2024-2025学年江西省多校高二下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省多校高二下学期3月质量检测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线x+2y−1=0与直线ax−y=0平行，则a=( )
A. 2B. 12C. −2D. −12
2.要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法种数为( )
A. 10B. 8C. 6D. 5
3.在等差数列an中，a11=3，a7+2a10=3，则a2025=( )
A. 2015B. 2017C. 2019D. 2021
4.已知随机变量X的分布规律为PX=i=ai2(i=1,2,3)，则PX=2=( )
A. 27B. 13C. 14D. 17
5.某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x(单位：cm)和身高y(单位：cm)的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为y=4x+a，i=1100xi=2250，i=1100yi=16000，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为( )
A. 166cmB. 168cmC. 170cmD. 172cm
6.设数列an的通项公式为an=10n−19，n∈N∗，记an被3除所得的余数构成的数列记为bn，则b2025−b2024=( )
A. 2B. 0C. −1D. −2
7.20名同学排成一个4行5列的矩形方阵，要求其中的甲、乙、丙三人中任意两人不在同一行也不在同一列，则这20名同学不同的站法种数为( )
A. 480A1717B. 1440A1717C. 2880A1717D. 3600A1717
8.已知A是椭圆x216+y2=1的右顶点，点B在圆C:x2+y2−8x−4y+19=0上，点P在直线l:x+y−1=0上运动，则PA+PB的最小值为( )
A. 13−1B. 3C. 34−1D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为了有效地制定预防甲型流感的措施，某校校医室的有关人员，统计了从2025年1月6日至1月16日本校每日新增甲型流感的学生数，并制作了如图所示的折线图．
若将该校从2025年1月6日至1月16日每日新增甲型流感的学生人数按日期的顺序排列成数列an，an的前n项和为Sn，则( )
A. 1≤n≤5时，数列an是递增数列B. 数列Sn是递增数列
C. 数列an的最大项是a5D. n=9时，Sn取最大值
10.如图，若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则( )
A. 四面体C1D1CE的体积为43
B. 三个向量A1E，BF，B1D1可以构成空间向量的一组基
C. 异面直线D1E，C1F所成的角是60°
D. 平面D1CE截该正方体的内切球所得截面的面积为8π9
11.已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点，A(4,4)，P是C上的任意一点，则( )
A. PF的最小值是2B. 以P为圆心且过F的圆与C的准线相切
C. PF的中点轨迹方程为y2=4x−4D. 使▵PFA面积为5的点P有4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.2+1与2−1的等比中项是__________．
13.若(x+2)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025，则a0+a2+a4+⋯+a2024被4除所得的余数为 ．
14.设首项为a1，公差为1的等差数列an的前n项和为Sn，若存在实数r，使得数列 r+Sn为等差数列，则a1的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某中学为丰富学生课余生活，减轻学习压力，组建了篮球社团.为了了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了该校男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
(1)根据所给数据完成上表，判断能否有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关；
(2)社团指导老师从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，并从这6人中随机抽取3人，分析他们的定点投篮水平，求3人中女生人数X的分布列和数学期望．
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
已知Sn为数列an的前n项和，a1=1，n≥2时，Sn=2Sn−1+1．
(1)求an的通项公式；
(2)若bn=nan+an+1，求数列bn的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图所示，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD和侧面CDD1C1都是正方形．
(1)证明：AC1⊥B1C；
(2)若BC1=BC，求二面角B−B1D1−C的余弦值．
18.(本小题17分)
某电信部门推出办卡优惠活动，有A套餐和B套餐，经过顾客喜好数据分析：每位顾客选择A套餐的概率为13，选择B套餐的概率为23．
(1)假设顾客选择A、B套餐，领取优惠券的概率分别为0.7、0.2，求顾客领取优惠券的概率；
(2)假设A套餐包含一张话费优惠券，B套餐包含两张话费优惠券，截至某一时刻，设该商场恰好发出了n张话费优惠券的概率为Pn．
(ⅰ)证明Pn−Pn−1(n≥2)为等比数列，并求Pn的通项公式；
(ⅱ)求数列Pn的最值．
19.(本小题17分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与直线l1:y=kx+m相切于点R2,3，过点R与l1垂直的直线l2交x轴于点M8,0．
(1)求C的方程；
(2)过C的右焦点F的直线l与C的右支交于A，B两点．
(Ⅰ)求直线l的倾斜角θ的取值范围；
(Ⅱ)在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.A
5.C
6.D
7.B
8.C
9.ACD
10.ABD
11.ABC
12.±1
13.2
14.−12,+∞
15.【详解】(1)完善列联表，如下：
χ2的观测值χ2=100(30×35−20×15)245×55×50×50=10011≈9.091>7.879，
所以有99.5％的把握认为该校学生喜欢篮球与性别有关．
(2)从喜欢篮球的学生中按照男、女分层随机抽样抽取6人，男生抽取3030+15×6=4人，女生抽取2人，
随机变量X的可能取值为0,1,2，
P(X=0)=C43C63=15,P(X=1)=C21C42C63=35,P(X=2)=C22C41C63=15，
所以X的分布列为
数学期望E(X)=0×15+1×35+2×15=1．

