江西省多校2024-2025学年高二下学期3月质量检测 数学试题（含解析）

这是一份江西省多校2024-2025学年高二下学期3月质量检测 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册，选择性必修第二册第一章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线与直线平行，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用两条直线平行列式求解即得.
【详解】由直线与直线平行，得，
所以.
故选：D
2. 要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算得解.
【详解】依题意，在左边并联的两个开关中任取1个合上，再在右边并联的三个开关中任取1个合上，电路正常工作，
所以不同方法种数为.
故选：C
3. 在等差数列中，，，则（ ）
A. 2015B. 2017C. 2019D. 2021
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
由，得，整理得，解得，
因此等差数列的通项公式，
所以.
故选：B
4. 已知随机变量X的分布规律为（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用分布列的性质求出，进而可得出答案.
【详解】因为随机变量X的分布规律为（），
所以，解得，
所以.
故选：A.
5. 某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为，，，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为（ ）
A. 166cmB. 168cmC. 170cmD. 172cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出样本的中心点并求出经验回归方程，进而求出身高的估计值.
【详解】由，，得样本的中心点为，
则，解得，因此经验回归方程为，
当时，（cm）.
故选：C
6. 设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二项式定理可得，再分别求出，即可求出，进而可得出答案.
【详解】因为，
所以
，
则
，
因为能被整除，，
所以，
，
因为能被整除，，
所以，
所以.
故选：D.
7. 20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理求出甲、乙、丙的站法种数，再将余下17人作全排列即可.
【详解】求20名同学不同的站法种数需两步：
先让甲、乙、丙站，从4行中任取1行，5列中任取1列，其交点让甲站，有种；
从余下3行中任取1行，4列中任取1列，其交点让乙站，有种；
从余下2行中任取1行，3列中任取1列，其交点让丙站，有种，
因此符合要求的甲、乙、丙的站法种数为种，
再让除甲、乙、丙外的17人站，有，
所以这20名同学不同的站法种数为.
故选：B
8. 已知A是椭圆的右顶点，点B在圆上，点P在直线上运动，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出点的坐标及圆的圆心和半径，再利用对称性及圆的性质求出最小值.
【详解】椭圆的右顶点，圆的圆心，半径，
由圆的性质知，，作点关于直线的对称点，连接，
线段与直线，圆分别交于点，
因此，当且仅当重合时取等号，
由，解得，即点，则，
所以的最小值为.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了有效地制定预防甲型流感的措施，某校校医室的有关人员，统计了从2025年1月6日至1月16日本校每日新增甲型流感的学生数，并制作了如图所示的折线图.
若将该校从2025年1月6日至1月16日每日新增甲型流感的学生人数按日期的顺序排列成数列，的前n项和为，则（ ）
A. 时，数列是递增数列
B. 数列是递增数列
C. 数列的最大项是
D. 时，取最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用折线图中的数据逐项判断即可.
【详解】由表中数据可知，，，，，
所以当时，数列是递增数列，故A正确；
因为，，所以，故数列不是递增数列，故B不正确；
比其余各项大，故数列的最大项是，故C正确；
因为，，所以时，取最大值，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（ ）
A. 四面体的体积为
B. 三个向量，，可以构成空间向量的一组基
C. 异面直线，所成的角是60°
D. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三棱锥的体积公式即可判断A；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，判断，，是否共面即可判断B；利用向量法即可判断C；利用向量法求出正方体内切球的球心平面的距离，再利用勾股定理求出截面圆的半径，即可判断D.
【详解】对于A，三棱锥的高为，底面积，
所以，故A正确；
对于B，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
故，
假设向量，，可以构成空间向量的一组基，
则向量，，共面，
故存在唯一实数对，使得，
即，
所以，无解，
所以向量，，不共面，
所以三个向量，，可以构成空间向量的一组基，故B正确；
对于C，，，
则，所以，
所以，故C错误；
对于D，设正方体内切球的球心为，则，，
则，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以点到平面的距离，
又正方体内切球得半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径，
所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（ ）
A. 的最小值是2
B. 以P为圆心且过F的圆与C的准线相切
C. 的中点轨迹方程为
D. 使面积为5的点P有4个
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，利用两点间距离公式，结合抛物线范围求出最小值判断A；利用抛物线定义及直线与圆的位置关系判断B；求出轨迹方程判断C；求出与直线平行且距离为的直线，确定该直线与抛物线的公共点个数判断D.
【详解】抛物线的焦点，则抛物线的方程为，
对于A，设且，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，点到抛物线的准线距离等于，因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确；
对于C，设线段中点坐标为，则点在抛物线上，即，
整理得，因此的中点轨迹方程为，C正确；
对于D，，当的面积为5时，点到直线的距离，
直线的斜率，设与直线平行，且距离为的直线方程为，
于是，解得或，当时，把与联立，
消去得，，即直线与抛物线相切，
该直线上有且只有1点（切点）符合题意，而直线上最多两点符合题意，
因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与的等比中项是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用等比数列的定义即可求解.
