数，
又前个奇数行，共有奇数，
则，，故在第行，且列，
即，所以.
故选：B.
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，，，利用递推公式一一验证即可.
【详解】依题意，，，，，，，故A错误；
当时，，，
上述三式相加可得，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 下列命题正确有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可.
【详解】对于因为函数在上可导，且，
所以，故错误.
对于因为，若则，即，故正确.
对于因为，故错误.
对于因为,故，故，正确.
故选:
10. 已知等比数列的前n项和为，且是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A. 数列的通项公式为B.
C. D. 的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由等比数列的基本量法求得公比和，然后可得通项公式，由等比数列前项和公式得，求出后用裂项相消法求得和，由的单调性得其取值范围，判断各选项．
【详解】，所以，，
又，，2，
所以，A错；，B正确；
，，C正确；
易知是关于递增函数，所以，又，所以，D正确．
故选：BCD．
11. 设数列前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 数列单调递减
C. 当时，取得最小值D. 时，n的最小值为7
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知条件及累加法求数列的前n项和为，利用与的关系求出数列的通项公式，再结合已知条件逐项判断即可求解．
详解】由，得，
，
解得，
当时，满足上式，所以
当时，所以，故A正确；
当时，单调递增，又
所以数列单调递增，且，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，且，
所以当时，取得最小值，故B错误，C正确；
又故D错误．
故选：AC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 曲线在点处的切线方程为________________________
【答案】
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出在点处的切线斜率，再由点斜式方程可得结果.
【详解】由可得，
因此在点处的切线斜率为,
因此切线方程为，即.
故答案为：
13. 设是等差数列的前n项和，若，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用等差数列性质及前n项和公式计算作答.
【详解】在等差数列中，，所以．
故答案为：1
14. 已知数列的前项和为，且，设函数，则___________，___________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根据，作差即可求出的通项公式，再由的解析式及诱导公式得到，再利用倒序相加法求和.
【详解】解：由于，①，
当时，所以，
当时，，②，
①②得：，
所以，显然时也成立，
当时，，
当时也成立，所以；
根据函数，
所以，，
所以；
所以
．
故答案为：；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在数列中，，且
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据已知有且，，即可证结论，应用等比数列定义写出通项公式；
（2）应用分组求和及等差、等比数列的前n项和公式求.
【小问1详解】
由，则且，而，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
16. 已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值；
（2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和.
【小问1详解】
因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上.
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，
当时，
所以.
17. 已知为等差数列，为等比数列，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为；
（3）若的前项和为，求证：.
【答案】（1），
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比数列的通项公式直接求解即可；
（2）利用错位相减法求解数列的前项和；
（3）结合等差数列前项和公式，即可得证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，
则，
两式作差得：，
则，整理.
【小问3详解】
因为的前项和，
则，，
又，
所以.
18. 已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令为数列的前项和，且恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）10
【解析】
【分析】（1）根据数列的递推式，采用两式相减的方法可求得其通项公式，根据可证明数列为等比数列，即可求得其通项公式.
（2）利用（1）结果可求得的通项，继而求得，将恒成立，化为，即，结合数列的单调性，即可求得答案.
【小问1详解】
因为——①
当时，，
当时，——②
由①—②有：，
所以时，，经检验当时，，符合上式，所以.
因为，，当，
当时，，
又因为，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
，
所以，
因为，
令，则，
因为，，
所以当时，数列单调递增；又因为，所以，
即，可得的最大值为10.
19. 已知等比数列为单增数列，，是与的等差中项，
（1）求
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围；
（3）项数为的数列满足，，我们将称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列为项的对称数列，是公差为2的等差数列，数列的最大项为，记前项的和为，，求k的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或5.
【解析】
【分析】（1）设数列的公比为q，根据等差中项的性质，结合等比数列的基本量列式求解即可；
（2）根据题设可得，讨论的奇偶性及数列的单调性研究不等式恒成立，即可得参数范围；
（3）先确定，进而根据等差数列的通项公式得出，再根据等差数列前项和的公式结合求解即可.
【小问1详解】
设数列的公比为q，结合题设有，
所以，解得（负值舍），故；
【小问2详解】
由（1）知：，即，
对于数列，有，故是递减数列，
当为奇数时，，即恒成立，只需；
当为偶数时，，即恒成立，只需；
综上，；
【小问3详解】
由题设，，是末项为8，公差为2的等差数列，
所以，则，故，
所以
，
整理得，可得或5.