16.【详解】(1)当n≥2时，Sn=2Sn−1+1，则Sn+1=2Sn+1，两式相减得an+1=2an，
而a2+a1=2a1+1，a1=1，则a2=2a1，即∀n∈N∗，an+1=2an，又a1=1，
因此数列an是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an的通项公式是an=2n−1．
(2)由(1)知，bn=nan+an+1=n⋅2n−1+2n=(n+2)⋅2n−1，
Tn=3×20+4×21+5×22+⋯+(n+2)×2n−1，
则有2Tn=3×21+4×22+5×23+⋯+(n+1)×2n−1+(n+2)×2n，
两式相减，得−Tn=3+2+22+⋯+2n−1−n+2×2n=2+1−2n1−2−n+2×2n=1−n+1×2n，
所以Tn=(n+1)⋅2n−1

17.【详解】(1)由四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD和侧面CDD1C1都是正方形，
得CD⊥BC,CD⊥CC1，而CC1∩BC=C,CC1,BC⊂平面BCC1B1，则CD⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，则B1C⊥CD，而AB//CD，于是B1C⊥AB，
又BC=CD=CC1，则▱BCC1B1是菱形，因此B1C⊥BC1，而BC1∩AB=B,BC1,AB⊂平面ABC1，
则B1C⊥平面ABC1，又AC1⊂平面ABC1，所以AC1⊥B1C．
(2)在平面BCC1B1内过点B作Bz⊥BC，由(1)知，BA⊥平面BCC1B1，则Bz⊥BA，
又BA⊥BC，于是直线BC,BA,Bz两两垂直，
以点B为原点，直线BC,BA,Bz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
在菱形▱BCC1B1中，BC1=BC，则▵BCC1,▵BB1C1都是正三角形，令BC=2，
则B(0,0,0),C(2,0,0),B1(−1,0, 3),D1(1,2, 3)，
BB1=(−1,0, 3),B1D1=(2,2,0),B1C=(3,0,− 3)，
设平面BB1D1的法向量m=(a,b,c)，则m⋅BB1=−a+ 3c=0m⋅B1D1=2a+2b=0，令c=1，得m=( 3,− 3,1)，
设平面CB1D1的法向量n=(x,y,z)，则n⋅B1C=3x− 3z=0n⋅B1D1=2x+2y=0，令x=1，得m=(1,−1, 3)，
设二面角B−B1D1−C的大小为θ，观察图形知θ为锐角，
因此csθ=|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m||n|=3 3 7⋅ 5=3 10535，
所以二面角B−B1D1−C的余弦值为3 10535．

18.【详解】(1)记选择A套餐的事件为D，顾客领取优惠券的事件为E，
则P(D)=13,P(D)=23,P(E|D)=0.7,P(E|D)=0.2，
因此P(E)=P(ED+ED)=P(D)P(E|D)+P(E|D)=13×0.7+23×0.2=1130．
(2)(ⅰ)商场恰好发出了n张话费优惠券的事件，是发放n−1张后选择A套餐的事件，
与发放n−2张后选择B套餐的事件的和，
则Pn=13Pn−1+23Pn−2(n≥3)，P1=13,P2=13×13+23=79，
Pn−Pn−1=−23(Pn−1−Pn−2)，而P2−P1=49，
因此Pn−Pn−1(n≥2)是以49为首项，−23为公比的等比数列，
当n≥2时，Pn−Pn−1=49⋅(−23)n−2，Pn=P1+(P2−P1)+(P3−P2)+⋯+(Pn−Pn−1)
=13+49⋅1−(−23)n−11−(−23)=13+415[1−(−23)n−1]=35+25⋅(−23)n，而P1=13满足上式，
所以Pn=35+25⋅(−23)n．
(ⅱ)当(ⅰ)知，Pn=35+25⋅(−23)n，
当n为偶数时，Pn=35+25⋅(23)n，数列{Pn}是递减数列，350x1x2=−4k2−33−k2>0，解得k 3，
所以直线l的倾斜角θ的取值范围为π3,2π3；
(Ⅱ)假设在x轴上存在Pn,0，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等，
则PF是∠APB的角平分线，则kPA+kPB=0，
则y1x1−n+y2x2−n=0，所以y1x2−n+y2x1−n=0，
所以kx1−2x2−n+kx2−2x1−n=0，
整理得2kx1x2−knx1−2kx2+2kn−knx2−2kx1+2kn=0，
所以2kx1x2−kn+2kx1+x2+4kn=0，
所以2k×−4k2−33−k2−kn+2k−4k23−k2+4kn=0，
整理得−8k2−6+8k2+4nk2+12n−4nk2=0，解得n=12，所以P12,0
当直线AB斜率不存在时，根据双曲线的对称性，可得P12,0也满足题意，
综上所述：存在点P12,0满足题意．
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
20
女生
15
合计
α=Pχ2≥k
0.05
0.01
0.005
k
3.841
6.635
7.879
喜欢篮球
不喜欢篮球
合计
男生
30
20
50
女生
15
35
50
合计
45
55
100
X
0
1
2
P
15
35
15