【详解】设与的等比中项是，
则，
即，
解得：，
故答案为：
13. 若，则被4除所得的余数为______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用赋值法求出，再利用二项式定理求出余数.
【详解】依题意，取，得，
取，得，
两式相加得，
因此
，
所以被4除所得余数为2.
故答案：2
14. 设首项为，公差为1的等差数列的前n项和为，若存在实数，使得数列为等差数列，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即得.
【详解】依题意，则，
由数列为等差数列，得，
且是的一次式，
而对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立，
即，解得，所以的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某中学为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该校男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，判断能否有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关；
（2）社团指导老师从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，分析他们的定点投篮水平，求3人中女生人数X的分布列和数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）列联表见解析，有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关；
（2）分布列见解析，数学期望为1.
【解析】
【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，并与临界值表比对判断.
（2）求出6人中男女生人数，再求出的可能取值及对应的概率值，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
完善列联表，如下：
的观测值，
所以有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关.
【小问2详解】
从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，男生抽取人，女生抽取2人，
随机变量的可能取值为，
，
所以的分布列为
数学期望.
16. 已知为数列的前n项和，，时，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用的关系，结合等比数列定义求出通项公式.
（2）由（1）的结论，利用错位相减法求出.
【小问1详解】
当时，，则，两式相减得，
而，，则，即，，又，
因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，，
，
则有，
两式相减，得，
所以
17. 如图所示，四棱柱的底面和侧面都是正方形.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件可得平面，再利用线面垂直的性质判定推理得证.
（2）由（1）中信息，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【小问1详解】
由四棱柱的底面和侧面都是正方形，
得，而平面，则平面，
又平面，则，而，于是，
又，则是菱形，因此，而平面，
则平面，又平面，所以.
【小问2详解】
在平面内过点作，由（1）知，平面，则，
又，于是直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
在菱形中，，则都是正三角形，令，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的大小为，观察图形知为锐角，
因此，
所以二面角的余弦值为.
18. 某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.
（1）假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率；
（2）假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为.
（ⅰ）证明（）为等比数列，并求的通项公式；
（ⅱ）求数列的最值.
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）最小值为，最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解.
（2）（ⅰ）根据给定条件可得，构造新数列推理得证，并借助累加法及等比数列前n项和公式求出通项公式；（ⅱ）由（ⅰ）中通项公式，按奇偶讨论并借助单调性求出最值.
【小问1详解】
记选择A套餐事件为，顾客领取优惠券的事件为，
则，
因此.
【小问2详解】
（ⅰ）商场恰好发出了n张话费优惠券事件，是发放张后选择A套餐的事件，
与发放张后选择B套餐的事件的和，
则，，
，而，
因此（）是以为首项，为公比的等比数列，
当2时，，
，而满足上式，
所以.
（ⅱ）当（ⅰ）知，，
当为偶数时，，数列是递减数列，，
当为奇数时，，数列是递增数列，，
所以数列的最小值为，最大值为.
19. 已知双曲线（，）与直线相切于点，过点R与垂直的直线交x轴于点.
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点.
（Ⅰ）求直线l的倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线，的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）双曲线C的方程为
（2）（Ⅰ）直线l的倾斜角的取值范围为；
（Ⅱ）存在点满足题意
【解析】
【分析】（1）由题意易求得切线的方程，与双曲线方程联立可得，结合点在双曲线上，可得，求解即可得双曲线的方程；
（2）（Ⅰ）分斜率是否存在两种情况讨论，当存在时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，结合条件可求得或，可求倾斜角的取值范围；（Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等，可得，进而可得恒成立，计算可求得定点.
【小问1详解】
由题意可得的斜率为，
又直线与直线互相垂直，可得的斜率，所以直线的方程为，
又因直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为，
又点在双曲线是，所以①，
联立，消去可得，
整理得，
因为直线与双曲线相切，所以，
化简得②，
由①②解得，所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
（Ⅰ）由题意可得右焦点为，
当直线的斜率不存在时，显然直线与双曲线右支有两个不同的交点，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，
联立，消去，可得，
因所双曲线与右支交于不同的两点，
则，解得或，
所以直线l的倾斜角的取值范围为；
（Ⅱ）假设在x轴上存在，使得点F到直线，的距离始终相等，
则是的角平分线，则，
则，所以，
所以，
整理得，
所以，
所以，
整理得，解得，所以
当直线斜率不存在时，根据双曲线的对称性，可得也满足题意，
综上所述：存在点满足题意.
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
20
女生
15
合计
0.05
0.01
0.005
k
3.841
6.635
7.879
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
0
1
2